京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第22980号 / 理博第4657号 / 新制||理||1669(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 長谷川 真人, 准教授 照井 一成, 准教授 河村 彰星 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第25094号 / 理博第5001号 / 新制||理||1714(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 長谷川 真人, 教授 大木谷 耕司, 准教授 照井 一成 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Agricultural Science / Kyoto University / DFAM

Le thème général de cette thèse est l’exploitation de l’interaction entre la sémantique dénotationnelle et la syntaxe. Des sémantiques satisfaisantes ont été découvertes pour les preuves en logique intuitionniste et linéaire, mais dans le cas de la logique classique, la solution du problème est connue pour être particulièrement difficile. Ce travail commence par l’étude d’une interprétation concrète des preuves classiques dans la catégorie des ensembles ordonnés et bimodules, qui mène à l’extraction d’invariants significatifs. Suit une généralisation de cette sémantique concrète, soit l’interprétation des preuves classiques dans une catégorie compacte fermée où chaque objet est doté d’une structure d’algèbre de Frobenius. Ceci nous mène à une définition de réseaux de démonstrations pour la logique classique. Le concept de correction, l’élimination des coupures et le problème de la “full completeness” sont abordés au moyen d’un enrichissement naturel dans les ordres sur la catégorie de Frobenius, produisant une catégorie pour l'élimination des coupures et un concept de ressources pour la logique classique. Revenant sur notre première sémantique concrète, nous montrons que nous avons une représentation fidèle de la catégorie de Frobenius dans la catégorie des ensembles ordonnés et bimodules. / The general theme of this thesis is the exploitation of the fruitful interaction between denotational semantics and syntax. Satisfying semantics have been discovered for proofs in intuitionistic and certain linear logics, but for the classical case, solving the problem is notoriously difficult.This work begins with investigations of concrete interpretations of classical proofs in the category of posets and bimodules, resulting in the definition of meaningful invariants of proofs. Then, generalizing this concrete semantics, classical proofs are interpreted in a free symmetric compact closed category where each object is endowed with the structure of a Frobenius algebra. The generalization paves a way for a theory of proof nets for classical proofs. Correctness, cut elimination and the issue of full completeness are addressed through natural order enrichments defined on the Frobenius category, yielding a category with cut elimination and a concept of resources in classical logic. Revisiting our initial concrete semantics, we show we have a faithful representation of the Frobenius category in the category of posets and bimodules.

Le lambda calcul avec constructeurs (de Arbiser, Miquel et Rios) est une extension du lambda calcul avec un mécanisme de filtrage. Le filtrage à la ML y est décomposé en deux étapes: une analyse de cas sur des constantes (telle l'instruction «case» de Pascal), et une commutation de l'application avec la construction de filtrage. Cette règle de commutation entre deux constructions de natures différentes induit une géométrie de calcul surprenante, a priori incompatible avec les intuitions habituelles de typage. Cependant il a été montré que ce calcul est confluent, et vérifie la propriété de séparation (à la Böhm). Cette thèse propose un système de types du polymorphique pour ce calcul, et décrit ensuite un modèle de réalisabilité, qui adapte les candidats de réductibilité de Girard au lambda calcul avec constructeurs. La normalisation forte du calcul typé et l'absence d'erreur de filtrage lors de l'évaluation en découlent immédiatement. Nous nous intéressons ensuite à la sémantique du lambda calcul avec constructeurs non typé. Une notion générique de modèle catégorique pour ce calcul est définie, puis un modèle particulier (le modèle syntaxique dans la catégorie des PERs) est construit. Nous en déduisons un résultat de complétude. Enfin, nous proposons une traduction CPS du lambda calcul avec constructeurs dans le lambda calcul simplement typé avec paires. Le lambda calcul avec constructeurs peut ainsi être simulé dans un calcul bien connu, et cette traduction nous permet aussi de transformer tout modèle par continuation en modèle du lambda calcul avec constructeurs. Une équation catégorique caractéristique de ces modèles apparait alors, qui permet de construire des modèles non syntaxiques (dans les domaines) de Scott du lambda calcul avec constructeurs. / The lambda calculus with constructors was introduced by Arbiser, Miquel and Rios in the early 2000's as an extension of lambda calculus with pattern matching features. It decomposes the pattern matching à la ML into a case-analysis on constant constructors (in the spirit of the case instruction in Pascal), and a commutation rule between case construction and application. This commutation rule between two different kinds of constructions designs a surprising computational behaviour, a priori} not compatible with usual typing intuitions. However the whole calculus was proved confluent, and it enjoys the separation property (a version of Böhm's lemma).In this thesis we propose a polymorphic type system for this calculus, and we develop a realisability model, based on Girard's reducibility candidates. This leads to a strong normalisation result for the typed calculus, and guaranties that the type system prevents match failure. Next we focus on semantics for the untyped calculus. We first define a generic notion of models for the lambda calculus with constructors in Cartesian closed categories. We then establish the syntactic model in the category of PERs, and deduce a completeness result from it.Finally, we consider a translation of the lambda calculus with constructors into the pure lambda lambda calculus relying on continuation passing style techniques. This enables the simulation of the lambda calculus with constructors by a well known calculus, and provides a transformation of every continuation model into a model of the lambda calculus with constructors. Thereby a categorical equation characteristic of these models appears, which enables the construction of non syntactic models in Scott's domains.