Magíster en Ciencias, Mención Computación / Ingeniero Civil Matemático / Una red Booleana es un modelo de redes en el cual, cada nodo o elemento de la red tiene asociado una función Booleana que determina el estado del nodo respectivo, y de esta forma la evolución de la red en el tiempo. Los puntos fijos de una red Booleana, esto es, estados particulares de la red que permanecen constantes en el tiempo, han ganado importancia, por ejemplo, en el contexto de redes de regulación génica, donde los puntos fijos tienen un correlato biológico. Para cada red finita y estado inicial posible, dentro de una cantidad finita de actualizaciones de la red, los estados de la red alcanzarán un punto fijo o un ciclo límite, la cual es una secuencia de estados de la red que se repiten a lo largo del tiempo. Puntos fijos y ciclos límites son denominados atractores de la red. En este trabajo nos concentramos en estudiar ciertos aspectos de los atractores de redes Booleanas, incluyendo aspectos computacionales, caracterizaciones, entre otros, utilizando la noción de "filtro'' de una red. Un filtro es un procedimiento consistente en aplicar de forma iterativa transformaciones a una red, cada una de las cuales simula con dinámica paralela cierto modo de actualización, produciendo una nueva red cuyas propiedades y dinámica pueden ser relacionadas con la red inicial. Se ha mostrado que estos filtros pueden ser muy útiles, dado que filtros asociados a actualizaciones secuenciales pueden entregar información eficientemente sobre los puntos fijos de una red (Goles y Salinas 2010). Nuestro análisis se restringe a redes Booleanas disyuntivas, lo cual permite concentrarse solo en la topología de la red. Nos concentramos además en esquemas de actualización bloque-secuencial, los cuales son una generalización de los esquemas paralelo y secuencial. Los principales resultados de este trabajo establecen cotas polinomiales para la complejidad de tiempo de un filtro, así como condiciones sobre la red y esquema de entrada que aseguran ciertas propiedades en la red de salida, incluyendo la remoción de ciclos límites. Los resultados obtenidos hacen uso de teoría de matrices positivas, y fueron formulados con la ayuda de simulaciones computacionales ejecutadas con una aplicación desarrollada para este fin.

En esta tesis hemos estudiado dos problemas: el primero consiste en encontrar condiciones mínimas para obtener una cierta clase de recubrimientos del plano discreto mediante cuadrados y el segundo corresponde al estudio de redes Booleanas. El problema de recubrimiento por cuadrados nace como una variante del problema de embaldosado. El problema de embaldosado consiste en cubrir el plano discreto, o una parte de éste, sin dejar hoyos y sin superponer baldosas con un número finito de formas distintas. El caso estudiado consiste en cubrir completamente el plano discreto usando sólo cuadrados que pueden superponerse, pero no pueden compartir bordes ni vértices (recubrimiento fuerte). Además, se estudia el caso donde se permite dejar zonas de tamaño acotado sin cubrir y donde todos los cuadrados en el recubrimiento deben estar conectados (recubrimiento débil). Hemos probado que, en el caso donde todos los cuadrados tienen el mismo tamaño e intersectan el mismo número de cuadrados, los recubrimientos fuertes y débiles presentan cotas inferiores para el tamaño y número de cuadrados que los intersectan. Además, para un tamaño de cuadrado dado, mostramos una cota superior de orden lineal para el número de cuadrados que lo intersectan en un recubrimiento sea fuerte o débil, El segundo problema trata de redes Booleanas, las que fueron introducidas por S. Kauffman (1969) con el objeto de modelar las redes de regulación génica. El primer aspecto estudiado son las redes Booleanas cuyo grafo asociado es por capas. Probamos que el comportamiento límite de este tipo de redes queda completamente determinado por el estado inicial de los nodos en la primera capa, y que los atractores de estas redes son de largo potencia de dos. Más aún, en el caso que todas las bucles sean monótonas crecientes todos los atractores son puntos fijos. El segundo aspecto estudiado es la robustez de la dinámica y del comportamiento límite de una red Booleana frente a distintos esquemas de actualización (paralelo, secuencial por bloques o secuencial). Cada esquema de actualización permite definir un grafo con signo, los resultados obtenidos prueban que si dos esquemas de actualización generan el mismo grafo con signo, estas redes tienen exactamente el mismo comportamiento dinámico. Por otro lado, dado que los puntos fijos son invariantes frente a los distintos esquemas de actualización, nos concentramos en estudiar cómo pequeños cambios en el esquema de actualización producen diferencias en el conjunto de ciclos dinámicos asociados a una red Booleana. Uno de los principales resultados es el que muestra que, dado un esquema de actualización es posible encontrar otro con el cual no comparte ciclos dinámicos. Por último, presentamos un algoritmo que opera como un filtro de ciclos dinámicos para redes Booleanas donde todos los circuitos son positivos. Dada una red Booleana, que tiene sólo circuitos positivos, este filtro permite encontrar en tiempo polinomial una nueva red Booleana que tiene exactamente los mismos puntos fijos, pero no tiene ningún ciclo dinámico. Este algoritmo permite, además, encontrar un punto fijo de la red Booleana en tiempo polinomial.

