Estudaremos uma influência não trivial da energia cinética sobre pontos de equilébrio de sistemas Hamiltonianos a partir da segunda parte do artigo de Garcia & Tal \"The influence of the kinetic energy in equilibrium of Hamiltonian systems\". Nesse artigo demonstra-se, para um exemplo explícito de Hamiltonianos C(R4) definidos por Hi = Ti + para i {1,2}, que as bacias de atração de H1 e H2 são subvariedades de R4 com dimensão distinta. Discutiremos aqui de que forma esse resultado está relacionado com o estudo da estabilidade segundo Liapunov de pontos de equilíbrio de sistemas Hamiltonianos, em especial com a busca de uma inversão para o celebrado teorema de Dirichlet-Lagrange. Por fim apresentamos um novo teorema que estende o resultado acima para toda uma família de energias potenciais ,,k. A saber, mostramos que, se os parâmetros ,,k satisfazem a um simples critério aritmético então as bacias de atração de Hi = Ti + ,,k tem dimensões distintas para i {1, 2}. / We study a non trivial influence of the kinetic energy on equilibrium points of Hamiltonian systems following the second part of Garcia & Tal article \"The influence of the kinetic energy in equilibrium of Hamiltonian systems\". In this article the authors show, for an explicit example of C (R4 ) Hamiltonians defined by Hi = Ti + for i {1, 2}, that the attraction basins of H1 and H2 have distinct dimensions as submanifolds of R4. Well discuss how this result is related to the study of the stability according to Liapunov of equilibrium points of Hamiltonian systems and especially how it is related to the inversion of the celebrated Lagrange-Dirichlet theorem. Finally well prove a new theorem which extends the result above for a whole family of potential energies ,,k. We show that, if the parameters ,,k satisfy a simple arithmetical criteria then the attraction basins of Hi = Ti + ,,k have different dimensions for i {1, 2}.

Estudaremos uma influência não trivial da energia cinética sobre pontos de equilébrio de sistemas Hamiltonianos a partir da segunda parte do artigo de Garcia & Tal \"The influence of the kinetic energy in equilibrium of Hamiltonian systems\". Nesse artigo demonstra-se, para um exemplo explícito de Hamiltonianos C(R4) definidos por Hi = Ti + para i {1,2}, que as bacias de atração de H1 e H2 são subvariedades de R4 com dimensão distinta. Discutiremos aqui de que forma esse resultado está relacionado com o estudo da estabilidade segundo Liapunov de pontos de equilíbrio de sistemas Hamiltonianos, em especial com a busca de uma inversão para o celebrado teorema de Dirichlet-Lagrange. Por fim apresentamos um novo teorema que estende o resultado acima para toda uma família de energias potenciais ,,k. A saber, mostramos que, se os parâmetros ,,k satisfazem a um simples critério aritmético então as bacias de atração de Hi = Ti + ,,k tem dimensões distintas para i {1, 2}. / We study a non trivial influence of the kinetic energy on equilibrium points of Hamiltonian systems following the second part of Garcia & Tal article \"The influence of the kinetic energy in equilibrium of Hamiltonian systems\". In this article the authors show, for an explicit example of C (R4 ) Hamiltonians defined by Hi = Ti + for i {1, 2}, that the attraction basins of H1 and H2 have distinct dimensions as submanifolds of R4. Well discuss how this result is related to the study of the stability according to Liapunov of equilibrium points of Hamiltonian systems and especially how it is related to the inversion of the celebrated Lagrange-Dirichlet theorem. Finally well prove a new theorem which extends the result above for a whole family of potential energies ,,k. We show that, if the parameters ,,k satisfy a simple arithmetical criteria then the attraction basins of Hi = Ti + ,,k have different dimensions for i {1, 2}.

Made available in DSpace on 2015-03-26T13:45:34Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 4122687 bytes, checksum: 9aed02ae94295a63dd1fa23aba738ef5 (MD5) Previous issue date: 2012-02-28 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The present work proposes to present a description of the theory on the basins of attraction of hyperbolic equilibrium points of continuous dynamical systems, to develop a method for the numerical determination of these basins and to examine the results of applying the theory and method in models of population dynamics. The determination of the basins of attraction allows the study of control strategies on the parameters, in order to increase or decrease such regions, as interest. From the biological phenomena viewpoint, these predictions are very important, because if an equilibrium point represents the extinction of a species that must be preserved, then one seeks to guarantee that the natural initial conditions do not are in the basin of attraction of that point. This is made by studying control strategies on the parameters, for that the point basin decreases suficiently. From the viewpoint of stability analysis of equilibrium points of dynamical systems, the theory of basins of attraction brings topological consequences to the phase space which allow, indirectly, conduct a global analysis in the parameters space, allowing wider results of which are generally obtained without this theory. / O presente trabalho propõe-se a apresentar uma descrição da teoria sobre as bacias de atração de pontos de equilíbrio hiperbólicos de sistemas dinâmicos em tempo contínuo, a desenvolver um método para a determinação numérica dessas bacias e a examinar os resultados da aplicação da teoria e do método em modelos de dinâmica de populações. A determinação das bacias de atração permite o estudo de estratégias de controle sobre os parâmetros, de modo a aumentar ou diminuir tais regiões, conforme o interesse. Do ponto de vista de fenômenos biológicos, estas previsões são importantes, pois, se um ponto de equilíbrio representa a extinção de uma espécie que deve ser preservada, então procura-se garantir que as condições iniciais naturais não estejam na bacia de atração do mesmo, estudando-se estratégias de controle sobre os parâmetros para que a bacia do ponto diminua suficientemente. Do ponto de vista da análise de estabilidade dos pontos de equilíbrio de um sistema, a teoria de bacias de atração traz consequências topológicas ao espaço de fase que permitem, de forma indireta, realizar uma análise global, no espaço de parâmetros, da estabilidade dos pontos de equilíbrio, garantindo resultados mais amplos dos que se obtêm geralmente, quando não se faz uso desta teoria.

