Les phénomènes de contact impliquant des corps déformables abondent dans l'industrie, notamment dans les structures mécaniques. En raison de leur complexité intrinsèque, les phénomènes de contact sont modélisés à l'aide de problèmes aux limites fortement non linéaires. De ce fait, la modélisation de ces phénomènes pose plusieurs difficultés mathématiques. Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation, l'analyse variationnelle et l'analyse numérique de problèmes de contact glissant intervenant en mécanique des solides, pour des matériaux élastiques, viscoélastiques et viscoplastiques. La première partie de cette thèse rappelle quelques résultats préliminaires, notamment des outils mathématiques et mécaniques nécessaires pour réaliser la suite de ce travail. La deuxième partie est consacrée à l'étude de quelques problèmes de contact glissant sous diverses conditions de contact et frottement. Pour chacun de ces problèmes, nous introduisons les formulations fortes et des formulations variationnelles. Ensuite, nous obtenons des résultats d'existence et d'unicité des solutions faibles, sous certaines hypothèses de petitesse, ainsi que des résultats de convergence. Enfin, nous proposons une approximation numérique de certains problèmes de contact à l'aide de schémas discrétisés. Pour ces schémas, nous obtenons des résultats d'estimation de l'erreur. / Contact phenomena involving deformable bodies abound in industry, especially in mechanical structures. Due to their intrinsic complexity, contact phenomena are modelled with strongly nonlinear boundary problems. For this reason, the modelling of these phenomena gives rise to various mathematical difficulties. In this thesis, we are interested in the modelling, the variational analysis and the numerical analysis of problems of sliding contact in solid mechanics for elastic, viscoelastic and viscoplastic materials. The first part of this thesis concerns some preliminary results, in particular the mathematical and mechanical tools necessary to carry out the continuation of this work. The second part is devoted to the study of some problems of sliding contact under various conditions of contact and friction. For each of these problems, we introduce strong formulations and variational formulations. Then, we obtain results of existence and uniqueness of the weak solutions, under smallness assumptions, as well as results of convergence. Finally, we propose a numerical approximation of some contact problems based on the etudy of discretized schemes. For these schemes we obtain error estimates results.

Les phénomènes de contact entre des corps déformables ou entre un corps déformable et une fondation rigide sont des phénomènes omniprésents dans la vie courante. Ces phénomènes peuvent faire appel à des modèles mathématiques sophistiqués qui sont représentés par des systèmes d’équations aux dérivées partielles avec des conditions aux limites décrivant des processus de contact (avec ou sans frottement) complexes. Cependant, la théorie mathématique des problèmes de contact est un domaine d’études très large où de nombreux problèmes restent à investiguer. Le champ d’études de cette thèse concerne aussi bien l’élaboration de nouveaux modèles de contact et frottement que l’analyse mathématique et la résolution numérique des problèmes considérés. Dans ces travaux, notre objectif est d’apporter une contribution à cette théorie mathématique des problèmes de contact. En d’autres termes, l’objet de notre travail de thèse est d’étudier théoriquement et numériquement quelques problèmes de contact entre un corps déformable et une fondation rigide en utilisant plusieurs lois originales de comportement et de contact avec et sans frottement. / Phenomena of contact between deformable bodies or between a deformable body and a rigid foundation abound in everyday life. These phenomena may involve sophisticated mathematical models represented by systems of partial differential equations with boundary conditions describing complex contact processes (with or without friction). However, the mathematical theory of contact problems is a broad field of study where many issues remain to be investigated. The field studies of this thesis concerns, the development of new models of contact and friction as well as the mathematical analysis and numerical solution of the problems considered. In this work, our goal is to make a contribution to this mathematical theory of contact problems. In other words, the purpose of our thesis is to study theoretically and numerically some problems of contact between a deformable body and a rigid foundation using several original constitutive and contact laws with and without friction

