L’arithmétique virgule flottante est une approximation de l’arithmétique réelle dans laquelle chaque opération peut introduire une erreur. La norme IEEE 754 requiert que les opérations élémentaires soient aussi précises que possible, mais au cours d’un calcul, les erreurs d’arrondi s’accumulent et peuvent conduire à des résultats totalement faussés. Cela arrive avec une expression aussi simple que ab + cd, pour laquelle l’algorithme naïf retourne parfois un résultat aberrant, avec une erreur relative largement supérieure à 1. Il est donc important d’analyser les algorithmes utilisés pour contrôler l’erreur commise. Je m’intéresse à l’analyse de briques élémentaires du calcul en cherchant des bornes fines sur l’erreur relative. Pour des algorithmes suffisamment précis, en arithmétique de base β et de précision p, on arrive en général à prouver une borne sur l'erreur de la forme α·u + o(u²) où α > 0 et u = 1/2·β1-p est l'unité d'arrondi. Comme indication de la finesse d'une telle borne, on peut fournir des exemples numériques pour les précisions standards qui approchent cette borne, ou bien un exemple paramétré par la précision qui génère une erreur de la forme α·u + o(u²), prouvant ainsi l'optimalité asymptotique de la borne. J’ai travaillé sur la formalisation d’une arithmétique à virgule flottante symbolique, sur des nombres paramétrés par la précision, et à son implantation dans le logiciel de calcul formel Maple. J’ai aussi obtenu une borne d'erreur très fine pour un algorithme d’inversion complexe en arithmétique flottante. Ce résultat suggère le calcul d'une division décrit par la formule x/y = (1/y)·x, par opposition à x/y = (x·y)/|y|². Quel que soit l'algorithme utilisé pour effectuer la multiplication, nous avons une borne d'erreur plus petite pour les algorithmes décrits par la première formule. Ces travaux sont réalisés avec mes directeurs de thèse, en collaboration avec Claude-Pierre Jeannerod (CR Inria dans AriC, au LIP). / Floating-point arithmetic is an approximation of real arithmetic in which each operation may introduce a rounding error. The IEEE 754 standard requires elementary operations to be as accurate as possible. However, through a computation, rounding errors may accumulate and lead to totally wrong results. It happens for example with an expression as simple as ab + cd for which the naive algorithm sometimes returns a result with a relative error larger than 1. Thus, it is important to analyze algorithms in floating-point arithmetic to understand as thoroughly as possible the generated error. In this thesis, we are interested in the analysis of small building blocks of numerical computing, for which we look for sharp error bounds on the relative error. For this kind of building blocks, in base and precision p, we often successfully prove error bounds of the form α·u + o(u²) where α > 0 and u = 1/2·β1-p is the unit roundoff. To characterize the sharpness of such a bound, one can provide numerical examples for the standard precisions that are close to the bound, or examples that are parametrized by the precision and generate an error of the same form α·u + o(u²), thus proving the asymptotic optimality of the bound. However, the paper and pencil checking of such parametrized examples is a tedious and error-prone task. We worked on the formalization of a symbolicfloating-point arithmetic, over numbers that are parametrized by the precision, and implemented it as a library in the Maple computer algebra system. We also worked on the error analysis of the basic operations for complex numbers in floating-point arithmetic. We proved a very sharp error bound for an algorithm for the inversion of a complex number in floating-point arithmetic. This result suggests that the computation of a complex division according to x/y = (1/y)·x may be preferred, instead of the more classical formula x/y = (x·y)/|y|². Indeed, for any complex multiplication algorithm, the error bound is smaller with the algorithms described by the “inverse and multiply” approach.This is a joint work with my PhD advisors, with the collaboration of Claude-Pierre Jeannerod (CR Inria in AriC, at LIP).

Dans cette thèse, nous étudions les solutions de l'équation de Boltzmann. Nous nous intéressons au cadre homogène en espace où la solution f(t; x; v) dépend uniquement du temps t et de la vitesse v. Nous considérons des sections efficaces singulières (cas dit non cutoff) dans le cas Maxwellien. Pour l'étude du problème de Cauchy, nous considérons une fluctuation de la solution autour de la distribution Maxwellienne puis une décomposition de cette fluctuation dans la base spectrale associée à l'oscillateur harmonique quantique. Dans un premier temps, nous résolvons numériquement les solutions en utilisant des méthodes de calcul symbolique et la décomposition spectrale des fonctions de Hermite. Nous considérons des conditions initiales régulières et des conditions initiales de type distribution. Ensuite, nous prouvons qu'il n'y a plus de solution globale en temps pour une condition initiale grande et qui change de signe (ce qui ne contredit pas l'existence globale d'une solution faible pour une condition initiale positive - voir par exemple Villani Arch. Rational Mech. Anal 1998). / In this thesis, we study the solutions of the Boltzmann equation. We are interested in the homogeneous framework in which the solution f(t; x; v) depends only on the time t and the velocity v. We consider singular crosssections (non cuto_ case) in the Maxwellian case. For the study of the Cauchy problem, we consider a uctuation of the solution around the Maxwellian distribution then a decomposition of this uctuation in the spectral base associated to the quantum harmonic oscillator At first, we solve numerically the solutions using symbolic computation methods and spectral decomposition of Hermite functions. We consider regular initial data and initial conditions of distribution type. Next, we prove that there is no longer a global solution in time for a large initial condition that changes sign (which does not contradict the global existence of a weak solution for a positive initial condition - see for example Villani Arch. Rational Mech. Anal 1998).

Les travaux présentés dans ce mémoire se basent sur les apports de l'algèbre différentielle et les méthodes du calcul symbolique pour résoudre des problèmes d'automatique non linéaire qui ne se prêtent pas à une résolution numérique directe.<br /><br />Le problème de l'observabilité algébrique locale consiste à décider si les variables d'état intervenant dans un modèle peuvent être déterminées en fonction des entrées et des sorties supposées parfaitement connues.<br /><br />Nous présentons un algorithme probabiliste de complexité arithmétique polynomiale en la taille de l'entrée permettant de tester l'observabilité algébrique locale en déterminant les variables non observables. L'utilisation du calcul modulaire permet d'obtenir pour ce test une complexité binaire elle aussi polynomiale. Cette complexité dépend linéairement de la probabilité de succès qui peut être arbitrairement fixée. Une implantation de cet algorithme permet de traiter des problèmes inaccessibles jusqu'à présent.<br /><br /><br />À partir de ces méthodes mêlant calcul symbolique et calcul numérique, nous proposons une généralisation de la notion de platitude différentielle à certains modèles non linéaires décrits par des équations aux dérivées partielles. Un système différentiel ordinaire est différentiellement plat si ses solutions peuvent être localement paramétrées bijectivement par des fonctions arbitraires.<br /><br />Pour étudier certains systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires, on se ramène à un système d'équations différentielles ordinaires par discrétisation ; notre approche consiste à chercher des discrétisations plates telles que les paramétrages associés convergent lorsque le pas de discrétisation tend vers zéro. Cette méthode est illustrée par l'étude du problème de planification de trajectoire réalisée pour trois modèles non linéaires de dimension infinie : l'équation de la chaleur semilinéaire, l'équation de Burger avec diffusion et un modèle non linéaire de tige flexible.