Nous nous intéressons dans cette thèse au développement et à la mise en oeuvre de schémas numériques Volumes Finis d’ordre élevé pour des maillages non-structurés. Il s’agit de mettre en place les ingrédients numériques pour réaliser des simulations aux grandes échelles avec le code numérique elsA. Les schémas numériques proposés sont basés sur une approche directionnelle, afin de limiter le coût CPU et de réduire la molécule de points. La partie convective du schéma numérique doit être d’ordre élevé. L’ordre élevé est obtenu en utilisant différents gradients sur un stencil prédéféni utilisant 4 cellules. Deux gradients sont utilisés pour la partie convective : le gradient GreenGauss et le gradient “UIG”. Pour la partie diffusive, le gradient “UIG” est utilisé. Ce gradient a été développé durant la thèse et permet d’avoir un gradient moyen d’ordre 2 sur chaque interface. Ce gradient a été étudié et validé sur différents cas-tests. Les schémas numériques d’ordre élevé ont été analysés théoriquement avec des analyses d’ordre et de stabilité. Il a été montré que ces schémas peuvent atteindre l’ordre 5 sur des hexaèdres et l’ordre 3 sur des triangles équilatéraux. Suite à cette analyse, les différents schémas ont été d’abord testés en 1D sur un cas classique d’advection, puis ont été validés sur le cas de convection du vortex isentropique. / This study will present the development and results of high-order Finite Volume schemes for unstructured grids. The goal is to prepare numerical tools to perform Large Eddy Simulations with the indutrial solver elsA. These numerical schemes are based on a directional approach in order to limitate the CPU cost and reduce the stencil. The convective part of the scheme needs to be high order and this is obtained by the use of gradients on a four-cell stencil. Two gradients are used for the convective part, the Green-Gauss gradient and the “UIG” gradient. For the diffusive part, the “UIG” gradient is used. It was developped during this study and allows to recover a secondorder accurate scheme. This gradient was validated theorically and numerically on some test cases. High order numerical schemes were studied theorically with order and frequency analysis. It was shown that these schemes are fifth-order accurate on regular hexaedral elements and third-order accurate on equilateral triangles. Following this analysis, these schemes were tested in 1D on an advection test case and were then validated on the convection of an isentropic vortex.

Uma parte significativa dos escoamentos encontrados em aplicações tecnológicas é caracterizada por envolver altos números de Reynolds, principalmente aqueles em regime turbulento e com superfície livre. Obter soluções numéricas representativas para essa classe de problemas é extremamente difícil, devido à natureza não-linear das equações diferenciais parciais envolvidas nos modelos. Conseqüentemente, o tema tem sido uma das principais preocupações da comunidade científica moderna em dinâmica de fluidos computacional. Aproximações de primeira ordem para os termos convectivos são as mais adequadas para amortecer oscilações que estão associadas às aproximações de alta ordem não-limitadas. Todavia, elas introduzem dissipação artificial nas representações discretas comprometendo os resultados numéricos. Para minimizar esse efeito não-físico e, ao mesmo tempo, conseguir aproximações incondicionalmente estáveis, é indispensável adotar uma estratégia que combine aproximações de primeira ordem com as de ordem mais alta e que leve em conta a propagação de informações físicas. Os resultados dessa composição são os esquemas "upwind" limitados de alta ordem. Em geral, espera-se que esses esquemas sejam apropriados para a representação das derivadas convectivas nos modelos de turbulência kappa-varepsilon. No contexto de diferenças finitas, a presente tese dedica-se à solução numérica das equações de Navier-Stokes no regime de números de Reynolds elevados. Em particular, ela contém uma análise de algoritmos monotônicos e antidifusivos e modelos de turbulência kappa-varepsilon para a simulação de escoamentos incompressíveis envolvendo superfícies livres. Esquemas de convecção são implementados nos códigos GENSMAC para proporcionar um tratamento robusto dos termos convectivos nas equações de transporte. Duas versões do modelo kappa-varepsilon de turbulência são implementadas nos códigos GENSMAC, para problems bidimensionais e com simetria radial, para descrever os efeitos da turbulência sobre o escoamento médio. Resultados numéricos de escoamentos com simetria radial são comparados com resultados experimentais e analíticos. Simulações numéricas de problemas tridimensionais complexos são apresentadas para avaliar o desempenho de esquemas "upwind". Finalmente, os modelos de turbulência kappa-varepsilon são utilizados para a simulação de escoamentos confinados e com superfícies livres. / A considerable part of fluid flows encountered in technological applications is characterised by involving high-Reynolds numbers, especially those in turbulent regime and with free-surface. It is extremely difficult to obtain representative numerical solutions for this class of problems, due to the non-linear nature of the partial differential equations involved in the models. Consequently, this subject has been one of main concerns in the modern computational fluid dynamics community. First-order approximation to the convective terms is one of the most appropriate to smooth out oscilations/instabilities which are associated with high-order unlimited approximation. However, it introduces numerical dissipation in the discrete representation jeopardizing the numerical results. In order to minimize this non-physical effect and, at the same time, to obtain unconditionally stable approximation, it is essential to adopt a strategy that combines first and high-order approximations and takes into account the propagation of physical information. The results of this composition are the high-order bounded upwind techniques. In general, it is expected that these algorithms are satisfactory for the representation of the convective derivatives in the kappa-varepsilon turbulence model. In the context of finite-difference, the present thesis deals with the numerical solution of the Navier-Stokes equations at high-Reynolds number regimes. In particular, it contains an analysis of monotonic and anti-difusive convection schemes and kappa-varepsilon turbulence models for the simulation of free-surface fluid flows. Upwinding methods are implemented into the GENSMAC codes to provide a robust treatment of the convective terms in the transport equations. Two versions of the K-Epsilon turbulence model are implemented into the two-dimensional and axisymmetric GENSMAC codes, in order to describe the turbulent effects on the average flow. Numerical results of axisymmetric flows are compared with experimental and analytical results. Numerical simulations of complex three-dimensional problems are presented to assess the performance of high-order bounded upwind schemes. Finally, the K-Epsilon turbulence models are employed in the simulation of confined and free-surface flows.

