<p dir="ltr">A novel computational electromagnetic (CEM) solver using potential-based formulations and discrete exterior calculus (DEC) is proposed. The proposed solver consists of two parts: the DEC A-Phi solver and the DEC F-Psi solver. A and Phi are the magnetic vector potential and electric scalar potential of the electromagnetic (EM) field, respectively; F and Psi are the electric vector potential and magnetic scalar potential, respectively. The two solvers are dual to each other, and most research is carried out with respect to the DEC A-Phi solver.</p><p dir="ltr">Systematical approach for constructing the DEC A-Phi matrix equations is provided in this thesis, including the construction of incidence matrices, Hodge star operators and different boundary conditions. The DEC A-Phi solver is proved to be broadband stable from DC to optics, while classical CEM solvers suffer from stability issues at low frequencies (also known as the low-frequency breakdown). The proposed solver is ideal for broadband and multi-scale analysis, which is of great importance in modern industry.</p><p dir="ltr">To empower the proposed solver with the ability to solve industry problems with large number of unknowns, iterative solvers are preferred. The error-minimization mechanism buried in iterative solvers allows user to control the effect of numerical error accumulation to the solution vector. Proper preconditioners are almost always needed to accelerate the convergence of iterative solvers in large scale problems. In this thesis, preconditioning schemes for the proposed solver are studied.</p><p dir="ltr">In the DEC A-Phi solver, current sources can be applied easily, but it is difficult to implement voltage sources. To incorporate voltage sources in the potential-based solver, the DEC F-Psi solver is proposed. The DEC A-Phi and F-Psi solvers are dual formulations to each other, and the construction of the F-Psi solver can be generalized from the A-Phi solver straightforward.</p>

El objetivo de este proyecto de tesis doctoral es el desarrollo de técnicas analítico-numéricas para resolver, en media cuadrática problemas, de valores iniciales de ecuaciones y sistemas de ecuaciones en diferencias y diferenciales aleatorias de tipo lineal. Respecto del estudio aportado sobre ecuaciones en diferencias (véase Capítulo 3), se extienden al contexto aleatorio algunos de los principales resultados que en el caso determinista se conocen para resolver este tipo de ecuaciones así como para estudiar el comportamiento asintótico de su solución. En lo que se refiere a las ecuaciones diferenciales hay que señalar que el elemento unificador del estudio realizado en esta memoria es la extensión al escenario aleatorio del método de Fröbenius para la búsqueda de soluciones de ecuaciones diferenciales en forma de desarrollos en serie de potencias. A largo de los Capítulos 4-7 se abordan problemas tanto de tipo escalar como de tipo matricial tanto de primer como de segundo orden, donde la aleatoriedad se introduce en los modelos a través de las condiciones iniciales y los coeficientes, siendo además la incertidumbre en este último caso, considerada tanto de forma aditiva como multiplicativa. Los problemas basados en ecuaciones diferenciales aleatorias tratados permiten introducir procesos estocásticos importantes como son el proceso exponencial (véase Capítulo 5), los procesos trigonométricos seno y coseno y algunas de sus propiedades algebraicas básicas (véase Capítulo 6). En el último capítulo se estudia la ecuación diferencial de Hermite con coeficientes aleatorios y, bajo ciertas condiciones, se obtienen soluciones en forma de serie aleatoria finita que definen los polinomios de Hermite aleatorios. Además de obtener las soluciones en forma de serie aleatoria convergente en el sentido estocástico de la media cuadrática, para cada uno de los problemas tratados se calculan aproximaciones de las principales propiedades estadísticas del proceso solución. / Calbo Sanjuán, G. (2010). Mean Square Analytic Solutions of Random Linear Models [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/8721

