VASCONCELOS, F. N. F. dos. Estudo das propriedades de bilhares na presença de campos externos. 2017. 59 f. Dissertação (Mestrado em Física) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Giordana Silva (giordana.nascimento@gmail.com) on 2017-04-12T20:56:17Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_fnfdvasconcelos.pdf: 16316342 bytes, checksum: 0d3b910763c139c2e62a6516ea5ae780 (MD5) / Approved for entry into archive by Giordana Silva (giordana.nascimento@gmail.com) on 2017-04-12T20:56:44Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_fnfdvasconcelos.pdf: 16316342 bytes, checksum: 0d3b910763c139c2e62a6516ea5ae780 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-04-12T20:56:44Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_fnfdvasconcelos.pdf: 16316342 bytes, checksum: 0d3b910763c139c2e62a6516ea5ae780 (MD5) Previous issue date: 2017 / The study of the chaotic properties of some complex systems has been largely developed from the technological advancement provided by computers. Among these systems, we can highlight the billiards, which, due to their simplicity and enormous applicability, they have stood out among the other models. In this work, we study the properties of some billiards, when subject to the action of an external field. Here the external field is represented by a velocity field, wich is obtained from the flow of a fluid. Such fluid exerts a drag force on the particle bounded by the boundary defining the billiard. In contrast to the other works done with billiards, we propose a totally numerical approach, taking into account several factors that could exercise influence on the particle dynamics, such as the elastic force that the particle suffers when it collides with the boundary, the outflow regime of the fluid, and the drag effect on the trajectory of the particle, caused by a force that is proportional to a potential of the velocity in the form F / vγ. From this approach we could observe a decay on the energy of the particle, which occurred in a linear form (γ = 1.0), polynomial of the second degree (γ = 1.5) and exponential (γ = 2.0). Moreover, as we analyzed the phase space of the systems (billiards), the effect of the dissipation parameter contributed to the emerging of a sea of chaos in some cases, and also to the appearance of an attractor, whose effect also originates from the action of the external field. / O estudo de propriedades caóticas de alguns sistemas complexos vem se desenvolvendo amplamente a partir do avanço tecnológico proporcionado pelos computadores. Dentre esses sistemas, podemos ressaltar os bilhares, que devido a sua simplicidade e enorme aplicabilidade vem se destacando dentre os demais modelos. Neste trabalho, estudamos as propriedades de alguns bilhares sujeitos a ação de um campo externo. Aqui, o campo externo é representado por meio de um campo de velocidade que é obtido a partir do escoamento de um fluido. Este fluido exerce uma força de arrasto sobre a partícula que encontra-se confinada pela fronteira que define o bilhar. Ao contrário dos outros trabalhos realizados com bilhares, propomos uma abordagem totalmente numérica levando em consideração aos vários fatores que poderiam influenciar na dinâmica da partícula, como por exemplo, a força elástica que a partícula sofre ao colidir com a fronteira, o regime de escoamento do fluido e o efeito do arraste na trajetória da partícula, causado por uma força que é proporcional a uma potência da velocidade na forma F / vγ. A partir desta abordagem, foi possível observar um decaimento na energia da partícula, que se deu de forma linear (γ = 1:0), polinomial do segundo grau (γ = 1:5) e exponencial (γ = 2:0). Além disso, quando analisamos o espaço de fase dos sistemas (bilhares), o efeito do parâmetro dissipativo contribuiu para o surgimento de um mar de caos em alguns casos, e ainda, para o surgimento de um atrator, cujo efeito é oriundo também da ação do campo externo.

