O estudo da região de estabilidade é de extrema importância nas ciências, aplicações em engenharia e nos sistemas de controle não linear. Neste trabalho, uma caracterização completa da região de estabilidade e da fronteira da região de estabilidade de pontos fixos estáveis de uma classe ampla de sistemas dinâmicos discretos não lineares é desenvolvida. Os resultados deste trabalho estendem a caracterização da região de estabilidade já proposta na literatura para uma ampla classe de sistemas, modelados por difeomorfismos e que admitem a presença de órbitas periódicas e pontos fixos na fronteira da região de estabilidade. Caracterizações dinâmicas e topológicas são propostas para a fronteira da região de estabilidade. Além disso, são dadas condições necessárias e suficientes para que um ponto fixo ou órbita periódica pertença à fronteira da região de estabilidade. Exemplos numéricos, incluindo o modelo de uma rede neural simétrica com 2-neurônios, ilustram os resultados propostos neste trabalho. / The study of the stability region is very important in the sciences, engineering applications, and in nonlinear control systems. In this work, a complete characterization for both the stability region and the stability boundary of stable xed points of a nonlinear discrete dynamical systems is developed. The results of this work extend the characterization of the stability region already proposed in the literature for a larger class of systems, which are modeled by dieomorphisms and which admit the presence of periodic orbits and xed points on the stability boundary. Several dynamical and topological characterizations are proposed to the stability boundary. Moreover, several necessary and sucient conditions for xed points and periodic orbits to lie on the stability boundary are derived. Numerical examples, including the model of a symmetric neural network with 2-neurons, illustrate the results proposed in this work.

O estudo da região de estabilidade é de extrema importância nas ciências, aplicações em engenharia e nos sistemas de controle não linear. Neste trabalho, uma caracterização completa da região de estabilidade e da fronteira da região de estabilidade de pontos fixos estáveis de uma classe ampla de sistemas dinâmicos discretos não lineares é desenvolvida. Os resultados deste trabalho estendem a caracterização da região de estabilidade já proposta na literatura para uma ampla classe de sistemas, modelados por difeomorfismos e que admitem a presença de órbitas periódicas e pontos fixos na fronteira da região de estabilidade. Caracterizações dinâmicas e topológicas são propostas para a fronteira da região de estabilidade. Além disso, são dadas condições necessárias e suficientes para que um ponto fixo ou órbita periódica pertença à fronteira da região de estabilidade. Exemplos numéricos, incluindo o modelo de uma rede neural simétrica com 2-neurônios, ilustram os resultados propostos neste trabalho. / The study of the stability region is very important in the sciences, engineering applications, and in nonlinear control systems. In this work, a complete characterization for both the stability region and the stability boundary of stable xed points of a nonlinear discrete dynamical systems is developed. The results of this work extend the characterization of the stability region already proposed in the literature for a larger class of systems, which are modeled by dieomorphisms and which admit the presence of periodic orbits and xed points on the stability boundary. Several dynamical and topological characterizations are proposed to the stability boundary. Moreover, several necessary and sucient conditions for xed points and periodic orbits to lie on the stability boundary are derived. Numerical examples, including the model of a symmetric neural network with 2-neurons, illustrate the results proposed in this work.