Tesis por compendio / [EN] Nowadays, online social networks (OSNs) have become a mainstream cultural phenomenon for millions of Internet users. Social networks are an ideal environment for generating all kinds of social benefits for users. Users share experiences, keep in touch with their family, friends and acquaintances, and earn economic benefits from the power of their influence (which is translated into new job opportunities). However, the use of social networks and the action of sharing information imply the loss of the users’ privacy. Recently, a great interest in protecting the privacy of users has emerged. This situation has been due to documented cases of regrets in users’ actions, company scandals produced by misuse of personal information, and the biases introduced by privacy mechanisms. Social network providers have included improvements in their systems to reduce users’ privacy risks; for example, restricting privacy policies by default, adding new privacy settings, and designing quick and easy shortcuts to configure user privacy settings. In the privacy researcher area, new advances are proposed to improve privacy mechanisms, most of them focused on automation, fine-grained systems, and the usage of features extracted from the user’s profile information and interactions to recommend the best privacy policy for the user. Despite these advances, many studies have shown that users’ concern for privacy does not match the decisions they ultimately make in social networks. This misalignment in the users’ behavior might be due to the complexity of the privacy concept itself. This drawback causes users to disregard privacy risks, or perceive them as temporarily distant. Another cause of users’ behavior misalignment might be due to the complexity of the privacy decision-making process. This is because users should consider all possible scenarios and the factors involved (e.g., the number of friends, the relationship type, the context of the information, etc.) to make an appropriate privacy decision. The main contributions of this thesis are the development of metrics to assess privacy risks, and the proposal of explainable privacy mechanisms (using the developed metrics) to assist and raise awareness among users during the privacy decision process. Based on the definition of the concept of privacy, the dimensions of information scope and information sensitivity have been considered in this thesis to assess privacy risks. For explainable privacy mechanisms, soft paternalism techniques and gamification elements that make use of the proposed metrics have been designed. These mechanisms have been integrated into the social network PESEDIA and evaluated in experiments with real users. PESEDIA is a social network developed in the framework of the Master’s thesis of the Ph.D. student [15], this thesis, and the national projects “Privacy in Social Educational Environments during Childhood and Adolescence” (TIN2014-55206- R) and “Intelligent Agents for Privacy Advice in Social Networks” (TIN2017-89156-R). The findings confirm the validity of the proposed metrics for computing the users’ scope and the sensitivity of social network publications. For the scope metric, the results also showed the possibility of estimating it through local and social centrality metrics for scenarios with limited information access. For the sensitivity metric, the results also remarked the users’ misalignment for some information types and the consensus for a majority of them. The usage of these metrics as part of messages about potential consequences of privacy policy choices and information sharing actions to users showed positive effects on users’ behavior regarding privacy. Furthermore, the findings of exploring the users’ trade-off between costs and benefits during disclosure actions of personal information showed significant relationships with the usual social circles (family members, friends, coworkers, and unknown users) and their properties. This allowed designing better privacy mechanisms that appropriately restrict access to information and reduce regrets. Finally, gamification elements applied to social networks and users’ privacy showed a positive effect on the users’ behavior towards privacy and safe practices in social networks. / [ES] En la actualidad, las redes sociales se han convertido en un fenómeno cultural dominante para millones de usuarios de Internet. Las redes sociales son un entorno ideal para la generación de todo tipo de beneficios sociales para los usuarios. Los usuarios comparten experiencias, mantienen el contacto con sus familiares, amigos y conocidos, y obtienen beneficios económicos gracias al poder de su influencia (lo que se traduce en nuevas oportunidades de trabajo). Sin embargo, el uso de las redes sociales y la acción de compartir información implica la perdida de la privacidad de los usuarios. Recientemente ha emergido un gran interés en proteger la privacidad de los usuarios. Esta situación se ha debido a los casos de arrepentimientos documentados en las acciones de los usuarios, escándalos empresariales producidos por usos indebidos de la información personal, y a los sesgos que