Neste trabalho demonstra-se que para uma classe grande de bilhares com fronteiras de curvatura positiva, negativa ou nula, a região de Pesin tem medida um. Também demonstra- se que a condição de Wojtkowski para curvas focalizadoras não é necessária para ter região de Pesin de medi da um; mais precisamente, encontram- se condições abertas para curvas C4 focalizad oras distintas das dadas por Wojtkowski. As demonstrações aqui apresentadas tornam-se bem mais simples que as dos trabalhos até aqui exis tentes pois uti lizamos procedimentos desenvolvidos por Lewowicz sobre o comport amento assintótico de certas formas quadráticas. / We prove that for a large class of bil l iards with boundaries of pos iti ve, negative or null curvature the region of Pesin has measure one. We also prove that Wojtkows ki's condition on focal curves is not necessary for Pesin's region of measure one; more precisely, we give open conditions for c4 focal curves which are distinct from thos e of Wojtkowski . The proofs presented herein are much simpler than the previously existing ones since we use Lewowicz' s resu lts on assymptotic behaviour of certain quadratic forms.

Submitted by MARCUS VINÍCIUS CAMILLO GÁLIA (niciu86@gmail.com) on 2016-04-11T19:04:40Z No. of bitstreams: 1 dissertacao_estrutura.pdf: 442836 bytes, checksum: 1fa4e568f456e1432401b1654274be6e (MD5) / Rejected by Juliano Benedito Ferreira (julianoferreira@reitoria.unesp.br), reason: Solicitamos que realize uma nova submissão seguindo as orientações abaixo: No campo “Versão a ser disponibilizada online imediatamente” foi informado que seria disponibilizado o texto completo porém no campo “Data para a disponibilização do texto completo” foi informado que o texto completo deverá ser disponibilizado apenas 6 meses após a defesa. Caso opte pela disponibilização do texto completo apenas 6 meses após a defesa selecione no campo “Versão a ser disponibilizada online imediatamente” a opção “Texto parcial”. Esta opção é utilizada caso você tenha planos de publicar seu trabalho em periódicos científicos ou em formato de livro, por exemplo e fará com que apenas as páginas pré-textuais, introdução, considerações e referências sejam disponibilizadas. Se optar por disponibilizar o texto completo de seu trabalho imediatamente selecione no campo “Data para a disponibilização do texto completo” a opção “Não se aplica (texto completo)”. Isso fará com que seu trabalho seja disponibilizado na íntegra no Repositório Institucional UNESP. Por favor, corrija esta informação realizando uma nova submissão. Agradecemos a compreensão. on 2016-04-13T12:36:13Z (GMT) / Submitted by MARCUS VINÍCIUS CAMILLO GÁLIA (niciu86@gmail.com) on 2016-04-13T14:24:54Z No. of bitstreams: 1 dissertacao_estrutura.pdf: 442836 bytes, checksum: 1fa4e568f456e1432401b1654274be6e (MD5) / Approved for entry into archive by Felipe Augusto Arakaki (arakaki@reitoria.unesp.br) on 2016-04-14T19:56:56Z (GMT) No. of bitstreams: 1 galia_mvc_me_rcla.pdf: 442836 bytes, checksum: 1fa4e568f456e1432401b1654274be6e (MD5) / Made available in DSpace on 2016-04-14T19:56:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 galia_mvc_me_rcla.pdf: 442836 bytes, checksum: 1fa4e568f456e1432401b1654274be6e (MD5) Previous issue date: 2016-01-26 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / O presente trabalho de pesquisa foi motivado por um modelo de bilhar unidimensional denominado de Bouncer. O modelo consiste em uma partícula movendo-se sob ação de um campo gravitacional e que colide com um plataforma móvel. Apresentaremos suas características e propriedades que motivaram a pesquisa para um bilhar bidimensional com geometria da fronteira do tipo ovóide. Os objetivos desta dissertação são de estudar as propriedades estatísticas e termodinâmicas de um bilhar ovóide com dependência temporal na fronteira em um regime dissipativo em relação as colisões entre