Th. 3e cycle--Inform.--Lille 1, 1978. N°: 735.

Cette thèse concerne la combinatoire et l'algorithmique des cartes. En utilisant la théorie des espèces de Joyal, on parvient à des résultats énumératifs concernant les cartes non-étiquetées et étiquetées, enracinées ou non, en genre quelconque suivant leur nombre de faces et d'arêtes. Nous relions la combinatoire des cartes à l'asymptotique de la fonction de Airy par un rapprochement inattendu entre la série génératrice du nombre de cartes triangulaires et le développement asymptotique de la fonction de Airy. Nous donnons également un algorithme permettant de dresser une liste exhaustive des cartes triangulaires, en temps amorti constant pour le cas enraciné. / This thesis is about combinatoric and algorithmic aspects of maps. Using the species theory of Joyal, we get enumerative results concerning labeled and unlabeled maps both rooted or not, of any genus, by the number of their edges and faces. We relate the combinatorics of maps to the asymptotics of the Airy function by a unexpected matching of the generating series of triangular maps and the asymptotic development of the Airy function.We also give an algorithm able to produce an exhaustive list of triangular maps, in constant amortized time in the rooted case.

Le thème principal de ce travail de thèse est de montrer l’interaction existant entre les jeux et les mathématiques au travers d’une catégorie de jeux bien particuliers : les jeux combinatoires. Ces jeux se font sans hasard, sans information cachée et pour chacun des deux joueurs il existe une façon optimale de jouer. Les premiers exemples rencontrés se trouvent dans des écrits de la Renaissance. Les jeux se diffusent aux 17ème et 18ème siècles dans le cadre des récréations mathématiques, genre littéraire et éditorial nouveau qui propose une pratique ludique des sciences fondée sur le défi à l’entendement. L’analyse des jeux combinatoires intéresse ensuite les mathématiciens du début du 20ème siècle, notamment pour les jeux de type Nim. La thèse s’attache à retracer le développement de la théorie mathématique qui se construit autour des jeux combinatoires et aboutit au corps des nombres surréels de John Conway en 1976. En parallèle, elle montre qu’un autre résultat fondamental, attribué à Zermelo (1912), sur la détermination du jeu d’Échecs permet aux jeux combinatoires de s’implanter sur un plan technologique et culturel. Nous voyons les premières machines électromécaniques destinées à jouer au Nim apparaître vers 1940 et se confronter au public lors d’expositions et de salons scientifiques. La naissance des ordinateurs dans les années 1950 ouvre de nouvelles voies pour la programmation du jeu d’Échecs, jeu combinatoire par excellence. La thèse fait revivre les moments forts, faits d’espoirs et de déceptions, qu’a traversés la recherche en programmation d’Échecs, depuis ses débuts jusqu’à la victoire du programme Deep Blue sur le champion du monde Garry Kasparov en 1997. / The main theme of this thesis is to point out the interaction between games and mathematics by means of a category of very specific games, the combinatorial games. These games are no chance games of perfect information and either player (Arthur or Bertha) can force a win, or both players can force at least a draw. The first examples of combinatorial games can be found in Renaissance works. Throughout the seventeenth and eighteenth centuries, games spread as part of recreational mathematics, a new literary and editorial genre that offered an entertaining practice of science based on a challenge to understanding. Then, the analysis of combinatorial games, especially Nim games, aroused the interest of the early-twentieth-century mathematicians. This thesis is devoted to trace the development of the mathematical theory that was formulated around combinatorial games and that led to John Conway’s Field of Surreal Numbers in 1976. In parallel, it shows that another fundamental result on Chess determination, attributed to Zermelo (1912), enabled combinatorial games to become established on a cultural and technological level. Around 1940 appeared the first electromechanical machines, designed to play Nim and to meet the challenges of the audience during scientific exhibitions. The emergence of computers during the 1950s opened new paths for programming Chess, the ultimate combinatorial game. This work brings the highlights, made of hopes and disappointments, which the Chess programming research went through, since its very beginning up to the victory for Deep Blue program over the world champion Garry Kasparov in 1997.

