Uma decomposição de um grafo G é um conjunto D = {H_1,... , H_k } de subgrafos de G dois-a-dois aresta-disjuntos que cobre o conjunto das arestas de G. Se H_i é isomorfo a um grafo fixo H, para 1<=i<=k, então dizemos que D é uma H-decomposição de G. Neste trabalho, estudamos o caso em que H é um caminho de comprimento fixo. Para isso, primeiramente decompomos o grafo dado em trilhas, e depois fazemos uso de um lema de desemaranhamento, que nos permite transformar essa decomposição em trilhas numa decomposição somente em caminhos. Com isso, obtemos resultados para três conjecturas sobre H-decomposição de grafos no caso em que H=P_\\ell é o caminho de comprimento \\ell. Dois desses resultados resolvem versões fracas das Conjecturas de Kouider e Lonc (1999) e de Favaron, Genest e Kouider (2010), ambas para grafos regulares. Provamos que, para todo inteiro positivo \\ell, (i) existe um inteiro positivo m_0 tal que se G é um grafo 2m\\ell-regular com m>=m_0, então G admite uma P_\\ell-decomposição; (ii) se \\ell é ímpar, existe um inteiro positivo m_0 tal que se G é um grafo m\\ell-regular com m>=m_0, e G contém um m-fator, então G admite uma P_\\ell-decomposição. O terceiro resultado diz respeito a grafos altamente aresta- conexos: existe um inteiro positivo k_\\ell tal que se G é um grafo k_\\ell-aresta-conexo cujo número de arestas é divisível por \\ell, então G admite uma P_\\ell-decomposição. Esse resultado prova que a Decomposition Conjecture de Barát e Thomassen (2006), formulada para árvores, é verdadeira para caminhos. / A decomposition of a graph G is a set D = {H_1,...,H_k} of pairwise edge-disjoint subgraphs of G that cover the set of edges of G. If H_i is isomorphic to a fixed graph H, for 1<=i<=k, then we say that D is an H-decomposition of G. In this work, we study the case where H is a path of fixed length. For that, we first decompose the given graph into trails, and then we use a disentangling lemma, that allows us to transform this decomposition into one consisting only of paths. With this approach, we tackle three conjectures on H-decomposition of graphs and obtain results for the case H=P_\\ell is the path of length \\ell. Two of these results solve weakenings of a conjecture of Kouider and Lonc (1999) and a conjecture of Favaron, Genest and Kouider (2010), both for regular graphs. We prove that, for every positive integer \\ell, (i) there is a positive integer m_0 such that, if G is a 2m\\ell-regular graph with m>=m_0, then G admits a P_\\ell-decomposition; (ii) if \\ell is odd, there is a positive integer m_0 such that, if G is an m\\ell-regular graph with m>=m_0 containing an m-factor, then G admits a P_\\ell-decomposition. The third result concerns highly edge-connected graphs: there is a positive integer k_\\ell such that if G is a k_\\ell-edge-connected graph whose number of edges is divisible by \\ell, then G admits a P_\\ell-decomposition. This result verifies for paths the Decomposition Conjecture of Barát and Thomassen (2006), on trees.

Uma decomposição de um grafo G é um conjunto D = {H_1,... , H_k } de subgrafos de G dois-a-dois aresta-disjuntos que cobre o conjunto das arestas de G. Se H_i é isomorfo a um grafo fixo H, para 1<=i<=k, então dizemos que D é uma H-decomposição de G. Neste trabalho, estudamos o caso em que H é um caminho de comprimento fixo. Para isso, primeiramente decompomos o grafo dado em trilhas, e depois fazemos uso de um lema de desemaranhamento, que nos permite transformar essa decomposição em trilhas numa decomposição somente em caminhos. Com isso, obtemos resultados para três conjecturas sobre H-decomposição de grafos no caso em que H=P_\\ell é o caminho de comprimento \\ell. Dois desses resultados resolvem versões fracas das Conjecturas de Kouider e Lonc (1999) e de Favaron, Genest e Kouider (2010), ambas para grafos regulares. Provamos que, para todo inteiro positivo \\ell, (i) existe um inteiro positivo m_0 tal que se G é um grafo 2m\\ell-regular com m>=m_0, então G admite uma P_\\ell-decomposição; (ii) se \\ell é ímpar, existe um inteiro positivo m_0 tal que se G é um grafo m\\ell-regular com m>=m_0, e G contém um m-fator, então G admite uma P_\\ell-decomposição. O terceiro resultado diz respeito a grafos altamente aresta- conexos: existe um inteiro positivo k_\\ell tal que se G é um grafo k_\\ell-aresta-conexo cujo número de arestas é divisível por \\ell, então G admite uma P_\\ell-decomposição. Esse resultado prova que a Decomposition Conjecture de