Estimar a região de estabilidade de um ponto de equilíbrio assintoticamente estável é importante em aplicações tais como sistemas de potência, economia e ecologia. A compreensão da estrutura qualitativa da fronteira da região de estabilidade é fundamental para estimar com eficiência a região de estabilidade. Caracterizações topológicas e dinâmicas da fronteira da região de estabilidade foram desenvolvidas ao longo das últimas décadas. Estas caracterizações foram desenvolvidas sob hipóteses de hiperbolicidade dos pontos de equilíbrio na fronteira e transversalidade. Para sistemas que dependem de parâmetros, a condição de hiperbolicidade pode ser violada em pontos de bifurcações. Estaremos interessados em estimar a região de estabilidade, para sistemas sujeitos a variações de parâmetros, onde ocorre a violação da condição de hiperbolicidade dos pontos de equilíbrio na fronteira da região de estabilidade devido ao aparecimento de uma bifurcação sela-nó do tipo zero nesta fronteira. Apresentaremos neste trabalho uma caracterização completa da fronteira da região de estabilidade na presença de um ponto de equilíbrio não hiperbólico sela-nó do tipo zero. Motivados também em oferecer um algoritmo conceitual para obter estimativas da região de estabilidade perturbada via conjunto de nível de uma dada função energia na vizinhança de um parâmetro de bifurcação sela-nó do tipo zero, buscaremos exibir resultados que permitam compreender o comportamento da região de estabilidade e de sua fronteira sob a influência das variações do parâmetro, incluindo variações do parâmetro próximo a um parâmetro de bifurcação sela-nó do tipo zero. / Estimating the stability region of an asymptotically stable equilibrium point is fundamental in applications such as power systems, economy and ecology. The knowledge of the qualitative structure of the stability boundary is essential to estimate with efficiency the stability region. Topological and dynamical characterizations of the stability boundary have been developed over the past decades. These characterizations were developed under assumptions of hyperbolicity of equilibrium points on the stability boundary and transversality. For systems that depend on parameters, the condition of hyperbolicity can be violated at points of bifurcations. We will be primarily interested in estimating the stability region, for systems subjected to parameter variations, when the condition of hyperbolicity of equilibrium points on the stability boundary is violated due to the appearance of a type-zero saddle-node bifurcation on the stability boundary. We will develop in this work, a complete characterization of the stability boundary in the presence of a type-zero saddle-node non-hyperbolic equilibrium point. Also, motivated to providing a conceptual algorithm to obtain estimates of the perturbed stability region via level sets of a given energy function in the neighborhood of a type-zero saddle-node bifurcation parameter, we offer results that explain the behavior of the stability region and its boundary under the influence of parameter variations, including variations of the parameter close to a type-zero saddle-node bifurcation parameter.

Estimar a região de estabilidade de um ponto de equilíbrio assintoticamente estável é importante em aplicações tais como sistemas de potência, economia e ecologia. A compreensão da estrutura qualitativa da fronteira da região de estabilidade é fundamental para estimar com eficiência a região de estabilidade. Caracterizações topológicas e dinâmicas da fronteira da região de estabilidade foram desenvolvidas ao longo das últimas décadas. Estas caracterizações foram desenvolvidas sob hipóteses de hiperbolicidade dos pontos de equilíbrio na fronteira e transversalidade. Para sistemas que dependem de parâmetros, a condição de hiperbolicidade pode ser violada em pontos de bifurcações. Estaremos interessados em estimar a região de estabilidade, para sistemas sujeitos a variações de parâmetros, onde ocorre a violação da condição de hiperbolicidade dos pontos de equilíbrio na fronteira da região de estabilidade devido ao aparecimento de uma bifurcação sela-nó do tipo zero nesta fronteira. Apresentaremos neste trabalho uma caracterização completa da fronteira da região de estabilidade na presença de um ponto de equilíbrio não hiperbólico sela-nó do tipo zero. Motivados também em oferecer um algoritmo conceitual para obter estimativas da região de estabilidade perturbada via conjunto de nível de uma dada função energia na vizinhança de um parâmetro de bifurcação sela-nó do tipo zero, buscaremos exibir resultados que permitam compreender o comportamento da região de estabilidade e de sua fronteira sob a influência das variações do parâmetro, incluindo variações do parâmetro próximo a um parâmetro de bifurcação sela-nó do tipo zero. / Estimating the stability region of an asymptotically stable equilibrium point is fundamental in applications such as power systems, economy and ecology. The knowledge of the qualitative structure of the stability boundary is essential to estimate with efficiency the stability region. Topological and dynamical characterizations of the stability boundary have been developed over the past decades. These characterizations were developed under assumptions of hyperbolicity of equilibrium points on the stability boundary and transversality. For systems that depend on parameters, the condition of hyperbolicity can be violated at points of bifurcations. We will be primarily interested in estimating the stability region, for systems subjected to parameter variations, when the condition of hyperbolicity of equilibrium points on the stability boundary is violated due to the appearance of a type-zero saddle-node bifurcation on the stability boundary. We will develop in this work, a complete characterization of the stability boundary in the presence of a type-zero saddle-node non-hyperbolic equilibrium point. Also, motivated to providing a conceptual algorithm to obtain estimates of the perturbed stability region via level sets of a given energy function in the neighborhood of a type-zero saddle-node bifurcation parameter, we offer results that explain the behavior of the stability region and its boundary under the influence of parameter variations, including variations of the parameter close to a type-zero saddle-node bifurcation parameter.