a partícula e a fronteira. Para o bilhar bidimensional, apresentaremos as propriedades desenvolvidas inspiradas no modelo unidimensional. Desenvolvemos as expressões para determinar os expoentes críticos do sistema em relação a velocidade quadrática média, o número de colisões em função do tempo e a conexão com a termodinâmica através do teorema de equipartição de energia. Nesta dissertação apresentamos um forma alternativa de fazer a conexão com a termodinâmica através da lei de Fourier para a condução do calor, para bilhares bidimensionais e de determinar o número de colisões em função do tempo. / This work was motivated by a one-dimensional model called as bouncer. The model consists of a particle moving under the action of a gravitational field and experiences collisions with a periodic moving platform. We describe shortly its dynamical properties and move forward to a two-dimensional billiard problem of the oval-like shape. The objective of this dissertation is to study some statistical and thermodynamical properties of an oval-like shaped billiard whose boundary moves in time. Upon collision with the boundary, the particle has a fractional lose of energy produced by inelastic collisions. We then obtain equations that describe the dynamics at both sort and large time. By the use of equipartition theorem, we make a connection of the dynamical results with the thermodynamics approach. In this dissertation we present an alternative way of making the connection with thermodynamics via the Fourier’s law for heat conduction. / CNPq: 130351/2014-8

Neste trabalho demonstra-se que para uma classe grande de bilhares com fronteiras de curvatura positiva, negativa ou nula, a região de Pesin tem medida um. Também demonstra- se que a condição de Wojtkowski para curvas focalizadoras não é necessária para ter região de Pesin de medi da um; mais precisamente, encontram- se condições abertas para curvas C4 focalizad oras distintas das dadas por Wojtkowski. As demonstrações aqui apresentadas tornam-se bem mais simples que as dos trabalhos até aqui exis tentes pois uti lizamos procedimentos desenvolvidos por Lewowicz sobre o comport amento assintótico de certas formas quadráticas. / We prove that for a large class of bil l iards with boundaries of pos iti ve, negative or null curvature the region of Pesin has measure one. We also prove that Wojtkows ki's condition on focal curves is not necessary for Pesin's region of measure one; more precisely, we give open conditions for c4 focal curves which are distinct from thos e of Wojtkowski . The proofs presented herein are much simpler than the previously existing ones since we use Lewowicz' s resu lts on assymptotic behaviour of certain quadratic forms.

Neste trabalho demonstra-se que para uma classe grande de bilhares com fronteiras de curvatura positiva, negativa ou nula, a região de Pesin tem medida um. Também demonstra- se que a condição de Wojtkowski para curvas focalizadoras não é necessária para ter região de Pesin de medi da um; mais precisamente, encontram- se condições abertas para curvas C4 focalizad oras distintas das dadas por Wojtkowski. As demonstrações aqui apresentadas tornam-se bem mais simples que as dos trabalhos até aqui exis tentes pois uti lizamos procedimentos desenvolvidos por Lewowicz sobre o comport amento assintótico de certas formas quadráticas. / We prove that for a large class of bil l iards with boundaries of pos iti ve, negative or null curvature the region of Pesin has measure one. We also prove that Wojtkows ki's condition on focal curves is not necessary for Pesin's region of measure one; more precisely, we give open conditions for c4 focal curves which are distinct from thos e of Wojtkowski . The proofs presented herein are much simpler than the previously existing ones since we use Lewowicz' s resu lts on assymptotic behaviour of certain quadratic forms.