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Orientador: Alexandre Cesar Rodrigues Silva / Resumo: Com a evolução e difusão do desenvolvimento de equipamentos utilizando microtecnologia e nanotecnologia, circuitos cada vez menores, mais eficientes e que consomem menos energia, são necessários. Os métodos de minimização de funções booleanas tornam-se relevantes por possibilitarem a otimização de circuitos lógicos, através da geração de circuitos que possuam a mesma funcionalidade, porém, minimizados. Estudos na área de minimização de funções booleanas são realizados há muito tempo, e estão sendo adaptados às novas tecnologias. A geração de implicantes primos de uma função booleana é um dos passos para a cobertura dos mintermos da função e, consequentemente, para a obtenção da função de custo mínimo. Neste trabalho, a Primeira Fase do Método de Quine-McCluskey para Funções Booleanas com Múltiplas Saídas (QMM) foi implementada para posterior comparação com os Métodos Propostos GPMultiplo e MultiGeraPlex (baseados na filosofia do algoritmo GeraPlex). Os métodos propostos geram os implicantes primos de uma função booleana com múltiplas saídas e utilizam a operação de consenso iterativo para comparar dois termos. Os resultados obtidos, através da comparação do GPMultiplo, MultiGeraPlex e da Primeira Fase do Método de QMM, puderam comprovar que a aplicação dos métodos propostos torna-se mais viável e vantajosa por permitir menor tempo de execução e uso de memória, menor quantidade de implicantes gerados e de comparações entre os termos. / Mestre

Orientador: Prof. Dr. Jair Donadelli Jr. / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação, 2014.

Orientador: Prof. Dr. Ronaldo Cristiano Prati / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação, 2014.

Em sistemas biológicos, o estudo da estabilidade das redes de regulação gênica é visto como uma contribuição importante que a Matemática pode proporcionar a pesquisas sobre câncer e outras doenças genéticas. Neste trabalho, utilizamos o conceito de ``canalização\'\' como sinônimo de estabilidade em uma rede biológica. Como as características de uma rede de regulação canalizada ainda são superficialmente compreendidas, estudamos esse conceito sob o ponto de vista computacional: propomos um modelo matemático simplificado para descrever o fenômeno e realizamos algumas análises sobre o mesmo. Mais especificamente, a estabilidade da maior bacia de atração das redes Booleanas - um clássico paradigma para a modelagem de redes de regulação - é analisada. Os resultados indicam que a estabilidade da maior bacia de atração está relacionada com dados biológicos sobre o crescimento de colônias de leveduras e que considerações sobre a interação entre as funções Booleanas e a topologia da rede devem ser realizadas conjuntamente na análise de redes estáveis. / In biological systems, the study of gene regulatory networks stability is seen as an important contribution that Mathematics can make to cancer research and that of other genetic diseases. In this work, we consider the concept of ``canalization\'\' as a consequence of stability in gene regulatory networks. The characteristics of canalized regulatory networks are superficially understood. Hence, we study the canalization concept under a computational framework: a simplified model is proposed to describe the phenomenon using Boolean Networks - a classical paradigm to modeling regulatory networks. Specifically, the stability of the largest basin of attraction in gene regulatory networks is analyzed. Our results indicate that the stability of the largest basin of attraction is related to biological data on growth of yeast colonies, and that thoughts about the interaction between Boolean functions and network topologies must be given in the analysis of stable networks.