O objetivo geral deste trabalho é a extensão dos métodos diretos para o estudo de estabilidade de tensão em sistemas de potência. Devido à diversidade dos dispositivos com distinta velocidade de atuação, propriedades de escalas de tempo foram exploradas para viabilizar essa extensão. O presente trabalho de pesquisa tem como contribuições (i) o estabelecimento de uma metodologia geral para análise de estabilidade de sistemas elétricos de potência em escalas de tempo e (ii) a extensão dos métodos diretos para a análise de estabilidade em escalas de tempo de sistemas de potência. Com base na teoria dos sistemas singularmente perturbados, propõe-se um algoritmo geral de análise de estabilidade em escalas de tempo de sistemas elétricos de potência e estabelecem-se os fundamentos teóricos deste algoritmo que validam a decomposição da análise de estabilidade em escalas de tempo. Assim, a análise de estabilidade de um sistema elétrico de potência pode ser decomposta na análise de estabilidade de seus correspondentes subsistemas rápido e lento, de menor ordem. Estes fundamentos preenchem uma lacuna que existia entre as análises de estabilidade no curto-prazo e médio-prazo e estabelece uma relação entre elas. Em particular, o método quase estático (QSS) para análise de estabilidade na escala de médio prazo, que pressupõe que as dinâmicas rápidas são estáveis e a análise de estabilidade transitória são casos particulares do algoritmo proposto. A partir dos fundamentos da decomposição da análise de estabilidade em escalas de tempo, estenderam-se os métodos diretos de análise de estabilidade, em particular o método CUEP, inicialmente desenvolvidos para análises de estabilidade transitória, para o problema de análise de estabilidade no médio prazo via decomposição da análise em escalas de tempo. Essa extensão é importante na medida em que os métodos diretos são rápidos, e viabilizam o desenvolvimento de técnicas de análise de estabilidade de tensão que sejam adequadas para aplicações em tempo real. A metodologia proposta foi testada em sistemas de potência de pequeno porte com bons resultados na avaliação de tempos de atuação dos equipamentos de controle e proteção, fornecendo também um melhor entendimento dos mecanismos de estabilização dos sistemas de potência analisados. / The aim of this study is the extent of direct methods for the study of voltage stability in power systems. Because of the diversity of devices with different speed of action, time-scales properties were explored to enable this extension. This research work has as contributions (i) establishing a general methodology for stability analysis of electric power systems on time scales and (ii) the extent of direct methods for the analysis of stability in time-scales scales of electric power systems. Based on the theory of singularly perturbed systems, we propose a general algorithm of stability analysis in time-scales electric power systems and develop the theoretical foundations of this algorithm to validate the decomposition of stability analysis in time scales. Thus, the stability analysis of a power system can be decomposed in the stability analysis of their corresponding fast and slow subsystems of lower order. These fundamentals fill the gap that existed between the stability analysis in the short-term and mid-term and establishes a relationship between them. In particular, the quasi steady state method (QSS) for stability analysis of the mid-term scale, which presupposes that the fast dynamics are stable and transient stability analysis are particular cases of the algorithm proposed. From the fundamentals of decomposition of time scales stability analysis, the direct methods of stability analysis will be extended, in particular CUEP method initially developed for transient stability analysis, for the mid-term stability problem via time-scale analysis. This extension is important because the direct methods are fast, and enable the development of voltage stability analysis techniques that are suitable for real time applications. The proposed methodology was tested in small power systems with good results in the evaluation of operating times of the control and protection equipment, also providing a better understanding of the stabilization mechanisms of the analyzed power systems.

