Le thème central de cette thèse est l'étude et le rôle des<br />trajectoires anormales en théorie du contrôle optimal.<br /><br />Après avoir rappelé quelques résultats fondamentaux en contrôle<br />optimal, on étudie l'optimalité des<br />anormales pour des systèmes affines mono-entrée avec contrainte<br />sur le contrôle, d'abord pour le problème du temps optimal, puis<br />pour un coût quelconque à temps final fixé ou non.<br />On étend cette théorie aux<br />systèmes sous-Riemanniens de rang 2, montrant qu'on se ramène<br />à un système affine du type précédent.<br />Ces résultats montrent que,<br />sous des conditions générales, une trajectoire anormale est<br />\it{isolée} parmi toutes les solutions du système ayant les mêmes<br />conditions aux limites, et donc \it{localement optimale}, jusqu'à<br />un premier point dit \it{conjugué} que l'on peut caractériser.<br /><br />On s'intéresse ensuite<br />au comportement asymptotique et à la<br />régularité de la fonction valeur associée à un système affine<br />analytique avec un coût quadratique. On montre que, en<br />l'absence de trajectoire<br />anormale minimisante, la fonction valeur est<br />\it{sous-analytique et continue}. S'il existe une anormale<br />minimisante, on sort de la catégorie sous-analytique en général,<br />notamment en géométrie sous-Riemannienne. La présence d'une<br />anormale minimisante est responsable de la \it{non-propreté} de<br />l'application exponentielle, ce qui provoque un phénomène de<br />\it{tangence} des ensembles de niveaux de la fonction valeur par<br />rapport à la direction anormale. Dans le cas affine mono-entrée<br />ou sous-Riemannien de rang 2, on décrit précisément ce<br />contact, et on en déduit une partition de la<br />sphère sous-Riemannienne au voisinage de l'anormale<br />en deux secteurs appelés \it{secteur<br />$L^\infty$} et \it{secteur $L^2$}.\\ <br />La question de transcendance est étudiée dans le cas<br />sous-Riemannien de Martinet où la distribution est<br />$\Delta=\rm{Ker }(dz-\f{y^2}{2}dx)$. On montre que<br />pour une métrique générale graduée d'ordre $0$~:<br />$g=(1+\alpha y)^2dx^2+(1+\beta x+\gamma y)^2dy^2$,<br />les sphères de petit rayon<br />\it{ne sont pas sous-analytiques}. Dans le cas général<br />intégrable où $g=a(y)dx^2+c(y)dy^2$, avec $a$ et $c$ analytiques,<br />les sphères de Martinet appartiennent à la<br />\it{catégorie log-exp}.