Uma parte significativa dos escoamentos encontrados em aplicações tecnológicas é caracterizada por envolver altos números de Reynolds, principalmente aqueles em regime turbulento e com superfície livre. Obter soluções numéricas representativas para essa classe de problemas é extremamente difícil, devido à natureza não-linear das equações diferenciais parciais envolvidas nos modelos. Conseqüentemente, o tema tem sido uma das principais preocupações da comunidade científica moderna em dinâmica de fluidos computacional. Aproximações de primeira ordem para os termos convectivos são as mais adequadas para amortecer oscilações que estão associadas às aproximações de alta ordem não-limitadas. Todavia, elas introduzem dissipação artificial nas representações discretas comprometendo os resultados numéricos. Para minimizar esse efeito não-físico e, ao mesmo tempo, conseguir aproximações incondicionalmente estáveis, é indispensável adotar uma estratégia que combine aproximações de primeira ordem com as de ordem mais alta e que leve em conta a propagação de informações físicas. Os resultados dessa composição são os esquemas "upwind" limitados de alta ordem. Em geral, espera-se que esses esquemas sejam apropriados para a representação das derivadas convectivas nos modelos de turbulência kappa-varepsilon. No contexto de diferenças finitas, a presente tese dedica-se à solução numérica das equações de Navier-Stokes no regime de números de Reynolds elevados. Em particular, ela contém uma análise de algoritmos monotônicos e antidifusivos e modelos de turbulência kappa-varepsilon para a simulação de escoamentos incompressíveis envolvendo superfícies livres. Esquemas de convecção são implementados nos códigos GENSMAC para proporcionar um tratamento robusto dos termos convectivos nas equações de transporte. Duas versões do modelo kappa-varepsilon de turbulência são implementadas nos códigos GENSMAC, para problems bidimensionais e com simetria radial, para descrever os efeitos da turbulência sobre o escoamento médio. Resultados numéricos de escoamentos com simetria radial são comparados com resultados experimentais e analíticos. Simulações numéricas de problemas tridimensionais complexos são apresentadas para avaliar o desempenho de esquemas "upwind". Finalmente, os modelos de turbulência kappa-varepsilon são utilizados para a simulação de escoamentos confinados e com superfícies livres. / A considerable part of fluid flows encountered in technological applications is characterised by involving high-Reynolds numbers, especially those in turbulent regime and with free-surface. It is extremely difficult to obtain representative numerical solutions for this class of problems, due to the non-linear nature of the partial differential equations involved in the models. Consequently, this subject has been one of main concerns in the modern computational fluid dynamics community. First-order approximation to the convective terms is one of the most appropriate to smooth out oscilations/instabilities which are associated with high-order unlimited approximation. However, it introduces numerical dissipation in the discrete representation jeopardizing the numerical results. In order to minimize this non-physical effect and, at the same time, to obtain unconditionally stable approximation, it is essential to adopt a strategy that combines first and high-order approximations and takes into account the propagation of physical information. The results of this composition are the high-order bounded upwind techniques. In general, it is expected that these algorithms are satisfactory for the representation of the convective derivatives in the kappa-varepsilon turbulence model. In the context of finite-difference, the present thesis deals with the numerical solution of the Navier-Stokes equations at high-Reynolds number regimes. In particular, it contains an analysis of monotonic and anti-difusive convection schemes and kappa-varepsilon turbulence models for the simulation of free-surface fluid flows. Upwinding methods are implemented into the GENSMAC codes to provide a robust treatment of the convective terms in the transport equations. Two versions of the K-Epsilon turbulence model are implemented into the two-dimensional and axisymmetric GENSMAC codes, in order to describe the turbulent effects on the average flow. Numerical results of axisymmetric flows are compared with experimental and analytical results. Numerical simulations of complex three-dimensional problems are presented to assess the performance of high-order bounded upwind schemes. Finally, the K-Epsilon turbulence models are employed in the simulation of confined and free-surface flows.