introducen los mecanismos de privacidad. Los proveedores de redes sociales han incluido mejoras en sus sistemas para reducir los riesgos en privacidad de los usuarios; por ejemplo, restringiendo las políticas de privacidad por defecto, añadiendo nuevos elementos de configuración de la privacidad, y diseñando accesos fáciles y directos para configurar la privacidad de los usuarios. En el campo de la investigación de la privacidad, nuevos avances se proponen para mejorar los mecanismos de privacidad la mayoría centrados en la automatización, selección de grano fino, y uso de características extraídas de la información y sus interacciones para recomendar la mejor política de privacidad para el usuario. A pesar de estos avances, muchos estudios han demostrado que la preocupación de los usuarios por la privacidad no se corresponde con las decisiones que finalmente toman en las redes sociales. Este desajuste en el comportamiento de los usuarios podría deberse a la complejidad del propio concepto de privacidad. Este inconveniente hace que los usuarios ignoren los riesgos de privacidad, o los perciban como temporalmente distantes. Otra causa del desajuste en el comportamiento de los usuarios podría deberse a la complejidad del proceso de toma de decisiones sobre la privacidad. Esto se debe a que los usuarios deben considerar todos los escenarios posibles y los factores involucrados (por ejemplo, el número de amigos, el tipo de relación, el contexto de la información, etc.) para tomar una decisión apropiada sobre la privacidad. Las principales contribuciones de esta tesis son el desarrollo de métricas para evaluar los riesgos de privacidad, y la propuesta de mecanismos de privacidad explicables (haciendo uso de las métricas desarrolladas) para asistir y concienciar a los usuarios durante el proceso de decisión sobre la privacidad. Atendiendo a la definición del concepto de la privacidad, las dimensiones del alcance de la información y la sensibilidad de la información se han considerado en esta tesis para evaluar los riesgos de privacidad. En cuanto a los mecanismos de privacidad explicables, se han diseñado utilizando técnicas de paternalismo blando y elementos de gamificación que hacen uso de las métricas propuestas. Estos mecanismos se han integrado en la red social PESEDIA y evaluado en experimentos con usuarios reales. PESEDIA es una red social desarrollada en el marco de la tesina de Master del doctorando [15], esta tesis y los proyectos nacionales “Privacidad en Entornos Sociales Educativos durante la Infancia y la Adolescencia” (TIN2014-55206-R) y “Agentes inteligentes para asesorar en privacidad en redes sociales” (TIN2017-89156-R). Los resultados confirman la validez de las métricas propuestas para calcular el alcance de los usuarios y la sensibilidad de las publicaciones de las redes sociales. En cuanto a la métrica del alcance, los resultados también mostraron la posibilidad de estimarla mediante métricas de centralidad local y social para escenarios con acceso limitado a la información. En cuanto a la métrica de sensibilidad, los resultados también pusieron de manifiesto la falta de concordancia de los usuarios en el caso de algunos tipos de información y el consenso en el caso de la mayoría de ellos. El uso de estas métricas como parte de los mensajes sobre las posibles consecuencias de las opciones de política de privacidad y las acciones de intercambio de información a los usuarios mostró efectos positivos en el comportamiento de los usuarios con respecto a la privacidad. Además, los resultados de la exploración de la compensación de los usuarios entre los costos y los beneficios durante las acciones de divulgación de información personal mostraron relaciones significativas con los círculos sociales habituales (familiares, amigos, compañeros de trabajo y usuarios desconocidos) y sus propiedades. Esto permitió diseñar mejores mecanismos de privacidad que restringen adecuadamente el acceso a la información y reducen los arrepentimientos. Por último, los elementos de gamificación aplicados a las redes sociales y a la privacidad de los usuarios mostraron un efecto positivo en el comportamiento de los usuarios hacia la privacidad y las prácticas seguras en las redes sociales. / [CA] En l’actualitat, les xarxes socials s’han convertit en un fenomen cultural dominant per a milions d’usuaris d’Internet. Les xarxes socials són un entorn ideal per a la generació de tota mena de beneficis socials per als usuaris. Els usuaris comparteixen experiències, mantenen el contacte amb els seus familiars, amics i coneguts, i obtenen beneficis econòmics gràcies al poder de la seva influència (el