In this dissertation, we developed a mathematical framework for cohomological field theories (CohFTs) in the language of ``QK-manifolds', which unifies the previous ones in (Baulieu and Singer 1988; Baulieu and Singer 1989; Ouvry, Stora, and Van Baal 1989; Atiyah and Jeffrey 1990; Birmingham et al. 1991; Kalkman 1993; Blau 1993). Within this new framework, we classified the (gauge invariant) solutions to the descent equations in CohFTs (with gauge symmetries). We revisited Witten’s idea of topological twisting and showed that the twisted super-Poincaré algebra gives rise naturally to a ``QK-structure'. We also generalized the Mathai-Quillen construction of the universal Thom class via a variational bicomplex lift of the equivariant cohomology. Our framework enables a uniform treatment of examples like topological quantum mechanics, topological sigma model, and topological Yang-Mills theory.

L'effet Hall quantique, qui apparaît dans les gaz d'électrons bidimensionnels soumis à un champ magnétique perpendiculaire et à basses températures, a été un sujet de recherche intense pendant les derniers trente ans, en particulier, à cause des manifestations spectaculaires de la mécanique quantique dans les propriétés de transport à l'échelle macroscopique. Dans cette thèse, on étend l'horizon de la recherche au niveau théorique sur ce sujet en considérant les effets du couplage spin-orbite et l'interaction électron-électron de façon analytique dans ce régime.Dans la première partie de ce manuscrit, on considère l'effet simultané du couplage spin-orbite de type Rashba et l'interaction Zeeman dans le régime de l'effet Hall quantique entier. Pour cela, on étend un formalisme de fonctions de Green basé sur des états de vortex cohérents avec l'objectif d'inclure le couplage entre les degrés de liberté orbitaux et de spin dans les états de dérive électroniques. Puis, comme première application, on montre comment obtenir analytiquement, nonperturbativement et de manière contrôlée des fonctionnelles quantiques (spectre et densité d'états locale) pour des potentiels électrostatiques arbitraires et localement plats. Les fonctionnelles sont ensuite analysées dans différents régimes de températures et comparées aux données expérimentales obtenues à partir des sondes de spectroscopie locales. Comme seconde mise en pratique du formalisme, on étudie en profondeur les propriétés de transport de charge et de spin dans un régime hydrodynamique d'équilibre local (ou quasi-équilibre) et dérive des expressions analytiques qui incorporent les caractères non-relativiste et relativiste des gaz d'électrons avec couplage spin-orbite de type Rashba.Dans la deuxième partie de cette thèse, on s'occupe du problème de traiter analytiquement les fortes interactions électron-électron dans le régime de l'effet Hall quantique fractionnaire. A cette fin, on étudie un problème à deux corps généralisé avec du désordre et des corrélations électroniques, en utilisant une nouvelle représentation d'états de vortex cohérents. Des corrélations à longue portée entre les particules sont incorporées de manière topologique à travers la présence d'une métrique non-Euclidienne. Subséquemment, on montre que ces états de vortex forment bien une base d'un espace de Hilbert élargi, puis on dérive l'équation du mouvement pour la fonction de Green. Enfin, on vérifie la consistance de notre théorie pour tout niveau de Landau de paire et on discute la nécessité d'aller au-delà de la limite semiclassique (à champ magnétique infinie) pour obtenir des gaps dans chaque niveau de énergie. / The quantum Hall effect, appearing in disordered two-dimensional electron gases under strong perpendicular magnetic fields and low temperatures, has been a subject of intense research during the last thirty years due to its very spectacular macroscopic quantum transport properties. In this thesis, we expand the theoretical horizon by analytically considering the effects of spin-orbit coupling and strong electron-electron interaction in these systems.In the first part of the manuscript, we examine the simultaneous effect of Rashba spin-orbit and Zeeman interaction in the integer quantum Hall regime. Under these conditions, we extend a coherent-state vortex Green's function formalism to take into account the coupling between orbital and spin degrees of freedom within the electronic drift states. As a first application of this framework, we analytically compute controlled microscopic nonperturbative quantum functionals, such as the energy spectrum and the local density of states, in arbitrary locally flat electrostatic potential landscapes, which are then analyzed in detail in different temperature regimes and compared to scanning tunnelling experimental data. As a second application, we thoroughly study local equilibrium charge and spin transport properties and derive analytical useful formulas which incorporate the mixed non-relativistic and relativistic character of Rashba-coupled electron gases.In the second part of this thesis, we deal with the problem of analytically incorporating strong electron-electron interactions in the fractional quantum Hall regime. To this purpose, we consider a generalized two-body problem where both disorder and correlations are combined and introduce a new vortex coherent-state representation of the two-body states that naturally include long-range correlations between the electrons. The novelty of this theory is that correlations are topologically built in through the non-Euclidean metric of the Hilbert space. Next, we show that this kind of vortex states form a basis of an enlarged Hilbert space and derive the equation of motion for the Green's function in this representation. Finally, we check the consistency of our approach for any Landau level of the pair and discuss the necessity of going beyond the semiclassical (infinite magnetic field) approximation to obtain energy gaps within each energy level.