Neste trabalho, mostramos que os bilhares hiperbólicos construídos originalmente por Bussolari- Lenci têm a propriedade de Bernoulli. Tais bilhares não satisfazem as técnicas standard de Wojtkowski-Markarian-Donnay-Bunimovich para bilhares focalizadores hiperbólicos, a qual requer que o diâmetro da mesa do bilhar seja de mesma ordem que o maior raio de curvatura ao longo da componente focalizadora. Nossa prova, utiliza um teorema ergódico local que nos diz que sob certas condições, existe um conjunto de medida total do espaço de fase do bilhar tal que cada ponto desse conjunto possui uma vizinhança contida (mod 0) em uma componente Bernoulli da aplicação do bilhar. / In this work, we show that hyperbolic billiards constructed originally by Bussolari-Lenci has the Bernoulli property. These billiards do not satisfy the standard Wojtkowski-Markarian-Donnay- Bunimovich technique for the hyperbolicity of focusing or mixed billiards in the plane, which requires the diameter of a billiard table to be of the same order as the largest ray of curvature along the focusing boundary. Our proof employs a locally ergodic theorem which says that under a few conditions, there exists a full measure set of the billiard phase space such that each of its points has a neighborhood contained, up to a zero measure set, in one Bernoulli component of the billiard map.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:25:31Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2009-07-08Bitstream added on 2014-06-13T20:53:31Z : No. of bitstreams: 1 oliveira_dfm_me_rcla.pdf: 1134230 bytes, checksum: 395fef9fc0f44e5228482e14a2c83df4 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / O problema de bilhar teve origem em 1927 quando G.D. Birkhoff considerou um sistema para descrever o movimento de uma partícula livre dentro de uma região fechada por uma fronteira com a qual sofre colisões. Ao atingir a fronteira a partícula é refletida e viaja com velocidade constante até a próxima colisão. Nesse trabalho consideramos um modelo bidimensional conhecido na literatura como Bilhar Elíptico-ovóide. O raio da fronteira em coordenadas polares é dado por R(θ, p, e, є) = (1−e2)/[1+e cos(θ)]+є cos(pθ). Este modelo comporta-se como uma combinação dos bilhares elíptico e ovóide. Se considerarmos o caso em que a excentricidade e = 0 recuperamos os resultados para o bilhar ovóide, por outro lado, se a deformação na fronteira for nula, є = 0, os resultados para o bilhar elíptico são recuperados. Tal modelo consiste em considerar o movimento de uma partícula clássica de massa m movendo-se livremente no interior de uma região fechada. Ao colidir com a fronteira a trajetória da partícula muda de direção sem sofrer perdas de energia. Encontramos as expressões que descrevem a dinâmica do modelo nas variáveis posição angular e ângulo que a trajetória faz com a reta tangente à curva no ponto de colisão e discutimos nossos resultados numéricos. Observamos que o espaço de fases é do tipo misto, contendo ilhas do tipo Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) geralmente envoltas por um mar de caos, caracterizado por um expoente de Lyapunov positivo, e curvas invariantes do tipo spanning separando diferente regiões do espaço de fases. Entretanto, à medida que os parâmetros de controle são variados, a forma da fronteira se altera, podendo ocorrer que algumas regiões da fronteira passam a ter curvatura negativa. Uma implicação imediata deste comportamento é a destruição das curvas invariantes spanning no espaço de fases.... / The interest in understanding the dynamics of billiard problems becomes in earlies 1927 when Birkhoff introduced a system to describe the motion of a free particle inside a closed region with which the particle suffers elastic collisions. Inside the billiard, a point particle of mass m moves freely along a straight line until it hits the boundary. After the collision, it is assumed that the particle is specularly reflected. In our work we propose a special geometry for the boundary of a classical billiard, which we call as elliptical-oval boundary. The radius of the boundary in polar coordinates is given by R(θ, p, e, є) = (1−e2)/[1+e cos(θ)]+є cos(pθ). It is important to say that the shape of the boundary is controlled by three relevant control parameters, namely p=integer number, є = deformation of the boundary and e is the eccentricity. We obtain and discuss some numerical results considering different possibles combination of the control parameters. In our approach, we obtained a map that describe the particle’s dynamics and show that there are a critical value for the parameter є. We show that the phase space has different structures when є > єc and є < єc. Finaly, we obtained the positive Lyapunov Exponent reinforcing that the model has a chaotic behaviour. After studying the static version, we revisit the problem of a classical particle bouncing elastically inside a periodically time varying Oval billiard. The problem is described using a four dimensional mapping for the variables velocity of the particle; time immediately after a collision with the moving boundary; the angle that the trajectory of the particle does with the tangent at the position of the hit; and the angular position of the particle along the boundary. Our main goal is to understand and describe the behaviour of the particle’s average velocity (and hence its energy) as a function of the number of ...(Complete abstract click electronic access below)