Le sujet de cette thèse porte sur quelques résultats de convergence pour les inéquations variationnelles avec applications dans l'étude des problèmes aux limites décrivant le contact entre un corps déformable et une fondation. La thèse est composée de deux parties. Dans la première partie, nous nous intéressons à l'analyse des inéquations quasivariationnelles, avec ou sans opérateurs de mémoire, dans un espace de Hilbert. Nous prouvons plusieurs résultats de convergence liés à la perturbation de l'ensemble des contraintes ainsi qu'à une méthode de pénalisation. Aussi, pour une classe d'inéquations quasivariationnelles avec opérateurs de mémoire nous étudions une formulation duale pour laquelle nous présentons des résultats d'existence, d'unicité et d'équivalence. La deuxième partie est consacrée à l'application de ces résultats abstraits dans l'étude de six problèmes de contact pour des matériaux élastiques, viscoélastiques et viscoplastiques, dans le cas statique ou quasistatique. Les lois de contact considérées sont la loi de Signorini, la loi de contact avec compliance normale et contrainte unilatérale et la loi de contact avec contrainte unilatérale et seuil critique. Enfin, nous étudions un nombre de problèmes de contrôle optimal associés aux certains modèles de contact. Pour ces problèmes nous obtenons des résultats d'existence et de convergence. / The topic of this thesis concerns some convergence results for variational inequalities with applications in the study of boundary value problems which describe the contact between a deformable body and a foundation. The thesis is divided into two parts. In the first part, we are interested in the analysis of quasivariational inequalities, with or without history-dependent operators, in Hilbert spaces. We prove some convergence results related to a perturbation of the set of constraints and a penalty method, as well. Moreover, for a class of history-dependent quasivariational inequalities we study a dual formulation for which we present existence, uniqueness and equivalence results. The second part is devoted to applications of these abstract results in the study of six contact problems with elastic, viscoelastic and viscoplastic materials, both in the static or quasistatic case. The contact conditions we consider are the Signorini condition, the normal compliance condition with unilateral constraint, the unilateral constraint condition with yield limit. Finally, we study a number of optimal control problems associated to some contact models. For these problems we provide existence and convergence results.

Les phénomènes de contact entre les corps, déformables ou non, sont omniprésents dans la vie courante. Leurs modélisations requièrent des outils mathématiques faisant appel à des systèmes d'équations aux dérivées partielles incluant des conditions aux limites non triviales pour décrire le contact. Si les aspects physiques de la mécanique du contact sont connus depuis longtemps, la théorie mathématique qui lui est dédiée reste relativement récente laissant ainsi place à de nombreux problèmes à investiguer. Ce travail porte sur la modélisation, l'analyse et la simulation numérique de tels problèmes. Il se situe à mi-chemin entre la mécanique du contact et les aspects mathématiques inhérents au type de problème qui en découle. L'objectif est ici d'étudier certaines catégories de problèmes faisant intervenir des conditions originales de contact (avec et sans frottement) à la fois d'un point de vue mathématique et numérique, afin d'apporter une contribution à la théorie mathématique, puis de mettre en avant quelques méthodes numériques adaptées à leur résolution dans un cadre spécifique. / Contact phenomena between bodies, whether they are deformable or not, abound in everyday life. Their modellings require mathematical tools using systems of partial differential equations and involving complex boundary conditions, in order to describe the contact. While the physical aspects of such phenomena have been known for a long time, the mathematical theory remains relatively recent which leaves room for numerous problems. This work focuses on the modelling, the analysis and the numerical simulations of such problems. It is located halfway between contact mechanics and the mathematical aspects inherent to the mechanical questions involved. Our aim is to study several groups of problems that include original contact conditions (with or without friction), both from a mathematical and numerical point of view, in order to contribute to the theory, and also to highlight several numerical methods used to solve specific contact problems.

La modélisation des problèmes de contact pose de sérieuses difficultés qu'elles soient conceptuelles, mathématiques ou informatiques. Motivés par le rôle fondamental que jouent les phénomènes de contact, nous nous intéressons à la modélisation, l'analyse et la simulation de problèmes de contact intervenant en mécanique des solides et des fluides. Dans une première partie théorique, on étudie le comportement asymptotique de solutions de problèmes variationnels dépendant du temps issus de la mécanique du contact frottant. La deuxième partie est consacrée au contrôle de la qualité des calculs en mécanique des solides. Guidés par la recherche de la formulation et l'étude du contact dans la méthode des éléments finis étendus (XFEM), nous étudions notamment les estimateurs d'erreur par résidu pour la méthode XFEM dans le cas linéaire, ceux pour le problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb approchés par une méthode d'éléments finis standard et l'extension au cas de méthodes mixtes stabilisées (i.e., ne nécessitant pas de condition inf-sup). Cette partie s'achève par la définition du problème de contact avec XFEM suivie d'une estimation a priori de l'erreur. La troisième partie concerne la simulation numérique en mécanique des fluides, plus précisément du problème de contact de la dynamique des globules rouges évoluant dans un fluide régi par les équations de Navier-Stokes en dimension deux.