Barát e Thomassen (2006), formulada para árvores, é verdadeira para caminhos. / A decomposition of a graph G is a set D = {H_1,...,H_k} of pairwise edge-disjoint subgraphs of G that cover the set of edges of G. If H_i is isomorphic to a fixed graph H, for 1<=i<=k, then we say that D is an H-decomposition of G. In this work, we study the case where H is a path of fixed length. For that, we first decompose the given graph into trails, and then we use a disentangling lemma, that allows us to transform this decomposition into one consisting only of paths. With this approach, we tackle three conjectures on H-decomposition of graphs and obtain results for the case H=P_\\ell is the path of length \\ell. Two of these results solve weakenings of a conjecture of Kouider and Lonc (1999) and a conjecture of Favaron, Genest and Kouider (2010), both for regular graphs. We prove that, for every positive integer \\ell, (i) there is a positive integer m_0 such that, if G is a 2m\\ell-regular graph with m>=m_0, then G admits a P_\\ell-decomposition; (ii) if \\ell is odd, there is a positive integer m_0 such that, if G is an m\\ell-regular graph with m>=m_0 containing an m-factor, then G admits a P_\\ell-decomposition. The third result concerns highly edge-connected graphs: there is a positive integer k_\\ell such that if G is a k_\\ell-edge-connected graph whose number of edges is divisible by \\ell, then G admits a P_\\ell-decomposition. This result verifies for paths the Decomposition Conjecture of Barát and Thomassen (2006), on trees.

Segmentação de objetos em imagens é um dos problemas mais fundamentais e desafiadores em processamento de imagem e visão computacional. O conhecimento de alto nível e específico do usuário é frequentemente requerido no processo de segmentação, devido à presença de fundos heterogêneos, objetos com bordas fracamente definidas, inomogeneidade de campo, ruído, artefatos, efeitos de volume parcial e seus efeitos conjuntos. Propriedades globais do objeto de interesse, tais como conexidade, restrições de forma e polaridade de borda, são conhecimentos prévios de alto nível úteis para a sua segmentação, permitindo a customização da segmentação para um objeto alvo. Nesse trabalho, apresentamos um novo método chamado Transformada Imagem-Floresta Orientada Conexa (COIFT, Connected Oriented Image Foresting Transform), que fornece soluções ótimas globais de acordo com uma medida de corte em grafo, incorporando a restrição de conexidade na Transformada Imagem-Floresta Orientada (OIFT, Oriented Image Foresting Transform), com o fim de garantir a geração de objetos conexos, bem como permitir o controle simultâneo da polaridade de borda. Enquanto o emprego de restrições de conexidade em outros arcabouços, tais como no algoritmo de corte-mínimo/fluxo-máximo (min-cut/max-flow), leva a um problema NP-difícil, a COIFT conserva o baixo custo computacional da OIFT. Experimentos mostram que a COIFT pode melhorar consideravelmente a segmentação de objetos com partes finas e alongadas, para o mesmo número de sementes em segmentação baseada em marcadores. / Object segmentation is one of the most fundamental and challenging problems in image processing and computer vision. The high-level and specific knowledge of the user is often required in the segmentation process, due to the presence of heterogeneous backgrounds, objects with poorly defined boundaries, field inhomogeneity, noise, artifacts, partial volume effects and their joint effects. Global properties of the object of interest, such as connectivity, shape constraints and boundary polarity, are useful high-level priors for its segmentation, allowing the customization of the segmentation for a given target object. In this work, we introduce a new method called Connected Oriented Image Foresting Transform (COIFT), which provides global optimal solutions according to a graph-cut measure in graphs, subject to the connectivity constraint in the Oriented Image Foresting Transform (OIFT), in order to ensure the generation of connected objects, as well as allowing the simultaneous control of the boundary polarity. While the use of connectivity constraints in other frameworks, such as in the min-cut/max-flow algorithm, leads to a NP-Hard problem, COIFT retains the low computational cost of OIFT. Experiments show that COIFT can considerably improve the segmentation of objects with thin and elongated parts, for the same number of seeds in segmentation based on markers.