Neste trabalho, estuda-se o problema de estabilidade de tensão do ponto de vista dinâmico, enfocando a análise nas instabilidades originadas por grandes perturbações. A modelagem utilizada nestes estudos envolve dinâmicas que possuem múltiplas escalas de tempo, mas na prática, os problemas de instabilidade de tensão estão geralmente associados às dinâmicas de longo prazo. Nesse sentido, o método de análise QSS fornece muitas vantagens do ponto de vista computacional, reduzindo significativamente o tempo de processamento, mediante a substituição das equações de dinâmica rápida por suas correspondentes equações de equilíbrio. As contribuições deste trabalho são duas: a primeira consiste no estudo da importância da região de estabilidade das dinâmicas lentas do SEP e sua relação com a região de estabilidade do sistema original. A segunda consiste em estudar a aplicação do método QSS no SEP oleando para as condições existentes na literatura e analisando principalmente as desvantagens de sua aplicação. Os sistemas de potência apresentados na literatura são utilizados como exemplos. Com base nestas simulações e na teoria existente da análise QSS, são estudadas algumas condições sob as quais o método QSS é válido. A teoria de região de estabilidade para estes sistemas é explorada para fornecer indicativos de margem de estabilidade e controle preventivo. / In this work, we study the problem of voltage stability of the dynamic point of view, focusing the analysis on the instability caused by large disturbances. The modeling used in these studies involves dynamics that have multiple time scales, but in practice, the problems of voltage instability are generally associated with long-term scale. Thus, the QSS method of analysis provides many advantages in terms of computational resource, significantly reducing the processing time, by replacing the equations by their corresponding fast dynamic equilibrium equations. The contributions of this work are two: the first is to study the importance of the stability region of the slow dynamics of the power system and its relation to the stability region of the original system. The second is to study the application of the QSS method in power systems considering the current theory in the literature and analyzing the main disadvantages of its application. The power system presented in the literature are used as examples. Based on these simulations and the existing theory of the QSS method, we study some conditions under which this method is valid. The theory of stability region for these systems is exploited to provide indicative of margin stability and preventive control.

Os fundamentos teóricos desenvolvidos neste trabalho e que dão suporte aos métodos propostos garantem que as estimativas obtidas sejam sempre conservadoras (no sentido de que elas são sempre subconjuntos da região de estabilidade verdadeira) e, portanto, possuam elevado grau de confiança ao concluir sobre a estabilidade do sistema. Os métodos apresentados consistem em extensões dos métodos Closest UEP e CUEP, utilizados na análise de estabilidade transitória de sistemas elétricos de potência, para sistemas que admitem FEG. Embora os métodos Closest UEP e CUEP forneçam estimativas de forma rápida e precisa, sua aplicação está limitada à existência de uma Função Energia (FE) para o sistema, o que consiste em uma forte limitação. Muitos sistemas não admitem FE e, mesmo quando se pode provar a existência de uma FE, a impossibilidade de exibi-la impede a aplicação dos métodos citados. Outra contribuição deste trabalho consiste em um método computacional que permite a obtenção de uma FEG para sistemas polinomiais. O método apresentado também é aplicado a uma classe de problemas não polinomiais, provenientes da modelagem de sistemas elétricos de potência, mediante uma mudança não linear de variáveis que permite a construção de um sistema polinomial equivalente. Através dos métodos apresentados, visa-se disponibilizar métodos computacionais que permitam a obtenção de estimativas rápidas e precisas e que possam ser aplicados a uma ampla classe de sistemas: aqueles que admitem FEG. Com isso, almeja-se não somente contribuir para o desenvolvimento de métodos para análise de estabilidade de sistemas elétricos de potência mas, também, disponibilizá-los a outras áreas do conhecimento. / In this work, we develop computational methods to estimate stability regions and the relevant part of stability boundary of attracting sets of nonlinear dynamical systems. Such methods are based on Generalized Energy Function (GEF) theory and, therefore, can be applied to a larger class of problems than those based on Energy Functions (EF). The theoretical foundations developed in this work, which support the proposed methods, ensure that the estimates are always conservative (in the sense that they are subsets of the true stability region), providing high confidence level when asserting the stability of a system. The presented methods are extensions of the Closest UEP and the CUEP methods, used in the assessment of stability of electrical power systems, to the systems that admit GEF. Even though the Closest UEP and CUEP methods provide estimates in a fast and accurate way, they are only applicable to systems that admit EFs, which consists in a strong limitation for their usage. Many systems do not admit EF and, even if it is possible to prove the existence of an EF, the impossibility to exhibit it in the form of elementary mathematical functions prevents the application of such methods. Other contribution of this work is a computational method to obtain a GEF for polinomial systems. We also applied the presented method to a class of non polinomial systems arising from electrical power system models, after a nonlinear change of variables that provides an equivalent polinomial system. By means of the proposed methods, we aim to offer computational methods to allow fast and accurate stability region estimates which could be used in a broad class of dynamical systems: those that admit GEF. This way, we plan to contribute for the development of methods used in the assessment of stability of electrical power systems and make such tools available to systems from other areas of science.