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Um bilhar consiste basicamente de uma partÃcula confinada em uma regiÃo do espaÃo. Trataremos apenas de bilhares em duas dimensÃes na ausÃncia de campos externos e desprezaremos qualquer tipo de forÃas dissipativas, de modo que as colisÃes da partÃcula com as fronteiras do bilhar sÃo elÃsticas. AlÃm disso, as fronteiras sÃo fixas, ou seja, respeitam uma equaÃÃo do tipo $R = R(r, heta)$, onde r e $ heta$ sÃo as coordenadas polares planas. O bilhar à um modelo interessante por vÃrios motivos. Primeiro, à um sistema muito simples (tem poucos graus de liberdade) e de fÃcil visualizaÃÃo. No entanto, possui uma dinÃmica nÃo-trivial com grande riqueza de comportamentos (podendo apresentar comportamento regular, caÃtico ou atà mesmo misto, caso em que coexistem no espaÃo de fase de um Ãnico bilhar regiÃes caÃticas e regulares). Segundo, o tratamento numÃrico desses sistemas nÃo requer integraÃÃo numÃrica de equaÃÃes diferenciais e, portanto, nÃo consume muito tempo de execuÃÃo. AlÃm disso, os bilhares permitem que realizemos investigaÃÃes de carÃter fundamental, por exemplo, podemos estudar como sistemas regulares reagem ao serem levemente perturbados. Especificamente, iremos aplicar uma rugosidade na fronteira do bilhar circular e elÃptico e observar como o espaÃo de fase irà mudar ao sofrer tal perturbaÃÃo. / In this work we are going to study a physical system known as billiard. A billiard is defined to be basically a confined particle in a closed region of the space. We are going to deal with only two-dimensionals billiards in the absence of extern fields and to neglect any kind of dissipative forces, in a way that the colisions of the particle with the boundary are elastics. Beyond that, the boundary are fixed, it means they respect an equation of kind $R(r, heta)$, where $r$ and $ heta$ are the polar coordinates on a plan. A billiard is a very interesting model by several reasons. First, it is a simple system (it has a few degree of freedom) and it is of easy visualization. However, it has a non-trivial dynamics with a big richness of behaviors (from a billiard it could appear regular behavior, chaotic behavior, or even a mixed behavior, where coexist in the phase space of one billiard chaotics and regular regions). Second, the numerical approach of these systems does not require numerical integration of diferential equations and, therefore, does not take too much time of execution. Furthermore, the billiards allow us to perform investigations of fundamental nature, for example, we can study how regular systems react by being slightly disturbed. Especificaly, we perform a rugosity perturbation on the billiard surface and observe how the phase space is going to change.

Neste trabalho, mostramos que os bilhares hiperbólicos construídos originalmente por Bussolari- Lenci têm a propriedade de Bernoulli. Tais bilhares não satisfazem as técnicas standard de Wojtkowski-Markarian-Donnay-Bunimovich para bilhares focalizadores hiperbólicos, a qual requer que o diâmetro da mesa do bilhar seja de mesma ordem que o maior raio de curvatura ao longo da componente focalizadora. Nossa prova, utiliza um teorema ergódico local que nos diz que sob certas condições, existe um conjunto de medida total do espaço de fase do bilhar tal que cada ponto desse conjunto possui uma vizinhança contida (mod 0) em uma componente Bernoulli da aplicação do bilhar. / In this work, we show that hyperbolic billiards constructed originally by Bussolari-Lenci has the Bernoulli property. These billiards do not satisfy the standard Wojtkowski-Markarian-Donnay- Bunimovich technique for the hyperbolicity of focusing or mixed billiards in the plane, which requires the diameter of a billiard table to be of the same order as the largest ray of curvature along the focusing boundary. Our proof employs a locally ergodic theorem which says that under a few conditions, there exists a full measure set of the billiard phase space such that each of its points has a neighborhood contained, up to a zero measure set, in one Bernoulli component of the billiard map.