Chacun d'entre nous s'est déjà essayé à un jeu combinatoire, tel que les dames ou les échecs. Les jeux les plus connus présentent le double avantage de mêler plaisir ludique et réflexion. L'intérêt que les mathématiciens leur porte réside souvent autour de la recherche d'une stratégie gagnante pour l'un des deux joueurs. Du jeu de Nim jusqu'aux échecs, la complexité de cette recherche est très variable. Dans cette thèse, nous donnons tout d'abord un aperçu des principales étapes du développement de ce domaine, qui a commencé au début des années 1900, et soulignons son étroite corrélation avec des domaines connexes tels que la théorie des nombres, des codes correcteurs d'erreur ou des graphes. Nous nous intéressons ensuite à des variantes de jeux bien connus : le Wythoff's game et le Dots and Boxes. Nous présentons et expliquons les stratégies et positions de jeu favorables au premier et au second joueur. Enfin, nous regardons une version solitaire d'un jeu récent à deux joueurs : le Clobber. Il s'agit d'un casse-tête qui se joue en posant des pierres sur les sommets d'un graphe, et dont le but est de détruire le plus de pierres possibles. Nous donnons des résultats structurels et algorithmiques sur les grilles, les arbres, ou encore les hypercubes.

Cette thèse se situe au carrefour de la combinatoire et de l'algèbre. Elle se consacre d'une part à traduire des problèmes algébriques en des problèmes combinatoires, et inversement, utilise le formalisme algébrique pour traiter des questions combinatoires. Après un rappel des notions classiques de combinatoire et d'algèbres de Hopfavec quelques applications, nous abordons l'étude de certaines statistiques définies sur les permutations : les pics, les vallées, les doubles montées et les doubles descentes, qui sont à la base de la bijection de Françon-Viennot, elle-même débouchant sur une étude combinatoire des polynômes orthogonaux. Nous montrons qu'à partir de ces statistiques, il est possible de construire diverses sous-algèbres ou algèbres quotients de FQSym, une algèbre dont une base est indexée par les permutations. Puis, nous étudions deux suites classiques de combinatoire par une démarche non commutative : les polynômes de Gandhi, un raffinement polynomial des nombres de Genocchi, et les nombres d'Euler, une suite recelant de nombreuses propriétés combinatoires. Nous nous attachons à montrer que l'approche non commutative permet, dans la majeure partie des cas, d'obtenir de manière directe des interprétations d'identités combinatoires. Enfin, inversement, certaines questions de nature algébrique peuvent être abordées d'un point de vue combinatoire. Ainsi, à travers l'étude des algèbres dendriformes, des algèbres tridendriformes, et des quadrialgèbres, nous prouvons des questions de liberté à propos de ces algèbres grâce à la combinatoire des arbres étiquetés / This thesis is at the crossroads between combinatorics and algebra. It studies some algebraic problems from a combinatorial point of view, and conversely, some combinatorial problems have an algebraic approach which enables us tosolve them. In the first part, some classical statistics on permutations are studied: the peaks, the valleys, the double rises, and the double descents. We show that we can build sub algebras and quotients of FQSym, an algebra which basis is indexed by permutations. Then, we study classical combinatorial sequences such as Gandhi polynomials, refinements of Genocchi numbers, and Euler numbers in a non commutative way. In particular, we see that combinatorial interpretations arise naturally from the non commutative approach. Finally, we solve some freeness problems about dendriform algebras, tridendriform algebras and quadrialgebras thanks to combinatorics of some labelled trees