Segmentação de objetos em imagens é um dos problemas mais fundamentais e desafiadores em processamento de imagem e visão computacional. O conhecimento de alto nível e específico do usuário é frequentemente requerido no processo de segmentação, devido à presença de fundos heterogêneos, objetos com bordas fracamente definidas, inomogeneidade de campo, ruído, artefatos, efeitos de volume parcial e seus efeitos conjuntos. Propriedades globais do objeto de interesse, tais como conexidade, restrições de forma e polaridade de borda, são conhecimentos prévios de alto nível úteis para a sua segmentação, permitindo a customização da segmentação para um objeto alvo. Nesse trabalho, apresentamos um novo método chamado Transformada Imagem-Floresta Orientada Conexa (COIFT, Connected Oriented Image Foresting Transform), que fornece soluções ótimas globais de acordo com uma medida de corte em grafo, incorporando a restrição de conexidade na Transformada Imagem-Floresta Orientada (OIFT, Oriented Image Foresting Transform), com o fim de garantir a geração de objetos conexos, bem como permitir o controle simultâneo da polaridade de borda. Enquanto o emprego de restrições de conexidade em outros arcabouços, tais como no algoritmo de corte-mínimo/fluxo-máximo (min-cut/max-flow), leva a um problema NP-difícil, a COIFT conserva o baixo custo computacional da OIFT. Experimentos mostram que a COIFT pode melhorar consideravelmente a segmentação de objetos com partes finas e alongadas, para o mesmo número de sementes em segmentação baseada em marcadores. / Object segmentation is one of the most fundamental and challenging problems in image processing and computer vision. The high-level and specific knowledge of the user is often required in the segmentation process, due to the presence of heterogeneous backgrounds, objects with poorly defined boundaries, field inhomogeneity, noise, artifacts, partial volume effects and their joint effects. Global properties of the object of interest, such as connectivity, shape constraints and boundary polarity, are useful high-level priors for its segmentation, allowing the customization of the segmentation for a given target object. In this work, we introduce a new method called Connected Oriented Image Foresting Transform (COIFT), which provides global optimal solutions according to a graph-cut measure in graphs, subject to the connectivity constraint in the Oriented Image Foresting Transform (OIFT), in order to ensure the generation of connected objects, as well as allowing the simultaneous control of the boundary polarity. While the use of connectivity constraints in other frameworks, such as in the min-cut/max-flow algorithm, leads to a NP-Hard problem, COIFT retains the low computational cost of OIFT. Experiments show that COIFT can considerably improve the segmentation of objects with thin and elongated parts, for the same number of seeds in segmentation based on markers.

A segmentação de imagens consiste em dividir uma imagem em regiões ou objetos que a compõem, como, por exemplo, para isolar os pixels de um objeto alvo de uma dada aplicação. Em segmentação de imagens médicas, o objeto de interesse comumente apresenta transições em suas bordas predominantemente do tipo claro para escuro ou escuro para claro. Métodos tradicionais por região, como a conexidade fuzzy relativa (RFC - Relative Fuzzy Connectedness), não distinguem bem entre essas bordas similares com orientações opostas. A especificação da polaridade de contorno pode ajudar a amenizar esse problema, o que requer uma formulação matemática em grafos dirigidos. Uma discussão sobre como incorporar essa propriedade no arcabouço do RFC é apresentada neste trabalho. Uma prova teórica da otimalidade do novo algoritmo, chamado conexidade fuzzy relativa com orientação (ORFC - Oriented Relative Fuzzy Connectedness), em termos de uma função de energia em grafos dirigidos sujeita as restrições de sementes é apresentada, bem como a sua apli- cação em poderosos métodos híbridos de segmentação. O método híbrido proposto ORFC &Graph Cut preserva a robustez do ORFC em relação à escolha de sementes, evitando o problema do viés de encolhimento do método de Corte em Grafo (GC - Graph Cut), e mantém o forte controle do GC no delineamento de contornos de bordas irregulares da imagem. Os métodos propostos são avaliados usando imagens médicas de ressonáncia magnética (RM) e tomografia computadorizada (TC) do cérebro humano e de estudos torácicos. / Image segmentation consists of dividing an image into its composing regions or objects, for example, to isolate the pixels of a target object of a given application. In segmentation of medical images, the object of interest commonly presents transitions at its border predominantly from bright to dark or dark to bright. Traditional region-based methods of image segmentation, such as Relative Fuzzy Connectedness (RFC), do not distinguish well between similar boundaries with opposite orientations. The specification of the boundary polarity can help to alleviate this problem but this requires a mathematical formulation on directed graphs. A discussion on how to incorporate this property in the RFC framework is presented in this work. A theoretical proof of the optimality of the new algorithm, called Oriented Relative Fuzzy Connectedness (ORFC), in terms of an energy function on directed graphs subject to seed constraints is presented, and its application in powerful hybrid segmentation methods. The hybrid method proposed ORFC&Graph Cut preserves the robustness of ORFC respect to the seed choice, avoiding the shrinking problem of Graph Cut (GC), and keeps the strong control of the GC in the contour delination of irregular image boundaries. The proposed methods are evaluated using magnetic resonance medical imaging (MR) and computed tomography (CT) of the human brain and thoracic studies.