O problema de fatorar e decompor funções Booleanas é Σ-completo2 para funções gerais. Algoritmos eficientes e exatos podem ser criados para classes de funções existentes como funções read-once, disjoint-support decomposable e read-polarity-once. Uma forma fatorada é chamada de read-once (RO) se cada variável aparece uma única vez. Uma função Booleana é RO se existe uma forma fatorada RO que a representa. Por exemplo, a função representada por =12+134+135 é uma função RO, pois pode ser fatorada em =1(2+3(4+5)). Uma função Booleana f(X) pode ser decomposta usando funções mais simples g e h de forma que ()=ℎ((1),2) sendo X1, X2 ≠ ∅, e X1 ∪ X2 = X. Uma decomposição disjunta de suporte (disjoint-support decomposition – DSD) é um caso especial de decomposição funcional, onde o conjunto de entradas X1 e X2 não compartilham elementos, i.e., X1 ∩ X2 = ∅. Por exemplo, a função =12̅̅̅3+123̅̅̅ 4̅̅̅+12̅̅̅4 é DSD, pois existe uma decomposição tal que =1(2⊕(3+4)). Uma forma read-polarity-once (RPO) é uma forma fatorada onde cada polaridade (positiva ou negativa) de uma variável aparece no máximo uma vez. Uma função Booleana é RPO se existe uma forma fatorada RPO que a representa. Por exemplo, a função =1̅̅̅24+13+23 é RPO, pois pode ser fatorada em =(1̅̅̅4+3)(1+2). Esta tese apresenta quarto novos algoritmos para síntese de funções Booleanas. A primeira contribuição é um método de síntese para funções read-once baseado em uma estratégia de divisão-e-conquista. A segunda contribuição é um algoritmo top-down para síntese de funções DSD baseado em soma-de-produtos, produto-de-somas e soma-exclusiva-de-produtos. A terceira contribuição é um método bottom-up para síntese de funções DSD baseado em diferença Booleana e cofatores. A última contribuição é um novo método para síntese de funções RPO que é baseado na análise de transições positivas e negativas. / The problem of factoring and decomposing Boolean functions is Σ-complete2 for general functions. Efficient and exact algorithms can be created for an existing class of functions known as read-once, disjoint-support decomposable and read-polarity-once functions. A factored form is called read-once (RO) if each variable appears only once. A Boolean function is RO if it can be represented by an RO form. For example, the function represented by =12+134+135 is a RO function, since it can be factored into =1(2+3(4+5)). A Boolean function f(X) can be decomposed using simpler subfunctions g and h, such that ()=ℎ((1),2) being X1, X2 ≠ ∅, and X1 ∪ X2 = X. A disjoint-support decomposition (DSD) is a special case of functional decomposition, where the input sets X1 and X2 do not share any element, i.e., X1 ∩ X2 = ∅. Roughly speaking, DSD functions can be represented by a read-once expression where the exclusive-or operator (⊕) can also be used as base operation. For example, =1(2⊕(4+5)). A read-polarity-once (RPO) form is a factored form where each polarity (positive or negative) of a variable appears at most once. A Boolean function is RPO if it can be represented by an RPO factored form. For example the function =1̅̅̅24+13+23 is RPO, since it can factored into =(1̅̅̅4+3)(1+2). This dissertation presents four new algorithms for synthesis of Boolean functions. The first contribution is a synthesis method for read-once functions based on a divide-and-conquer strategy. The second and third contributions are two algorithms for synthesis of DSD functions: a top-down approach that checks if there is an OR, AND or XOR decomposition based on sum-of-products, product-of-sums and exclusive-sum-of-products inputs, respectively; and a method that runs in a bottom-up fashion and is based on Boolean difference and cofactor analysis. The last contribution is a new method to synthesize RPO functions which is based on the analysis of positive and negative transition sets. Results show the efficacy and efficiency of the four proposed methods.