Cette thèse d'algèbre commutative porte principalement sur la théorie de la profondeur. Nous nous efforçons d'en fournir une approche épurée d'hypothèse noethérienne dans l'espoir d'échapper aux idéaux premiers et ceci afin de manier des objets élémentaires et explicites. Parmi ces objets, figurent les complexes algébriques de Koszul et de Cech dont nous étudions les propriétés cohomologiques grâce à des résultats simples portant sur la cohomologie du totalisé d'un bicomplexe. Dans le cadre de la cohomologie de Cech, nous avons établi la longue suite exacte de Mayer-Vietoris avec un traitement reposant uniquement sur le maniement des éléments. Une autre notion importante est celle de dimension de Krull. Sa caractérisation en termes de monoïdes bords permet de montrer de manière expéditive le théorème d'annulation de Grothendieck en cohomologie de Cech. Nous fournissons également un algorithme permettant de compléter un polynôme homogène en un h.s.o.p.. La profondeur est intimement liée à la théorie des résolutions libres/projectives finies, en témoigne le théorème de Ferrand-Vasconcelos dont nous rapportons une généralisation due à Jouanolou. Par ailleurs, nous revenons sur des résultats faisant intervenir la profondeur des idéaux caractéristiques d'une résolution libre finie. Nous revisitons, dans un cas particulier, une construction due à Tate permettant d'expliciter une résolution projective totalement effective de l'idéal d'un point lisse d'une hypersurface. Enfin, nous abordons la théorie de la régularité en dimension 1 via l'étude des idéaux inversibles et fournissons un algorithme implémenté en Magma calculant l'anneau des entiers d'un corps de nombres. / This Commutative Algebra thesis focuses mainly on the depth theory. We try to provide an approach without noetherian hypothesis in order to escape prime ideals and to handle only basic and explicit concepts. We study the algebraic complexes of Koszul and Cech and their cohomological properties by using simple results on the cohomology of the totalization of a bicomplex. In the Cech cohomology context we established the long exact sequence of Mayer-Vietoris only with a treatment based on the elements. Another important concept is that of Krull dimension. Its characterization in terms of monoids allows us to show expeditiously the vanishing Grothendieck theorem in Cech cohomology.We also provide an algorithm to complete a omogeneous polynomial in a h.s.o.p.. The depth is closely related to the theory of finite free/projective resolutions. We report a generalization of the Ferrand-Vasconcelos theorem due to Jouanolou. In addition, we review some results involving the depth of the ideals of expected ranks in a finite free resolution.We revisit, in a particular case, a construction due to Tate. This allows us to give an effective projective resolution of the ideal of a point of a smooth hypersurface. Finally, we discuss the regularity theory in dimension 1 by studying invertible ideals and provide an algorithm implemented in Magma computing the ring of integers of a number field.