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The present dissertation aims to introduce students to high school useful math concepts connectivity problems using graph theory. After the explanation of basic concepts, we introduce the notion of connectedness, Mengers theorem and we present the theorem of Festinger, which is a useful tool for path counts. We also present an application of these concepts in the analysis of electrical sub-distribution network in the state of Sergipe. Finally we conclude this work by suggesting some didactic sequences for high school students addressing the Euler's theorem for graphs, the themes of connectedness, connectivity, Menger's theorem and the theorem Festinger. / A presente disserta c~ao tem como objetivo apresentar aos alunos do ensino m edio conceitos matem aticos uteis na an alise e resolu c~ao de problemas de conectividade, utilizando teoria dos grafos. Ap os a explana c~ao de conceitos b asicos, introduzimos a no c~ao de conexidade, demonstrando o teorema de Menger e apresentamos o teorema de Festinger, que e uma ferramenta util para contagem de caminhos. Apresentamos tamb em uma aplica c~ao destes conceitos na an alise da rede de subdistribui c~ao el etrica do estado de Sergipe. Ao nal, concluimos o presente trabalho, propondo algumas sequ^encias did aticas para alunos do ensino m edio abordando o teorema de Euler para grafos, os temas sobre conexidade, conectividade, o teorema de Menger e o teorema de Festinger.

A segmentação de imagens consiste em dividir uma imagem em regiões ou objetos que a compõem, como, por exemplo, para isolar os pixels de um objeto alvo de uma dada aplicação. Em segmentação de imagens médicas, o objeto de interesse comumente apresenta transições em suas bordas predominantemente do tipo claro para escuro ou escuro para claro. Métodos tradicionais por região, como a conexidade fuzzy relativa (RFC - Relative Fuzzy Connectedness), não distinguem bem entre essas bordas similares com orientações opostas. A especificação da polaridade de contorno pode ajudar a amenizar esse problema, o que requer uma formulação matemática em grafos dirigidos. Uma discussão sobre como incorporar essa propriedade no arcabouço do RFC é apresentada neste trabalho. Uma prova teórica da otimalidade do novo algoritmo, chamado conexidade fuzzy relativa com orientação (ORFC - Oriented Relative Fuzzy Connectedness), em termos de uma função de energia em grafos dirigidos sujeita as restrições de sementes é apresentada, bem como a sua apli- cação em poderosos métodos híbridos de segmentação. O método híbrido proposto ORFC &Graph Cut preserva a robustez do ORFC em relação à escolha de sementes, evitando o problema do viés de encolhimento do método de Corte em Grafo (GC - Graph Cut), e mantém o forte controle do GC no delineamento de contornos de bordas irregulares da imagem. Os métodos propostos são avaliados usando imagens médicas de ressonáncia magnética (RM) e tomografia computadorizada (TC) do cérebro humano e de estudos torácicos. / Image segmentation consists of dividing an image into its composing regions or objects, for example, to isolate the pixels of a target object of a given application. In segmentation of medical images, the object of interest commonly presents transitions at its border predominantly from bright to dark or dark to bright. Traditional region-based methods of image segmentation, such as Relative Fuzzy Connectedness (RFC), do not distinguish well between similar boundaries with opposite orientations. The specification of the boundary polarity can help to alleviate this problem but this requires a mathematical formulation on directed graphs. A discussion on how to incorporate this property in the RFC framework is presented in this work. A theoretical proof of the optimality of the new algorithm, called Oriented Relative Fuzzy Connectedness (ORFC), in terms of an energy function on directed graphs subject to seed constraints is presented, and its application in powerful hybrid segmentation methods. The hybrid method proposed ORFC&Graph Cut preserves the robustness of ORFC respect to the seed choice, avoiding the shrinking problem of Graph Cut (GC), and keeps the strong control of the GC in the contour delination of irregular image boundaries. The proposed methods are evaluated using magnetic resonance medical imaging (MR) and computed tomography (CT) of the human brain and thoracic studies.