que es tradueix en noves oportunitats de treball). No obstant això, l’ús de les xarxes socials i l’acció de compartir informació implica la perduda de la privacitat dels usuaris. Recentment ha emergit un gran interès per protegir la privacitat dels usuaris. Aquesta situació s’ha degut als casos de penediments documentats en les accions dels usuaris, escàndols empresarials produïts per usos indeguts de la informació personal, i als caires que introdueixen els mecanismes de privacitat. Els proveïdors de xarxes socials han inclòs millores en els seus sistemes per a reduir els riscos en privacitat dels usuaris; per exemple, restringint les polítiques de privacitat per defecte, afegint nous elements de configuració de la privacitat, i dissenyant accessos fàcils i directes per a configurar la privacitat dels usuaris. En el camp de la recerca de la privacitat, nous avanços es proposen per a millorar els mecanismes de privacitat la majoria centrats en l’automatització, selecció de gra fi, i ús de característiques extretes de la informació i les seues interaccions per a recomanar la millor política de privacitat per a l’usuari. Malgrat aquests avanços, molts estudis han demostrat que la preocupació dels usuaris per la privacitat no es correspon amb les decisions que finalment prenen en les xarxes socials. Aquesta desalineació en el comportament dels usuaris podria deure’s a la complexitat del propi concepte de privacitat. Aquest inconvenient fa que els usuaris ignorin els riscos de privacitat, o els percebin com temporalment distants. Una altra causa de la desalineació en el comportament dels usuaris podria deure’s a la complexitat del procés de presa de decisions sobre la privacitat. Això es deu al fet que els usuaris han de considerar tots els escenaris possibles i els factors involucrats (per exemple, el nombre d’amics, el tipus de relació, el context de la informació, etc.) per a prendre una decisió apropiada sobre la privacitat. Les principals contribucions d’aquesta tesi són el desenvolupament de mètriques per a avaluar els riscos de privacitat, i la proposta de mecanismes de privacitat explicables (fent ús de les mètriques desenvolupades) per a assistir i conscienciar als usuaris durant el procés de decisió sobre la privacitat. Atesa la definició del concepte de la privacitat, les dimensions de l’abast de la informació i la sensibilitat de la informació s’han considerat en aquesta tesi per a avaluar els riscos de privacitat. Respecte als mecanismes de privacitat explicables, aquests s’han dissenyat utilitzant tècniques de paternalisme bla i elements de gamificació que fan ús de les mètriques propostes. Aquests mecanismes s’han integrat en la xarxa social PESEDIA i avaluat en experiments amb usuaris reals. PESEDIA és una xarxa social desenvolupada en el marc de la tesina de Màster del doctorant [15], aquesta tesi i els projectes nacionals “Privacitat en Entorns Socials Educatius durant la Infància i l’Adolescència” (TIN2014-55206-R) i “Agents Intel·ligents per a assessorar en Privacitat en xarxes socials” (TIN2017-89156-R). Els resultats confirmen la validesa de les mètriques propostes per a calcular l’abast de les accions dels usuaris i la sensibilitat de les publicacions de les xarxes socials. Respecte a la mètrica de l’abast, els resultats també van mostrar la possibilitat d’estimarla mitjançant mètriques de centralitat local i social per a escenaris amb accés limitat a la informació. Respecte a la mètrica de sensibilitat, els resultats també van posar de manifest la falta de concordança dels usuaris en el cas d’alguns tipus d’informació i el consens en el cas de la majoria d’ells. L’ús d’aquestes mètriques com a part dels missatges sobre les possibles conseqüències de les opcions de política de privacitat i les accions d’intercanvi d’informació als usuaris va mostrar efectes positius en el comportament dels usuaris respecte a la privacitat. A més, els resultats de l’exploració de la compensació dels usuaris entre els costos i els beneficis durant les accions de divulgació d’informació personal van mostrar relacions significatives amb els cercles socials habituals (familiars, amics, companys de treball i usuaris desconeguts) i les seves propietats. Això ha permés dissenyar millors mecanismes de privacitat que restringeixen adequadament l’accés a la informació i redueixen els penediments. Finalment, els elements de gamificació aplicats a les xarxes socials i a la privacitat dels usuaris van mostrar un efecte positiu en el comportament dels usuaris cap a la privacitat i les pràctiques segures en les xarxes socials. / Alemany Bordera, J. (2020). Measures of Privacy Protection on Social Environments [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/151456 / Compendio