Investigaremos algumas propriedades dinâmicas e de transporte para um conjunto de partículas clássicas não interagentes em diversos sistemas físicos. Os sistemas descritos aqui, em sua maioria, apresentam estrutura mista no espaço de fase no sentido de que curvas invariantes do tipo spanning, mares de caos e ilhas periódicas estão presentes. A descrição de cada sistema será feita utilizando mapeamentos discretos não lineares. Detalharemos a forma de obter os mapeamentos assim como discutiremos algumas de suas propriedades dinâmicas. Expoentes de Lyapunov serão utilizados para caracterizar a região de caos nos sistemas. Hipóteses de escala são usadas para provar que certos observáveis, por exemplo a energia média ao longo de mares de caos, são invariantes de escala. Consideraremos também que quando uma partícula, ou de forma equivalente um conjunto delas atinge uma determinada altura no espaço de fases, ela pode escapar. Ao estudar o escape de partículas, vemos que o histograma do número de partículas que atingem uma certa altura (ou energia) h no espaço de fases em uma dada iterada n, ao qual observamos ser invariante de escala, cresce rapidamente até atingir um máximo e então tende à zero para n grande. Quando a altura h varia proporcionalmente a posição da primeira curva invariante spanning, podemos confirmar uma invariância de escala do histograma de frequências. O mesmo ocorre para a probabilidade de sobrevivência da partícula à dinâmica. Neste contexto, abordaremos os seguintes problemas: (1) Um guia de ondas senoidalmente corrugado; (2) Uma família de mapas Hamiltonianos bidimensionais que recupera diversos modelos; (3) Partículas confinadas em uma caixa com potenciais infinitos nas bordas e contendo em seu interior um poço de potencial dependente periodicamente do tempo; (4) Analisaremos um bilhar ovóide com dependência temporal introduzida através de giro, onde para certas condições observamos que este não apresenta um aparente crescimento ilimitado de energia (aceleração de Fermi), desta forma sendo um possível contra-exemplo da conjectura LRA. Esta tese é um resumo de 8 artigos que foram publicados em revistas internacionais. / We investigate some dynamical and transport properties for a set of non-interacting classical particles. The systems here described, for the most part, present mixed structure in the phase space in the sense that invariant spanning curves, chaotic seas and periodic islands are present. The dynamics of each model is described by using non-linear mappings. We show all the details to construct the mappings and discuss some of their dynamical properties including fixed points stability among others. Lyapunov exponents will be obtained to characterize the chaotic dynamics observed in the phase space. Moreover some scaling hypotheses are used to prove that certain observables, including the average energy, are scaling invariant. We consider also that when a particle or an ensemble of them reach a certain portion of the phase space, they can escape. When studying the escape, we see that the histogram for the number of particles that reach certain height (or energy) h in the phase space for the iteration n, for which we observe to be scaling invariant, grows quickly until reaching a maximum and then goes towards zero for large enough n. When changing the height h proportionally to the position of the first invariant spanning curve, we can confirm the scaling invariance. The same happens for the survival probability for a particle in the chaotic dynamics. In this way, we will discuss the following problems: (1) A corrugated waveguide; (2) A family of two-dimensional Hamiltonian mappings which can reproduce different scaling exponents; (3) Particles confined to bounce in the interior of a time-dependent potential well; (4) We will analyse a rotating oval billiard, where for certain conditions we observed that this system does not present the unbounded energy growth (Fermi acceleration), in this way it is a possible counterexample of the LRA conjecture. This thesis is as summary of eight papers already published.