Neste trabalho, estuda-se o problema de estabilidade de tensão do ponto de vista dinâmico, enfocando a análise nas instabilidades originadas por grandes perturbações. A modelagem utilizada nestes estudos envolve dinâmicas que possuem múltiplas escalas de tempo, mas na prática, os problemas de instabilidade de tensão estão geralmente associados às dinâmicas de longo prazo. Nesse sentido, o método de análise QSS fornece muitas vantagens do ponto de vista computacional, reduzindo significativamente o tempo de processamento, mediante a substituição das equações de dinâmica rápida por suas correspondentes equações de equilíbrio. As contribuições deste trabalho são duas: a primeira consiste no estudo da importância da região de estabilidade das dinâmicas lentas do SEP e sua relação com a região de estabilidade do sistema original. A segunda consiste em estudar a aplicação do método QSS no SEP oleando para as condições existentes na literatura e analisando principalmente as desvantagens de sua aplicação. Os sistemas de potência apresentados na literatura são utilizados como exemplos. Com base nestas simulações e na teoria existente da análise QSS, são estudadas algumas condições sob as quais o método QSS é válido. A teoria de região de estabilidade para estes sistemas é explorada para fornecer indicativos de margem de estabilidade e controle preventivo. / In this work, we study the problem of voltage stability of the dynamic point of view, focusing the analysis on the instability caused by large disturbances. The modeling used in these studies involves dynamics that have multiple time scales, but in practice, the problems of voltage instability are generally associated with long-term scale. Thus, the QSS method of analysis provides many advantages in terms of computational resource, significantly reducing the processing time, by replacing the equations by their corresponding fast dynamic equilibrium equations. The contributions of this work are two: the first is to study the importance of the stability region of the slow dynamics of the power system and its relation to the stability region of the original system. The second is to study the application of the QSS method in power systems considering the current theory in the literature and analyzing the main disadvantages of its application. The power system presented in the literature are used as examples. Based on these simulations and the existing theory of the QSS method, we study some conditions under which this method is valid. The theory of stability region for these systems is exploited to provide indicative of margin stability and preventive control.

O objetivo geral deste trabalho é a extensão dos métodos diretos para o estudo de estabilidade de tensão em sistemas de potência. Devido à diversidade dos dispositivos com distinta velocidade de atuação, propriedades de escalas de tempo foram exploradas para viabilizar essa extensão. O presente trabalho de pesquisa tem como contribuições (i) o estabelecimento de uma metodologia geral para análise de estabilidade de sistemas elétricos de potência em escalas de tempo e (ii) a extensão dos métodos diretos para a análise de estabilidade em escalas de tempo de sistemas de potência. Com base na teoria dos sistemas singularmente perturbados, propõe-se um algoritmo geral de análise de estabilidade em escalas de tempo de sistemas elétricos de potência e estabelecem-se os fundamentos teóricos deste algoritmo que validam a decomposição da análise de estabilidade em escalas de tempo. Assim, a análise de estabilidade de um sistema elétrico de potência pode ser decomposta na análise de estabilidade de seus correspondentes subsistemas rápido e lento, de menor ordem. Estes fundamentos preenchem uma lacuna que existia entre as análises de estabilidade no curto-prazo e médio-prazo e estabelece uma relação entre elas. Em particular, o método quase estático (QSS) para análise de estabilidade na escala de médio prazo, que pressupõe que as dinâmicas rápidas são estáveis e a análise de estabilidade transitória são casos particulares do algoritmo proposto. A partir dos fundamentos da decomposição da análise de estabilidade em escalas de tempo, estenderam-se os métodos diretos de análise de estabilidade, em particular o método CUEP, inicialmente desenvolvidos para análises de estabilidade transitória, para o problema de análise de estabilidade no médio prazo via decomposição da análise em escalas de tempo. Essa extensão é importante na medida em que os métodos diretos são rápidos, e viabilizam o desenvolvimento de técnicas de análise de estabilidade de tensão que sejam adequadas para aplicações em tempo real. A metodologia proposta foi testada em sistemas de potência de pequeno porte com bons resultados na avaliação de tempos de atuação dos equipamentos de controle e proteção, fornecendo também um melhor entendimento dos mecanismos de estabilização dos sistemas de potência analisados. / The aim of this study is the extent of direct methods for the study of voltage stability in power systems. Because of the diversity of devices with different speed of action, time-scales properties were explored to enable this extension. This research work has as contributions (i) establishing a general methodology for stability analysis