Diese Arbeit trägt zum Gebiet der Statistik für semi-lineare stochastische partielle Differentialgleichungen (SPDEs) bei. Die Diffusivität und die Stärke des Rauschens sind bekannt, aber die Reaktionsfunktion ist unbekannt und soll basierend auf einer Beobachtung der SPDE geschätzt werden. Da eine Beobachtung der SPDE im Allgemeinen nicht genügend Informationen für die Identifizierung der Reaktionsfunktion enthält, wird analysiert, wie der Informationsgehalt der räumlichen Schnitte über die Reaktionsfunktion erhöht werden kann. Sowohl parametrische als auch nicht-parametrische Methoden zur Schätzung der Reaktionsfunktion werden hergeleitet und analysiert. Die statistische Analyse erfordert das Verständnis der raumzeitlichen Mittelwerte von Transformationen der SPDE. Durch die Nutzung der Clark-Ocone-Formel und der Poincaré-Ungleichung werden neue Konzentrationsresultate, bis hin zu subgaußscher Konzentration, für semi-lineare SPDEs ermöglicht. / This thesis contributes to the field of statistical inference for stochastic semi-linear partial differential equations (SPDEs). The diffusivity and the noise level are known constants, whereas the reaction function is unknown and shall be estimated based on one observation of the SPDE. Since one observation of the SPDE does generally not carry sufficient information to identify the reaction function, it is analysed how to increase the information about the reaction function in the spatial sections of the SPDE. Both parametric and non-parametric estimation methods for the reaction function are derived and analysed. The statistical analysis requires the control of spatio-temporal averages of transformations of the SPDE. By using the Clark-Ocone formula und the Poincaré-inequality, novel concentration tools for semi-linear SPDEs are proven. These range from variance bounds to subgaussian concentration for the spatio-temporal and spatial averages.

Students’ performances in mathematics in an Open Distant Learning setting have not always been impressive. An exploratory study into the problem solving skills of the University of South Africa students in the Calculus module MAT112 is being conducted using past examinations scripts between 2006 and 2009. The study re-assesses the work done in the end-of-year Calculus examinations, by both looking at the distribution of marks awarded and assigning new scores based on an assessment rubric adapted for the problem at hand. Further assessment of qualitative dimensions that is important for problem solving in Calculus is developed from the data obtained from the assessment rubric. Using factor analysis, a hesitation factor, transfer-of-knowledge factor as well as ingenuity factor, are identified in successful Calculus problem solving. The study proposes two conceptual models; the first is to guide students in solving Calculus problems while the second one is meant to assist lecturers in the assessment of students of Calculus. / Science and Technology Education / M. Ed. (Technology Education)

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O presente trabalho tem como objetivo auxiliar professores de Educação Básica a abordar alguns conceitos básicos de Cálculo Diferencial e Integral no terceiro ano do ensino médio, utilizando os softwares wxMaxima e Geogebra. Nossa proposta visa resgatar o ensino do Cálculo no âmbito escolar, mas de uma maneira diferente da tradicional, utilizando a tecnologia em nosso favor, como uma ferramenta facilitadora no processo ensino-aprendizagem de conceitos de limites, derivadas e integrais. A ideia é que toda a parte algébrica e gráfica, que exige conhecimentos matemáticos específicos, seja feita pelos softwares e que os estudantes aprendam a interpretar as soluções que as ferramentas nos fornecem e a conhecerem um pouco mais sobre a matemática e suas aplicações. / The present work aims to help Basic Education teachers to approach some basic concepts of Differential and Integral Calculus in the third year of high school using the software wxMaxima and Geogebra. Our purpose is to recover the teaching of Calculus in the school context, but in a different way from the traditional one, using the technology in our favor, as a facilitating tool in the teaching-learning process of boundary, derivative and integral concepts. The idea is that all the algebraic and graphic part, which requires specific mathematical knowledge, is done by software and that students learn to interpret the solutions that the tools provide us and to know a little more about mathematics and its applications.

