We establish an Atiyah-Bott-Lefschetz formula for elliptic operators on manifolds with conical singular points.

The structure of symplectic (canonical) transformations on manifolds with conical singularities is established. The operators associated with these transformations are defined in the weight spaces and their properties investigated.

The quantization of contact transformations of the cosphere bundle over a manifold with conical singularities is described. The index of Fredholm operators given by this quantization is calculated. The answer is given in terms of the Epstein-Melrose contact degree and the conormal symbol of the corresponding operator.

For general endomorphisms of elliptic complexes on manifolds with conical singularities, the semiclassical asymptotics of the Atiyah-Bott-Lefschetz number is calculated in terms of fixed points of the corresponding canonical transformation of the symplectic space.

Boundary value problems on manifolds with conical singularities or edges contain potential operators as well as trace and Green operators which play a similar role as the corresponding operators in (pseudo-differential) boundary value problems on a smooth manifold. There is then a specific asymptotic behaviour of these operators close to the singularities. We characterise potential operators in terms of actions of cone or edge pseudo-differential operators (in the neighbouring space) on densities supported by sbmanifolds which also have conical or edge singularities. As a byproduct we show the continuity of such potentials as continuous perators between cone or edge Sobolev spaces and subspaces with asymptotics.

We study (pseudo-)differential operators on a manifold with edge Z, locally modelled on a wedge with model cone that has itself a base manifold W with smooth edge Y . The typical operators A are corner degenerate in a specific way. They are described (modulo ‘lower order terms’) by a principal symbolic hierarchy σ(A) = (σ ψ(A), σ ^(A), σ ^(A)), where σ ψ is the interior symbol and σ ^(A)(y, η), (y, η) 2 T*Y 0, the (operator-valued) edge symbol of ‘first generation’, cf. [15]. The novelty here is the edge symbol σ^ of ‘second generation’, parametrised by (z, Ϛ) 2 T*Z 0, acting on weighted Sobolev spaces on the infinite cone with base W. Since such a cone has edges with exit to infinity, the calculus has the problem to understand the behaviour of operators on a manifold of that kind. We show the continuity of corner-degenerate operators in weighted edge Sobolev spaces, and we investigate the ellipticity of edge symbols of second generation. Starting from parameter-dependent elliptic families of edge operators of first generation, we obtain the Fredholm property of higher edge symbols on the corresponding singular infinite model cone.

Mixed elliptic problems are characterised by conditions that have a discontinuity on an interface of the boundary of codimension 1. The case of a smooth interface is treated in [3]; the investigation there refers to additional interface conditions and parametrices in standard Sobolev spaces. The present paper studies a necessary structure for the case of interfaces with conical singularities, namely, corner conormal symbols of such operators. These may be interpreted as families of mixed elliptic problems on a manifold with smooth interface. We mainly focus on second order operators and additional interface conditions that are holomorphic in an extra parameter. In particular, for the case of the Zaremba problem we explicitly obtain the number of potential conditions in this context. The inverses of conormal symbols are meromorphic families of pseudo-differential mixed problems referring to a smooth interface. Pointwise they can be computed along the lines [3].

We construct elliptic elements in the algebra of (classical pseudo-differential) operators on a manifold M with conical singularities. The ellipticity of any such operator A refers to a pair of principal symbols (σ0, σ1) where σ0 is the standard (degenerate) homogeneous principal symbol, and σ1 is the so-called conormal symbol, depending on the complex Mellin covariable z. The conormal symbol, responsible for the conical singularity, is operator-valued and acts in Sobolev spaces on the base X of the cone. The σ1-ellipticity is a bijectivity condition for all z of real part (n + 1)/2 − γ, n = dimX, for some weight γ. In general, we have to rule out a discrete set of exceptional weights that depends on A. We show that for every operator A which is elliptic with respect to σ0, and for any real weight γ there is a smoothing Mellin operator F in the cone algebra such that A + F is elliptic including σ1. Moreover, we apply the results to ellipticity and index of (operator-valued) edge symbols from the calculus on manifolds with edges.