O problema de fatorar e decompor funções Booleanas é Σ-completo2 para funções gerais. Algoritmos eficientes e exatos podem ser criados para classes de funções existentes como funções read-once, disjoint-support decomposable e read-polarity-once. Uma forma fatorada é chamada de read-once (RO) se cada variável aparece uma única vez. Uma função Booleana é RO se existe uma forma fatorada RO que a representa. Por exemplo, a função representada por =12+134+135 é uma função RO, pois pode ser fatorada em =1(2+3(4+5)). Uma função Booleana f(X) pode ser decomposta usando funções mais simples g e h de forma que ()=ℎ((1),2) sendo X1, X2 ≠ ∅, e X1 ∪ X2 = X. Uma decomposição disjunta de suporte (disjoint-support decomposition – DSD) é um caso especial de decomposição funcional, onde o conjunto de entradas X1 e X2 não compartilham elementos, i.e., X1 ∩ X2 = ∅. Por exemplo, a função =12̅̅̅3+123̅̅̅ 4̅̅̅+12̅̅̅4 é DSD, pois existe uma decomposição tal que =1(2⊕(3+4)). Uma forma read-polarity-once (RPO) é uma forma fatorada onde cada polaridade (positiva ou negativa) de uma variável aparece no máximo uma vez. Uma função Booleana é RPO se existe uma forma fatorada RPO que a representa. Por exemplo, a função =1̅̅̅24+13+23 é RPO, pois pode ser fatorada em =(1̅̅̅4+3)(1+2). Esta tese apresenta quarto novos algoritmos para síntese de funções Booleanas. A primeira contribuição é um método de síntese para funções read-once baseado em uma estratégia de divisão-e-conquista. A segunda contribuição é um algoritmo top-down para síntese de funções DSD baseado em soma-de-produtos, produto-de-somas e soma-exclusiva-de-produtos. A terceira contribuição é um método bottom-up para síntese de funções DSD baseado em diferença Booleana e cofatores. A última contribuição é um novo método para síntese de funções RPO que é baseado na análise de transições positivas e negativas. / The problem of factoring and decomposing Boolean functions is Σ-complete2 for general functions. Efficient and exact algorithms can be created for an existing class of functions known as read-once, disjoint-support decomposable and read-polarity-once functions. A factored form is called read-once (RO) if each variable appears only once. A Boolean function is RO if it can be represented by an RO form. For example, the function represented by =12+134+135 is a RO function, since it can be factored into =1(2+3(4+5)). A Boolean function f(X) can be decomposed using simpler subfunctions g and h, such that ()=ℎ((1),2) being X1, X2 ≠ ∅, and X1 ∪ X2 = X. A disjoint-support decomposition (DSD) is a special case of functional decomposition, where the input sets X1 and X2 do not share any element, i.e., X1 ∩ X2 = ∅. Roughly speaking, DSD functions can be represented by a read-once expression where the exclusive-or operator (⊕) can also be used as base operation. For example, =1(2⊕(4+5)). A read-polarity-once (RPO) form is a factored form where each polarity (positive or negative) of a variable appears at most once. A Boolean function is RPO if it can be represented by an RPO factored form. For example the function =1̅̅̅24+13+23 is RPO, since it can factored into =(1̅̅̅4+3)(1+2). This dissertation presents four new algorithms for synthesis of Boolean functions. The first contribution is a synthesis method for read-once functions based on a divide-and-conquer strategy. The second and third contributions are two algorithms for synthesis of DSD functions: a top-down approach that checks if there is an OR, AND or XOR decomposition based on sum-of-products, product-of-sums and exclusive-sum-of-products inputs, respectively; and a method that runs in a bottom-up fashion and is based on Boolean difference and cofactor analysis. The last contribution is a new method to synthesize RPO functions which is based on the analysis of positive and negative transition sets. Results show the efficacy and efficiency of the four proposed methods.

