There has been in the past ten to fifteen years a surge of activity concerning the cohomology of semi-direct product groups of the form $\mathbb{Z}^{n}\rtimes$G with G finite. A problem first stated by Adem-Ge-Pan-Petrosyan asks for suitable conditions for the Lyndon-Hochschild-Serre Spectral Sequence associated to this group extension to collapse at second page of the Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence. In this thesis we use facts from integer representation theory to reduce this problem to only considering representatives from each genus of representations, and establish techniques for constructing new examples in which the spectral sequence collapses.

Dado um grupo G, a definição dos grupos de cohomologia com coeficientes em um ZG-módulo M podem ser dadas usando as técnicas usuais da Álgebra Homológica, que garantem a existência de resoluções projetivas P de Z como um ZG-módulo trivial, a equivalência entre resoluções distintas etc. Podemos também construir o produto cup em cohomologia, cuja definição depende de uma aproximação da diagonal para a resolução projetiva P. Entretanto, o cálculo explicito de tais resoluções e dos grupos de cohomologia pode ser bastante difícil na prática, e ainda mais difícil a obtenção de uma aproximação da diagonal. Nesta tese, obteremos resoluções livres e aproximações da diagonal para os grupos fundamentais das superfícies que são espaços K(G,1) e também para o grupo fundamental de fibrados do toro com base S^1, bem como a estrutura de anel de cohomologia de tais grupos. Ainda, para certos grupos virtualmente cíclicos G, obteremos o anel de cohomologia calculando diretamente uma resolução livre e uma aproximação da diagonal, ou então usando a sequência espectral de Lyndon-Hochschild-Serre. A motivação para o estudo da primeira família de grupos vem do fato de representarem variedades de dimensão 2 e 3, e da segunda família por ser constituída de grupos que atuam em esferas de homotopia. / Given a group G, a definition for its cohomology groups with coefficients in a given ZG-module M can be given using the standard techniques of Homological Algebra, that ensure the existence of projective resolutions P of Z as a trivial ZG-module, the equivalence between two such resolutions etc . We can also construct the cup product, whose definition depends on a diagonal approximation for a given projective resolution P. However, the explicit computation of such resolutions and of the cohomology groups may be very hard in practice, and even worse may be the task of constructing a diagonal approximation. In this thesis, we obtain free resolutions and diagonal approximations for the fundamental groups of surfaces that are K(G,1) spaces and for the fundamental group of the torus bundle with the circle as the base space, as well as the structure of the cohomology ring of these groups. Also, for some virtually cyclic groups, we obtain the cohomology ring by an explicit computation of a free resolution and a diagonal approximation, or by the Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence. The motivation for the study of the first family of groups comes from the fact that such groups represent manifolds of dimension 2 and 3, and the groups of the second family act on homotopy spheres.

Dado um grupo G, a definição dos grupos de cohomologia com coeficientes em um ZG-módulo M podem ser dadas usando as técnicas usuais da Álgebra Homológica, que garantem a existência de resoluções projetivas P de Z como um ZG-módulo trivial, a equivalência entre resoluções distintas etc. Podemos também construir o produto cup em cohomologia, cuja definição depende de uma aproximação da diagonal para a resolução projetiva P. Entretanto, o cálculo explicito de tais resoluções e dos grupos de cohomologia pode ser bastante difícil na prática, e ainda mais difícil a obtenção de uma aproximação da diagonal. Nesta tese, obteremos resoluções livres e aproximações da diagonal para os grupos fundamentais das superfícies que são espaços K(G,1) e também para o grupo fundamental de fibrados do toro com base S^1, bem como a estrutura de anel de cohomologia de tais grupos. Ainda, para certos grupos virtualmente cíclicos G, obteremos o anel de cohomologia calculando diretamente uma resolução livre e uma aproximação da diagonal, ou então usando a sequência espectral de Lyndon-Hochschild-Serre. A motivação para o estudo da primeira família de grupos vem do fato de representarem variedades de dimensão 2 e 3, e da segunda família por ser constituída de grupos que atuam em esferas de homotopia. / Given a group G, a definition for its cohomology groups with coefficients in a given ZG-module M can be given using the standard techniques of Homological Algebra, that ensure the existence of projective resolutions P of Z as a trivial ZG-module, the equivalence between two such resolutions etc . We can also construct the cup product, whose definition depends on a diagonal approximation for a given projective resolution P. However, the explicit computation of such resolutions and of the cohomology groups may be very hard in practice, and even worse may be the task of constructing a diagonal approximation. In this thesis, we obtain free resolutions and diagonal approximations for the fundamental groups of surfaces that are K(G,1) spaces and for the fundamental group of the torus bundle with the circle as the base space, as well as the structure of the cohomology ring of these groups. Also, for some virtually cyclic groups, we obtain the cohomology ring by an explicit computation of a free resolution and a diagonal approximation, or by the Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence. The motivation for the study of the first family of groups comes from the fact that such groups represent manifolds of dimension 2 and 3, and the groups of the second family act on homotopy spheres.

L'objet de la thèse est la classification à conjugaison près des sous-groupes finis du groupe de stabilisateur (classique) de Morava S_n et du groupe de stabilisateur étendu G_n(u) associé à une loi de groupe formel F de hauteur n définie sur le corps F_p à p éléments. Une classification complète dans S_n est établie pour tout entier positif n et premier p. De plus, on montre que la classification dans le groupe étendu dépend aussi de F et son unité associée u dans l'anneau des entiers p-adiques. On établit un cadre théorique pour la classification dans G_n(u), on donne des conditions nécessaires et suffisantes sur n, p et u pour l'existence dans G_n(u) d'extensions de sous-groupes finis maximaux de S_n par le groupe de Galois de F_{p^n} sur F_p, et lorsque de telles extensions existent on dénombre leurs classes de conjugaisons. On illustre nos méthodes en fournissant une classification complète et explicite dans le cas n=2. / The problem addressed is the classification up to conjugation of the finite subgroups of the (classical) Morava stabilizer group S_n and the extended Morava stabilizer group G_n(u) associated to a formal group law F of height n over the field F_p of p elements. A complete classification in S_n is provided for any positive integer n and prime p. Furthermore, we show that the classification in the extended group also depends on F and its associated unit u in the ring of p-adic integers. We provide a theoretical framework for the classification in G_n(u), we give necessary and sufficient conditions on n, p and u for the existence in G_n(u) of extensions of maximal finite subgroups of S_n by the Galois group of F_{p^n} over F_p, and whenever such extension exist we enumerate their conjugacy classes. We illustrate our methods by providing a complete and explicit classification in the case n=2.