There has been, and will continue to be, tremendous growth in the use and distribution of liquefied natural gas (LNG). As LNG poses the hazard of flammable vapor cloud formation from a release, which may result in a massive fire, increased public concerns have been expressed regarding the safety of this fuel. In addition, regulatory authorities in the U.S. as well as all over the world expect the implementation of consequence mitigation measures for LNG spills. For the effective and safer use any safety measure to prevent and mitigate an accidental release of LNG, it is critical to understand thoroughly the action mechanisms. Water spray curtains are generally used by petro-chemical industries to prevent and mitigate heavier-than-air toxic or flammable vapors. It is also used to cool and protect equipment from heat radiation of fuel fires. Currently, water spray curtains are recognized as one of the economic and promising techniques to enhance the dispersion of the LNG vapor cloud formed from a spill. Usually, water curtains are considered to absorb, dilute, disperse and warm a heavier-than-air vapor cloud. Dispersion of cryogenic LNG vapor behaves differently from other dense gases because of low molecular weight and extremely low temperature. So the interaction between water curtain and LNG vapor is different than other heavier vapor clouds. Only two major experimental investigations with water curtains in dispersing LNG vapor clouds were undertaken during the 1970s and 1980s. Studies showed that water spray curtains enhanced LNG vapor dispersion from small spills. However, the dominant phenomena to apply the water curtain most effectively in controlling LNG vapor were not clearly demonstrated. The main objective of this research is to investigate the effectiveness of water spray curtains in controlling the LNG vapor clouds from outdoor experiments. A research methodology has been developed to study the dispersion phenomena of LNG vapor by the action of different water curtains experimentally. This dissertation details the research and experiment development. Small scale outdoor LNG spill experiments have been performed at the Brayton Fire Training Field at Texas A&M University. Field test results regarding important phenomena are presented and discussed. Results have determined that the water curtains are able to reduce the concentration of the LNG vapor cloud, push the vapor cloud upward and transfer heat to the cloud. These are being identified due to the water curtain mechanisms of entrainment of air, dilution of vapor with entrained air, transfer of momentum and heat to the gas cloud. Some of the dominant actions required to control and disperse LNG vapor cloud are also identified from the experimental tests. The gaps are presented as the future work and recommendation on how to improve the experiments in the future. This will benefit LNG industries to enhance its safety system and to make LNG facilities safer.