L'objet de cette thèse est d'étudier la géométrie des immeubles à angles droits. Ces espaces, définis par J. Tits sont des espaces singuliers qui peuvent être vus comme des généralisations des arbres en dimension supérieure. La thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie, nous décrivons comment la notion de résidus parallèles permet de comprendre l'action d'un groupe sur un immeuble. En corollaire nous retrouvons que dans un groupe de Coxeter et dans un produit graphé les intersections de sous-groupes paraboliques sont paraboliques. Dans la seconde partie, nous abordons la structure quasi-conforme du bord des immeubles hyperboliques à angles droits. En particulier, nous trouvons des exemples d'immeubles de dimension 3 et 4 dont le bord vérifie la propriété combinatoire de Loewner. Cette propriété est une version faible de la propriété de Loewner. Cette partie est motivée par le fait que, depuis G.D. Mostow, la structure quasi-conforme au bord a mené à plusieurs résultats de rigidités dans les espaces hyperboliques. Dans le cas des immeubles de dimension 2, M. Bourdon et H. Pajot ont prouvé la rigidité des quasi-isométries en utilisant la propriété de Loewner au bord. / The object of this thesis is to study the geometry of right-angled buildings. These spaces, defined by J. Tits, are singular spaces that can be seen as trees of higher dimension. The thesis is divided in two parts. In the first part, we describe how the notion of parallel residues allows to understand the action of a group on the building. As a corollary we recover that in Coxeter groups and in graph products intersections of parabolic subgroups are parabolic. In the second part, we discuss the quasiconformal structure of boundaries of right-angled hyperbolic buildings thanks to combinatorial tools. In particular, we exhibit some examples of buildings of dimension 3 and 4 whose boundary satisfy the combinatorial Loewner property. This property is a weak version of the Loewner property. This part is motivated by the fact that the quasiconformal structure of the boundary led to many results of rigidity in hyperbolic spaces since G.D. Mostow. In the case of buildings of dimension 2, many works have been done by M. Bourdon and H. Pajot. In particular, the Loewner property on the boundary permitted them to prove the quasi-isometry rigidity for some buildings of dimension 2.

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Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse est consacrée à l’étude de familles à un paramètre de coproduits sur lesfonctions symétriques et leurs analogues non commutatifs. On montre en introduisant une base appropriée qu’une famille à un paramètre d’algèbres de Hopf introduite par Foissy interpole entre l’algèbre de Faà di Bruno et l’algèbre de Farahat-Higman. Les constantes de structure dans cette base sont des déformations des constantes de structures de l’algèbre de Farahat-Higman dans la base des projections des classes de conjugaison. On obtient pour ces constantes de structure déformées un analogue des formules de Macdonald. Foissy a également introduit un analogue non commutatif de cette famille d’algèbres de Hopf, qui interpole entre l’algèbre de Hopf des fonctions symétriques non commutatives et l’algèbre de Faà di Bruno non commutative. Après avoir donné une nouvelle interprétation combinatoire de la formule de Brouder-Frabetti-Krattenthaler pour l’antipode de l’algèbre de Faà di Bruno non commutative, qui est une forme de la formule d’inversion de Lagrange non commutative, on donne une déformation à un paramètre de cette formule. Plus précisément, on obtient une formule explicite pour l’antipode de la déformation de Foissy dans sa version non commutative. On donne aussi d’autres propriétés combinatoires de l’algèbre de Faà di Bruno non commutative et d’autres résultats permettant d’étudier les deux familles d’algèbre de Hopf de Foissy. Ainsi, on généralise par exemple d’autres formes de la formule d’inversion de Lagrange non commutative en donnant d’autres formules qui calculent l’antipode de la deuxième déformation. / This thesis is devoted to study one-parameter families of coproducts on symmetric functionsand their noncommutative analogues. We show, by introducing an appropriate basis,that a one-parameter family of Hopf algebras introduced by Foissy interpolates between theFa`a di Bruno algebra and the Farahat-Higman algebra. The structure constants in this basisare deformations of the structure constants of the Farahat-Higman algebra in the basis ofprojections of conjugacy classes. For these deformed structure constants, we obtain an analogueof the Macdonald formulas.Foissy has also introduced a noncommutative analogue of this family of Hopf algebras. Itinterpolates between the Hopf algebra of noncommutative symmetric functions and the noncommutativeFa`a di Bruno algebra. First, we give a new combinatorial interpretation ofthe Brouder-Frabetti-Krattenthaler formula for the antipode of the noncommutative Fa`a diBruno algebra, that is a form of the noncommutative Lagrange inversion formula. Then, wegive a one-parameter deformation of this formula. Namely, it is an explicit formula for theantipode of the noncommutative family.We also give other combinatorial properties of the noncommutative Fa`a di Bruno algebra,and other results about the families of Hopf algebras of Foissy. In this way, we generalize otherforms of the noncommutative Lagrange inversion formula. Namely, we give other formulasfor the antipode of the noncommutative family.