Segmentar uma imagem consiste em particioná-la em regiões relevantes para uma dada aplicação, como para isolar um objeto de interesse no domínio de uma imagem. A segmentação é um dos problemas mais fundamentais e desafiadores em processamento de imagem e visão computacional. Ela tem desempenhado um papel importante, por exemplo, na pesquisa em neurologia, envolvendo imagens de Ressonância Magnética (RM), para fins de diagnóstico e tratamento de doenças relacionadas com alterações na anatomia do cérebro humano. Métodos de segmentação baseados na transformada imagem- floresta (IFT, Image Foresting Transform), com funções de conexidade suaves, possuem resultados ótimos, segundo o critério da otimalidade dos caminhos descrito no artigo original da IFT, e têm sido usados com sucesso em várias aplicações, como por exemplo na segmentação de imagens RM de 1.5 Tesla. No entanto, esses métodos carecem de restrições de regularização de borda, podendo gerar segmentações com fronteiras muito irregulares e indesejadas. Eles também não distinguem bem entre bordas similares com orientações opostas, e possuem alta sensibilidade à estimativa dos pesos das arestas do grafo, gerando problemas em imagens com efeitos de inomogeneidade. Nesse trabalho são propostas extensões da IFT, do ponto de vista teórico e experimental, através do uso de funções de conexidade não suaves, para a segmentação interativa de imagens por região. A otimalidade dos novos métodos é suportada pela maximização de energias de corte em grafo, ou como o fruto de uma sequência de iterações de otimização de caminhos em grafos residuais. Como resultados principais temos: O projeto de funções de conexidade mais adaptativas e flexíveis, com o uso de pesos dinâmicos, que permitem um melhor tratamento de imagens com forte inomogeneidade. O uso de grafos direcionados, de modo a explorar a polaridade de borda dos objetos na segmentação por região, e o uso de restrições de forma que ajudam a regularizar a fronteira delineada, favorecendo a segmentação de objetos com formas mais regulares. Esses avanços só foram possíveis devido ao uso de funções não suaves. Portanto, a principal contribuição desse trabalho consiste no suporte teórico para o uso de funções não suaves, até então evitadas na literatura, abrindo novas perpectivas na pesquisa de processamento de imagens usando grafos. / Segmenting an image consist in to partition it into relevant regions for a given application, as to isolate an object of interest in the domain of an image. Segmentation is one of the most fundamental and challenging problems in image processing and computer vision. It has played an important role, for example, in neurology research, involving images of Magnetic Resonance (MR), for the purposes of diagnosis and treatment of diseases related to changes in the anatomy of the human brain. Segmentation methods based on the Image Foresting Transform (IFT), with smooth connectivity functions, have optimum results, according to the criterion of path optimality described in the original IFT paper, and have been successfully used in many applications as, for example, the segmentation of MR images of 1.5 Tesla. However, these methods present a lack of boundary regularization constraints and may produce segmentations with quite irregular and undesired boundaries. They also do not distinguish well between similar boundaries with opposite orientations, and have high sensitivity to the arc-weight estimation of the graph, producing poor results in images with strong inhomogeneity effects. In this work, we propose extensions of the IFT framework, from the theoretical and experimental points of view, through the use of non-smooth connectivity functions for region-based interactive image segmentation. The optimality of the new methods is supported by the maximization of graph cut energies, or as the result of a sequence of paths optimizations in residual graphs. We have as main results: The design of more adaptive and flexible connectivity functions, with the use of dynamic weights, that allow better handling of images with strong inhomogeneity. The use of directed graphs to exploit the boundary polarity of the objects in region-based segmentation, and the use of shape constraints that help to regularize the segmentation boundary, by favoring the segmentation of objects with more regular shapes. These advances were only made possible by the use of non-smooth functions. Therefore, the main contribution of this work is the theoretical support for the usage of non-smooth functions, which were until now avoided in literature, opening new perspectives in the research of image processing using graphs.