Το παρακάτω κείμενο αποτελεί διπλωματική εργασία που εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Ασύρματης Επικοινωνίας του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών του Πανεπιστημίου Πατρών. Σκοπός μας, ήταν η επίλυση των εξισώσεων του Maxwell σε προβλήματα που αφορούν το σφαιρικό και το κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων. Στην προσπάθεια αυτή κάναμε χρήση της μεθόδου επίλυσης των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (F.D.T.D) σε δύο ειδών εφαρμογές: η πρώτη αφορά έναν κυλινδρικό κυματοδηγό, τον οποίο μοντελοποιήσαμε με τη βοήθεια του κυλινδρικού συστήματος συντεταγμένων και η δεύτερη αφορά μια κωνική κεραία UWB, την οποία μοντελοποιήσαμε με τη βοήθεια του σφαιρικού συστήματος συντεταγμένων. Η προσομοίωση αυτών των δύο εφαρμογών γίνεται με τη βοήθεια του προγραμματιστικού περιβάλλοντος της Matlab. Επειδή η μέθοδος F.D.T.D επιλύει τις εξισώσεις του Maxwell στο χρόνο μας προσφέρει τη δυνατότητα της οπτικής απεικόνισης των πεδίων σε διάφορες χρονικές στιγμές, κάτι που μας επιτρέπει να παρατηρούμε τη χρονική εξέλιξη των φαινομένων. Η μέθοδος γίνεται ιδιαίτερα ελκυστική λόγω του επιπρόσθετου χαρακτηριστικού της απευθείας επίλυσης των εξισώσεων στροβιλισμού του Maxwell, καθιστώντας παράλληλα περιττή την επίλυση της κυματικής εξίσωσης. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στις υπολογιστικές τεχνικές στον ηλεκτρομαγνητισμό. Επίσης γίνεται μια πρώτη αναφορά στη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (F.D.T.D), στις δυνατότητες της μεθόδου, στο πεδίο εφαρμογής της καθώς και στα πλεονεκτήματά της. Στο κεφάλαιο δύο παρουσιάζονται οι εξισώσεις του Maxwell. Συγκεκριμένα παρουσιάζονται οι εξισώσεις στροβιλισμού και οι βαθμωτές διαφορικές εξισώσεις που προκύπτουν από αυτές στις τρεις και δύο διαστάσεις. Στις δύο διαστάσεις γίνεται διάκριση σε εγκάρσιο ηλεκτρικό ρυθμό (Transverse Electric) και εγκάρσιο μαγνητικό ρυθμό (Transverse Magnetic). Τέλος παρουσιάζονται οι εξισώσεις του Maxwell που ισχύουν για τα σκεδαζόμενα πεδία. Στο κεφάλαιο τρία παρουσιάζονται τα βασικά στοιχεία της μεθόδου F.D.T.D, τα οποία πρέπει να γίνουν κατανοητά προκειμένου να αναδειχθούν τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά της. Συγκεκριμένα παρουσιάζονται οι εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών, που προκύπτουν από τις βαθμωτές διαφορικές εξισώσεις, που προκύπτουν από τις εξισώσεις στροβιλισμού του Maxwell. Στη συνέχεια παρουσιάζονται βασικά χαρακτηριστικά της μεθόδου, όπως η επιλογή του χωρικού και χρονικού βήματος και η δημιουργία πηγών. Μετά παρουσιάζεται η σημαντικότερη απορροφητική οριακή συνθήκη PML του Berenger και τέλος οι υπολογιστικές απαιτήσεις του αλγορίθμου F.D.T.D. Στο κεφάλαιο τέσσερα επιλύονται προβλήματα σε δύο διαστάσεις και συγκεκριμένα το πρόβλημα των ρυθμών διάδοσης TM και ΤΕ εντός κυλινδρικού κυματοδηγού με υλικό εντός του τον αέρα. Στο κεφάλαιο πέντε επιλύονται προβλήματα σε δύο διαστάσεις. Συγκεκριμένα παρουσιάζει την ανάπτυξη ενός σετ εργαλείων λογισμικού που είναι χρήσιμα στην ανάλυση κεραιών και δομών εξαιρετικά ευρείας ζώνης (UWB). Αυτά τα εργαλεία χρησιμοποιούνται στην εκτέλεση προσομοίωσης με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (FDTD) μίας κωνικής κεραίας με συνεχές κύμα (CW) και παλμικές διεγέρσεις UWB. Η κεραία αναλύεται με τη χρήση εξισώσεων σφαιρικών συντεταγμένων FDTD που προέρχονται από τις βασικές αρχές. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης για τη διέγερση τύπου συνεχούς κύματος (CW) συγκρίνονται με τα αποτελέσματα από προσομοιώσεις και μετρήσεις σε δημοσιευμένες πηγές· τα αποτελέσματα της διέγερσης UWB είναι νέα. Τα παραπάνω προβλήματα κάνουν σαφές το πόσο σημαντικό είναι να γνωρίζουμε σε βάθος τα χαρακτηριστικά της μεθόδου προκειμένου να φτάσουμε στην λύση τους. Σε περιπτώσεις όπου γνωρίζουμε τη λύση εκ των προτέρων (είτε ποιοτικά ή ποσοτικά) έχουμε τη δυνατότητα να επαληθεύσουμε την ορθότητα των αποτελεσμάτων της F.D.T.D. Οι λύσεις των προβλημάτων β ασίζονται στην εύρεση των ολικών πεδίων. Ο εναλλακτικός τρόπος της εύρεσης των σκεδαζόμενων πεδίων δεν χρησιμοποιείται. Βέβαια στα προβλήματα ακτινοβολίας κεραιών υποχρεωτικά εφαρμόζεται η διατύπωση των ολικών πεδίων. Μέσω αυτής της εργασίας έγινε σαφής η ικανότητα της F.D.T.D να εφαρμόζεται σε μεγάλη ποικιλία προβλημάτων. Κάτι που δεν έγινε σαφές είναι η δυνατότητα της μεθόδου να συνδυάζεται με άλλες μεθόδους, κάτι που μπορεί να επιφέρει σημαντική καταστολή ή και εξάλειψη των μειονεκτημάτων της. Με αυτό τον τρόπο δημιουργούνται νέες υβριδικές μέθοδοι. Με τις μεθόδους εύρεσης των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων (όπως είναι η F.D.T.D) έχουμε τη δυνατότητα να δούμε τον ηλεκτρομαγνητισμό από νέα σκοπιά, κατανοώντας τον καλύτερα και προσαρμόζοντάς τον στις σύγχρονες ανάγκες της εποχής. / -