O problema de fatorar e decompor funções Booleanas é Σ-completo2 para funções gerais. Algoritmos eficientes e exatos podem ser criados para classes de funções existentes como funções read-once, disjoint-support decomposable e read-polarity-once. Uma forma fatorada é chamada de read-once (RO) se cada variável aparece uma única vez. Uma função Booleana é RO se existe uma forma fatorada RO que a representa. Por exemplo, a função representada por =12+134+135 é uma função RO, pois pode ser fatorada em =1(2+3(4+5)). Uma função Booleana f(X) pode ser decomposta usando funções mais simples g e h de forma que ()=ℎ((1),2) sendo X1, X2 ≠ ∅, e X1 ∪ X2 = X. Uma decomposição disjunta de suporte (disjoint-support decomposition – DSD) é um caso especial de decomposição funcional, onde o conjunto de entradas X1 e X2 não compartilham elementos, i.e., X1 ∩ X2 = ∅. Por exemplo, a função =12̅̅̅3+123̅̅̅ 4̅̅̅+12̅̅̅4 é DSD, pois existe uma decomposição tal que =1(2⊕(3+4)). Uma forma read-polarity-once (RPO) é uma forma fatorada onde cada polaridade (positiva ou negativa) de uma variável aparece no máximo uma vez. Uma função Booleana é RPO se existe uma forma fatorada RPO que a representa. Por exemplo, a função =1̅̅̅24+13+23 é RPO, pois pode ser fatorada em =(1̅̅̅4+3)(1+2). Esta tese apresenta quarto novos algoritmos para síntese de funções Booleanas. A primeira contribuição é um método de síntese para funções read-once baseado em uma estratégia de divisão-e-conquista. A segunda contribuição é um algoritmo top-down para síntese de funções DSD baseado em soma-de-produtos, produto-de-somas e soma-exclusiva-de-produtos. A terceira contribuição é um método bottom-up para síntese de funções DSD baseado em diferença Booleana e cofatores. A última contribuição é um novo método para síntese de funções RPO que é baseado na análise de transições positivas e negativas. / The problem of factoring and decomposing Boolean functions is Σ-complete2 for general functions. Efficient and exact algorithms can be created for an existing class of functions known as read-once, disjoint-support decomposable and read-polarity-once functions. A factored form is called read-once (RO) if each variable appears only once. A Boolean function is RO if it can be represented by an RO form. For example, the function represented by =12+134+135 is a RO function, since it can be factored into =1(2+3(4+5)). A Boolean function f(X) can be decomposed using simpler subfunctions g and h, such that ()=ℎ((1),2) being X1, X2 ≠ ∅, and X1 ∪ X2 = X. A disjoint-support decomposition (DSD) is a special case of functional decomposition, where the input sets X1 and X2 do not share any element, i.e., X1 ∩ X2 = ∅. Roughly speaking, DSD functions can be represented by a read-once expression where the exclusive-or operator (⊕) can also be used as base operation. For example, =1(2⊕(4+5)). A read-polarity-once (RPO) form is a factored form where each polarity (positive or negative) of a variable appears at most once. A Boolean function is RPO if it can be represented by an RPO factored form. For example the function =1̅̅̅24+13+23 is RPO, since it can factored into =(1̅̅̅4+3)(1+2). This dissertation presents four new algorithms for synthesis of Boolean functions. The first contribution is a synthesis method for read-once functions based on a divide-and-conquer strategy. The second and third contributions are two algorithms for synthesis of DSD functions: a top-down approach that checks if there is an OR, AND or XOR decomposition based on sum-of-products, product-of-sums and exclusive-sum-of-products inputs, respectively; and a method that runs in a bottom-up fashion and is based on Boolean difference and cofactor analysis. The last contribution is a new method to synthesize RPO functions which is based on the analysis of positive and negative transition sets. Results show the efficacy and efficiency of the four proposed methods.