Students’ performances in mathematics in an Open Distant Learning setting have not always been impressive. An exploratory study into the problem solving skills of the University of South Africa students in the Calculus module MAT112 is being conducted using past examinations scripts between 2006 and 2009. The study re-assesses the work done in the end-of-year Calculus examinations, by both looking at the distribution of marks awarded and assigning new scores based on an assessment rubric adapted for the problem at hand. Further assessment of qualitative dimensions that is important for problem solving in Calculus is developed from the data obtained from the assessment rubric. Using factor analysis, a hesitation factor, transfer-of-knowledge factor as well as ingenuity factor, are identified in successful Calculus problem solving. The study proposes two conceptual models; the first is to guide students in solving Calculus problems while the second one is meant to assist lecturers in the assessment of students of Calculus. / Science and Technology Education / M. Ed. (Technology Education)

Cette thèse est une contribution au calcul des variations et à la théorie du contrôle optimal dans les cadres discret, plus généralement time scale, et fractionnaire. Ces deux domaines ont récemment connu un développement considérable dû pour l’un à son application en informatique et pour l’autre à son essor dans des problèmes physiques de diffusion anormale. Que ce soit dans le cadre time scale ou dans le cadre fractionnaire, nos objectifs sont de : a) développer un calcul des variations et étendre quelques résultats classiques (voir plus bas); b) établir un principe du maximum de Pontryagin (PMP en abrégé) pour des problèmes de contrôle optimal. Dans ce but, nous généralisons plusieurs méthodes variationnelles usuelles, allant du simple calcul des variations au principe variationnel d’Ekeland (couplé avec la technique des variations-aiguilles), en passant par l’étude d’invariances variationnelles par des groupes de transformations. Les démonstrations des PMPs nous amènent également à employer des théorèmes de point fixe et à prendre en considération la technique des multiplicateurs de Lagrange ou encore une méthode basée sur un théorème d’inversion locale conique. Ce manuscrit est donc composé de deux parties : la Partie 1 traite de problèmes variationnels posés sur time scale et la Partie 2 est consacrée à leurs pendants fractionnaires. Dans chacune de ces deux parties, nous suivons l’organisation suivante : 1. détermination de l’équation d’Euler-Lagrange caractérisant les points critiques d’une fonctionnelle Lagrangienne ; 2. énoncé d’un théorème de type Noether assurant l’existence d’une constante de mouvement pour les équations d’Euler-Lagrange admettant une symétrie ; 3. énoncé d’un théorème de type Tonelli assurant l’existence d’un minimiseur pour une fonctionnelle Lagrangienne et donc, par la même occasion, d’une solution pour l’équation d’Euler-Lagrange associée (uniquement en Partie 2) ; 4. énoncé d’un PMP (version forte en Partie 1, version faible en Partie 2) donnant une condition nécessaire pour les trajectoires qui sont solutions de problèmes de contrôle optimal généraux non-linéaires ; 5. détermination d’une condition de type Helmholtz caractérisant les équations provenant d’un calcul des variations (uniquement en Partie 1 et uniquement dans les cas purement continu et purement discret). Des théorèmes de type Cauchy-Lipschitz nécessaires à l’étude de problèmes de contrôle optimal sont démontrés en Annexe. / This dissertation deals with the mathematical fields called calculus of variations and optimal control theory. More precisely, we develop some aspects of these two domains in discrete, more generally time scale, and fractional frameworks. Indeed, these two settings have recently experience a significant development due to its applications in computing for the first one and to its emergence in physical contexts of anomalous diffusion for the second one. In both frameworks, our goals are: a) to develop a calculus of variations and extend some classical results (see below); b) to state a Pontryagin maximum principle (denoted in short PMP) for optimal control problems. Towards these purposes, we generalize several classical variational methods, including the Ekeland’s variational principle (combined with needle-like variations) as well as variational invariances