of electric power systems on time scales and (ii) the extent of direct methods for the analysis of stability in time-scales scales of electric power systems. Based on the theory of singularly perturbed systems, we propose a general algorithm of stability analysis in time-scales electric power systems and develop the theoretical foundations of this algorithm to validate the decomposition of stability analysis in time scales. Thus, the stability analysis of a power system can be decomposed in the stability analysis of their corresponding fast and slow subsystems of lower order. These fundamentals fill the gap that existed between the stability analysis in the short-term and mid-term and establishes a relationship between them. In particular, the quasi steady state method (QSS) for stability analysis of the mid-term scale, which presupposes that the fast dynamics are stable and transient stability analysis are particular cases of the algorithm proposed. From the fundamentals of decomposition of time scales stability analysis, the direct methods of stability analysis will be extended, in particular CUEP method initially developed for transient stability analysis, for the mid-term stability problem via time-scale analysis. This extension is important because the direct methods are fast, and enable the development of voltage stability analysis techniques that are suitable for real time applications. The proposed methodology was tested in small power systems with good results in the evaluation of operating times of the control and protection equipment, also providing a better understanding of the stabilization mechanisms of the analyzed power systems.

Os fundamentos teóricos desenvolvidos neste trabalho e que dão suporte aos métodos propostos garantem que as estimativas obtidas sejam sempre conservadoras (no sentido de que elas são sempre subconjuntos da região de estabilidade verdadeira) e, portanto, possuam elevado grau de confiança ao concluir sobre a estabilidade do sistema. Os métodos apresentados consistem em extensões dos métodos Closest UEP e CUEP, utilizados na análise de estabilidade transitória de sistemas elétricos de potência, para sistemas que admitem FEG. Embora os métodos Closest UEP e CUEP forneçam estimativas de forma rápida e precisa, sua aplicação está limitada à existência de uma Função Energia (FE) para o sistema, o que consiste em uma forte limitação. Muitos sistemas não admitem FE e, mesmo quando se pode provar a existência de uma FE, a impossibilidade de exibi-la impede a aplicação dos métodos citados. Outra contribuição deste trabalho consiste em um método computacional que permite a obtenção de uma FEG para sistemas polinomiais. O método apresentado também é aplicado a uma classe de problemas não polinomiais, provenientes da modelagem de sistemas elétricos de potência, mediante uma mudança não linear de variáveis que permite a construção de um sistema polinomial equivalente. Através dos métodos apresentados, visa-se disponibilizar métodos computacionais que permitam a obtenção de estimativas rápidas e precisas e que possam ser aplicados a uma ampla classe de sistemas: aqueles que admitem FEG. Com isso, almeja-se não somente contribuir para o desenvolvimento de métodos para análise de estabilidade de sistemas elétricos de potência mas, também, disponibilizá-los a outras áreas do conhecimento. / In this work, we develop computational methods to estimate stability regions and the relevant part of stability boundary of attracting sets of nonlinear dynamical systems. Such methods are based on Generalized Energy Function (GEF) theory and, therefore, can be applied to a larger class of problems than those based on Energy Functions (EF). The theoretical foundations developed in this work, which support the proposed methods, ensure that the estimates are always conservative (in the sense that they are subsets of the true stability region), providing high confidence level when asserting the stability of a system. The presented methods are extensions of the Closest UEP and the CUEP methods, used in the assessment of stability of electrical power systems, to the systems that admit GEF. Even though the Closest UEP and CUEP methods provide estimates in a fast and accurate way, they are only applicable to systems that admit EFs, which consists in a strong limitation for their usage. Many systems do not admit EF and, even if it is possible to prove the existence of an EF, the impossibility to exhibit it in the form of elementary mathematical functions prevents the application of such methods. Other contribution of this work is a computational method to obtain a GEF for polinomial systems. We also applied the presented method to a class of non polinomial systems arising from electrical power system models, after a nonlinear change of variables that provides an equivalent polinomial system. By means of the proposed methods, we aim to offer computational methods to allow fast and accurate stability region estimates which could be used in a broad class of dynamical systems: those that admit GEF. This way, we plan to contribute for the development of methods used in the assessment of stability of electrical power systems and make such tools available to systems from other areas of science.