Estimar a região de estabilidade de um ponto de equilíbrio assintoticamente estável é importante em aplicações tais como sistemas de potência, economia e ecologia. A compreensão da estrutura qualitativa da fronteira da região de estabilidade é fundamental para estimar com eficiência a região de estabilidade. Caracterizações topológicas e dinâmicas da fronteira da região de estabilidade foram desenvolvidas ao longo das últimas décadas. Estas caracterizações foram desenvolvidas sob hipóteses de hiperbolicidade dos pontos de equilíbrio na fronteira e transversalidade. Para sistemas que dependem de parâmetros, a condição de hiperbolicidade pode ser violada em pontos de bifurcações. Estaremos interessados em estimar a região de estabilidade, para sistemas sujeitos a variações de parâmetros, onde ocorre a violação da condição de hiperbolicidade dos pontos de equilíbrio na fronteira da região de estabilidade devido ao aparecimento de uma bifurcação sela-nó do tipo zero nesta fronteira. Apresentaremos neste trabalho uma caracterização completa da fronteira da região de estabilidade na presença de um ponto de equilíbrio não hiperbólico sela-nó do tipo zero. Motivados também em oferecer um algoritmo conceitual para obter estimativas da região de estabilidade perturbada via conjunto de nível de uma dada função energia na vizinhança de um parâmetro de bifurcação sela-nó do tipo zero, buscaremos exibir resultados que permitam compreender o comportamento da região de estabilidade e de sua fronteira sob a influência das variações do parâmetro, incluindo variações do parâmetro próximo a um parâmetro de bifurcação sela-nó do tipo zero. / Estimating the stability region of an asymptotically stable equilibrium point is fundamental in applications such as power systems, economy and ecology. The knowledge of the qualitative structure of the stability boundary is essential to estimate with efficiency the stability region. Topological and dynamical characterizations of the stability boundary have been developed over the past decades. These characterizations were developed under assumptions of hyperbolicity of equilibrium points on the stability boundary and transversality. For systems that depend on parameters, the condition of hyperbolicity can be violated at points of bifurcations. We will be primarily interested in estimating the stability region, for systems subjected to parameter variations, when the condition of hyperbolicity of equilibrium points on the stability boundary is violated due to the appearance of a type-zero saddle-node bifurcation on the stability boundary. We will develop in this work, a complete characterization of the stability boundary in the presence of a type-zero saddle-node non-hyperbolic equilibrium point. Also, motivated to providing a conceptual algorithm to obtain estimates of the perturbed stability region via level sets of a given energy function in the neighborhood of a type-zero saddle-node bifurcation parameter, we offer results that explain the behavior of the stability region and its boundary under the influence of parameter variations, including variations of the parameter close to a type-zero saddle-node bifurcation parameter.

Estimar a região de estabilidade de um ponto de equilíbrio assintoticamente estável é importante em aplicações tais como sistemas de potência, economia e ecologia. A compreensão da estrutura qualitativa da fronteira da região de estabilidade é fundamental para estimar com eficiência a região de estabilidade. Caracterizações topológicas e dinâmicas da fronteira da região de estabilidade foram desenvolvidas ao longo das últimas décadas. Estas caracterizações foram desenvolvidas sob hipóteses de hiperbolicidade dos pontos de equilíbrio na fronteira e transversalidade. Para sistemas que dependem de parâmetros, a condição de hiperbolicidade pode ser violada em pontos de bifurcações. Estaremos interessados em estimar a região de estabilidade, para sistemas sujeitos a variações de parâmetros, onde ocorre a violação da condição de hiperbolicidade dos pontos de equilíbrio na fronteira da região de estabilidade devido ao aparecimento de uma bifurcação sela-nó do tipo zero nesta fronteira. Apresentaremos neste trabalho uma caracterização completa da fronteira da região de estabilidade na presença de um ponto de equilíbrio não hiperbólico sela-nó do tipo zero. Motivados também em oferecer um algoritmo conceitual para obter estimativas da região de estabilidade perturbada via conjunto de nível de uma dada função energia na vizinhança de um parâmetro de bifurcação sela-nó do tipo zero, buscaremos exibir resultados que permitam compreender o comportamento da região de estabilidade e de sua fronteira sob a influência das variações do parâmetro, incluindo variações do parâmetro próximo a um parâmetro de bifurcação sela-nó do tipo zero. / Estimating the stability region of an asymptotically stable equilibrium point is fundamental in applications such as power systems, economy and ecology. The knowledge of the qualitative structure of the stability boundary is essential to estimate with efficiency the stability region. Topological and dynamical characterizations of the stability boundary have been developed over the past decades. These characterizations were developed under assumptions of hyperbolicity of equilibrium points on the stability boundary and transversality. For systems that depend on parameters, the condition of hyperbolicity can be violated at points of bifurcations. We will be primarily interested in estimating the stability region, for systems subjected to parameter variations, when the condition of hyperbolicity of equilibrium points on the stability boundary is violated due to the appearance of a type-zero saddle-node bifurcation on the stability boundary. We will develop in this work, a complete characterization of the stability boundary in the presence of a type-zero saddle-node non-hyperbolic equilibrium point. Also, motivated to providing a conceptual algorithm to obtain estimates of the perturbed stability region via level sets of a given energy function in the neighborhood of a type-zero saddle-node bifurcation parameter, we offer results that explain the behavior of the stability region and its boundary under the influence of parameter variations, including variations of the parameter close to a type-zero saddle-node bifurcation parameter.