via the action of groups of transformations. Furthermore, the investigations for PMPs lead us to use fixed point theorems and to consider the Lagrange multiplier technique and a method based on a conic implicit function theorem. This manuscript is made up of two parts : Part A deals with variational problems on time scale and Part B is devoted to their fractional analogues. In each of these parts, we follow (with minor differences) the following organization: 1. obtaining of an Euler-Lagrange equation characterizing the critical points of a Lagrangian functional; 2. statement of a Noether-type theorem ensuring the existence of a constant of motion for Euler-Lagrange equations admitting a symmetry;3. statement of a Tonelli-type theorem ensuring the existence of a minimizer for a Lagrangian functional and, consequently, of a solution for the corresponding Euler-Lagrange equation (only in Part B); 4. statement of a PMP (strong version in Part A and weak version in Part B) giving a necessary condition for the solutions of general nonlinear optimal control problems; 5. obtaining of a Helmholtz condition characterizing the equations deriving from a calculus of variations (only in Part A and only in the purely continuous and purely discrete cases). Some Picard-Lindelöf type theorems necessary for the analysis of optimal control problems are obtained in Appendices.

In this thesis, we develop preconditioned iterative methods for the solution of matrix systems arising from PDE-constrained optimization problems. In order to do this, we exploit saddle point theory, as this is the form of the matrix systems we wish to solve. We utilize well-known results on saddle point systems to motivate preconditioners based on effective approximations of the (1,1)-block and Schur complement of the matrices involved. These preconditioners are used in conjunction with suitable iterative solvers, which include MINRES, non-standard Conjugate Gradients, GMRES and BiCG. The solvers we use are selected based on the particular problem and preconditioning strategy employed. We consider the numerical solution of a range of PDE-constrained optimization problems, namely the distributed control, Neumann boundary control and subdomain control of Poisson's equation, convection-diffusion control, Stokes and Navier-Stokes control, the optimal control of the heat equation, and the optimal control of reaction-diffusion problems arising in chemical processes. Each of these problems has a special structure which we make use of when developing our preconditioners, and specific techniques and approximations are required for each problem. In each case, we motivate and derive our preconditioners, obtain eigenvalue bounds for the preconditioners where relevant, and demonstrate the effectiveness of our strategies through numerical experiments. The goal throughout this work is for our iterative solvers to be feasible and reliable, but also robust with respect to the parameters involved in the problems we consider.

Thesis (MMus (Music))--University of Stellenbosch, 2005. / In this thesis, an attempt is made to create an aesthetically pleasing musical scale based on the ratio of phi. Precedents for the application of phi in aesthetic fields exist; noteworthy is Le Corbusier’s architectural works, the measurements of which are based on phi. A brief discussion of the unique mathematical properties of phi is given, followed by a discussion of the manifestations of phi in the physical ratios as they appear in animal and plant life. Specific scales which have found an application in art music are discussed, and the properties to which their success is attributable are identified. Consequently, during the design of the phi scale, these characteristics are incorporated. The design of the phi scale is facilitated by the use of the most sophisticated modern computer software in the field of psychacoustics. During the scale’s design process, particular emphasis is placed on the requirement of obtaining maximal sensory consonance. For this reason, an in-depth discussion of the theories regarding consonance perception is undertaken. During this discussion, the reader’s attention is drawn to the difference between musical and perceptual consonance, and a discussion of the developmental history of musical consonance is given. Lastly, the scale is tested to see whether it complies with the requirements for successful scales.