Segmentar uma imagem consiste em particioná-la em regiões relevantes para uma dada aplicação, como para isolar um objeto de interesse no domínio de uma imagem. A segmentação é um dos problemas mais fundamentais e desafiadores em processamento de imagem e visão computacional. Ela tem desempenhado um papel importante, por exemplo, na pesquisa em neurologia, envolvendo imagens de Ressonância Magnética (RM), para fins de diagnóstico e tratamento de doenças relacionadas com alterações na anatomia do cérebro humano. Métodos de segmentação baseados na transformada imagem- floresta (IFT, Image Foresting Transform), com funções de conexidade suaves, possuem resultados ótimos, segundo o critério da otimalidade dos caminhos descrito no artigo original da IFT, e têm sido usados com sucesso em várias aplicações, como por exemplo na segmentação de imagens RM de 1.5 Tesla. No entanto, esses métodos carecem de restrições de regularização de borda, podendo gerar segmentações com fronteiras muito irregulares e indesejadas. Eles também não distinguem bem entre bordas similares com orientações opostas, e possuem alta sensibilidade à estimativa dos pesos das arestas do grafo, gerando problemas em imagens com efeitos de inomogeneidade. Nesse trabalho são propostas extensões da IFT, do ponto de vista teórico e experimental, através do uso de funções de conexidade não suaves, para a segmentação interativa de imagens por região. A otimalidade dos novos métodos é suportada pela maximização de energias de corte em grafo, ou como o fruto de uma sequência de iterações de otimização de caminhos em grafos residuais. Como resultados principais temos: O projeto de funções de conexidade mais adaptativas e flexíveis, com o uso de pesos dinâmicos, que permitem um melhor tratamento de imagens com forte inomogeneidade. O uso de grafos direcionados, de modo a explorar a polaridade de borda dos objetos na segmentação por região, e o uso de restrições de forma que ajudam a regularizar a fronteira delineada, favorecendo a segmentação de objetos com formas mais regulares. Esses avanços só foram possíveis devido ao uso de funções não suaves. Portanto, a principal contribuição desse trabalho consiste no suporte teórico para o uso de funções não suaves, até então evitadas na literatura, abrindo novas perpectivas na pesquisa de processamento de imagens usando grafos. / Segmenting an image consist in to partition it into relevant regions for a given application, as to isolate an object of interest in the domain of an image. Segmentation is one of the most fundamental and challenging problems in image processing and computer vision. It has played an important role, for example, in neurology research, involving images of Magnetic Resonance (MR), for the purposes of diagnosis and treatment of diseases related to changes in the anatomy of the human brain. Segmentation methods based on the Image Foresting Transform (IFT), with smooth connectivity functions, have optimum results, according to the criterion of path optimality described in the original IFT paper, and have been successfully used in many applications as, for example, the segmentation of MR images of 1.5 Tesla. However, these methods present a lack of boundary regularization constraints and may produce segmentations with quite irregular and undesired boundaries. They also do not distinguish well between similar boundaries with opposite orientations, and have high sensitivity to the arc-weight estimation of the graph, producing poor results in images with strong inhomogeneity effects. In this work, we propose extensions of the IFT framework, from the theoretical and experimental points of view, through the use of non-smooth connectivity functions for region-based interactive image segmentation. The optimality of the new methods is supported by the maximization of graph cut energies, or as the result of a sequence of paths optimizations in residual graphs. We have as main results: The design of more adaptive and flexible connectivity functions, with the use of dynamic weights, that allow better handling of images with strong inhomogeneity. The use of directed graphs to exploit the boundary polarity of the objects in region-based segmentation, and the use of shape constraints that help to regularize the segmentation boundary, by favoring the segmentation of objects with more regular shapes. These advances were only made possible by the use of non-smooth functions. Therefore, the main contribution of this work is the theoretical support for the usage of non-smooth functions, which were until now avoided in literature, opening new perspectives in the research of image processing using graphs.

Neste projeto apresentamos os teoremas de estrutura, decomposição celular, e o teorema da existência da triangulação para conjuntos semi-algébricos compactos. Como aplicações destes teoremas mostramos o lema de seleção da curva local e global. Além disso, apresentamos uma breve descrição da topologia da fibra de Milnor local e global, bem como alguns resultados sobre o grau de conexidade da fibra genérica global de uma função polinomial complexa, que mostram a íntima relação entre o grau de conexidade com a dimensão do conjunto singular. / In this project we present some structure theorems, cell decomposition, and the theorem on the existence of triangulation for compact semi-algebraic sets. As applications we prove the curve selection lemma in the local and global cases. Moreover, we present a brief description about the topology of local and global Milnor´s fibers, as well as, some results about the connectivity degree of the generic fibers of a complex polynomial function, that show the close relation between the connectivity degree and the dimension of the singular locus.