Shallow water equations are widely used to model water flows in the field of hydrodynamics and civil engineering. They are complex, and except for some simplified cases, no analytical solution exists for them. Therefore, the partial differential equations of the shallow water system have been the subject of various numerical analyses and studies in past decades. In this study, we construct a stable and robust finite volume scheme for the shallow water equations over quadtree grids. Quadtree grids are two-dimensional semi-structured Cartesian grids that have different applications in several fields of engineering, such as computational fluid dynamics. Quadtree grids refine or coarsen where it is required in the computational domain, which gives the advantage of reducing the computational cost in some problems. Numerical schemes on quadtree grids have different properties. An accurate and robust numerical scheme is able to provide a balance between the flux and source terms, preserve the positivity of the water height and water surface, and is capable of regenerating the grid with respect to different conditions of the problem and computed solution. The proposed scheme uses a piecewise constant approximation and employs a high-order Runge-Kutta method to be able to make the solution high-order in space and time. Hence, in this thesis, we develop an adaptive well-balanced positivity preserving scheme for the shallow water system over quadtree grids utilizing different techniques. We demonstrate the formulations of the proposed scheme over one of the different configurations of quadtree cells. Six numerical benchmark tests confirm the ability of the scheme to accurately solve the problems and to capture small perturbations. Furthermore, we extend the proposed scheme to the coupled variable density shallow water flows and establish an extended method where we focus on eliminating nonphysical oscillations, as well as well-balanced, positivity preserving, and adaptivity properties of the scheme. Four different numerical benchmark tests show that the proposed extension of the scheme is accurate, stable, and robust.

No / Nazarbayev University Seed Grant, entitled “Environmental assessment of sediment pollution impact on hydropower plants”.

Yes / Based on the common approach, the adaptation length in sediment transport is normally estimated in the temporal independence. However, this approach might not be theoretically justified as the process of reaching of the sediment transport equilibrium stage is affected by the flow conditions in time, especially for those fast sediment moving flows, such as scour-hole developing flow. In this study, the 2D shallow water formulation together with a sediment continuity-concentration (SCC) model were applied to flow with mobile sediment boundary. A time-varying approach was proposed to determine the sediment transport adaptation length to treat the flow sediment erosion-deposition rate. The proposed computational model was based on the Finite Volume (FV) method. The Monotone Upwind Scheme of Conservative Laws (MUSCL)-Hancock scheme was used with the Harten Lax van Leer-contact (HLLC) approximate Riemann solver to discretize the FV model. In the flow applications of this paper, a highly discontinuous dam-break fast sediment transport flow was used to calibrate the proposed time-varying sediment adaptation length model. Then the calibrated model was further applied to two separate experimental sediment transport flow applications documented in literature, i.e. a highly concentrated sediment transport flow in a wide alluvial channel and a sediment aggradation flow. Good agreements with the experimental data were presented by the proposed model simulations. The tests prove that the proposed model, which was calibrated by the discontinuous dam-break bed scouring flow, also performed well to represent the rapid bed change and the steady sediment mobility conditions. / The National Natural Science Foundation of China NSFC (Grant Number 20101311246), Major State Basic Research Development Program (973 program) of China (Grant Number 2013CB036402) and Open Fund of the State Key Laboratory of Hydraulics and Mountain River Engineering, Sichuan University of China (Grant Number SKLH-OF-1103).

No / Owing to unpredictable bed topography conditions in natural shallow flows, various numerical methods have been developed to improve the treatment of source terms in the shallow water equations. The surface gradient method is an attractive approach as it includes a numerically simple approach to model flows over topographically-varied channels. To further improve the performance of this method, this study deals with the numerical improvement of the shallow-flow source terms. The so-called surface gradient upwind method (SGUM) integrates the source term treatment in the inviscid discretization scheme. A finite volume model (FVM) with the monotonic upwind scheme for conservative laws is used. The Harten–Lax–van Leer-contact approximate Riemann solver is used to reconstruct the Riemann problem in the FVM. The proposed method is validated against published analytical, numerical, and experimental data, indicating that the SGUM is robust and treats the source terms in different flow conditions well.

Este trabalho de pesquisa é dedicado ao desenvolvimento, análise e implementação de um novo esquema upwind de alta resolução (denominada PFDPUS) para a aproximação de termos convectivos em leis de conservação e problemas relacionados em mecânica dos fluídos. Usando variáveis normalizadas de Leonard, o equema PFDPUS é baseado em uma função polinomial por partes que satisfaz os critérios de estabilidade CBC e TVD. O desempenho do esquema PEDPUS é investigado na solução das equações de advecção de escalares, Burgers, Euler e MHD. O novo esquema é então aplicado para simular escoamentos incompressíveis envolvendo superfícies livres móveis. Para tanto, o esquema PFDPUS é implementado dentro do software CLAWPACK para problemas compressíveis, e no código Freeflow para poblemas incompressíveis. Os resultados numéricos são comparados com dados experimentais, numéricos e analíticos / This work is dedicated to the development, analysis and implementation of a new high-resolution upwind scheme (called PFDPUS) for approximation of convective terms in conservation laws and related fluid mechanics problems. By using the normalized variables of Leonard, the PFDPUS scheme is based on a piecewise polynomical function that satisfies the CBC and TVD stability criteria. The performance of the PFDPUS scheme is assessed by solving advection of scalars, Burgers, Euler and MHD equations. Then the new scheme is applied to simulate incompressible flows involving moving free surfaces. The PFDPUS scheme is implemented into the CLAWPACK software for compressible problems, and in the Freeflow code for incompressible problems. The numerical results are compared with experimental, numerical and analytical data

Este trabalho de pesquisa é dedicado ao desenvolvimento, análise e implementação de um novo esquema upwind de alta resolução (denominada PFDPUS) para a aproximação de termos convectivos em leis de conservação e problemas relacionados em mecânica dos fluídos. Usando variáveis normalizadas de Leonard, o equema PFDPUS é baseado em uma função polinomial por partes que satisfaz os critérios de estabilidade CBC e TVD. O desempenho do esquema PEDPUS é investigado na solução das equações de advecção de escalares, Burgers, Euler e MHD. O novo esquema é então aplicado para simular escoamentos incompressíveis envolvendo superfícies livres móveis. Para tanto, o esquema PFDPUS é implementado dentro do software CLAWPACK para problemas compressíveis, e no código Freeflow para poblemas incompressíveis. Os resultados numéricos são comparados com dados experimentais, numéricos e analíticos / This work is dedicated to the development, analysis and implementation of a new high-resolution upwind scheme (called PFDPUS) for approximation of convective terms in conservation laws and related fluid mechanics problems. By using the normalized variables of Leonard, the PFDPUS scheme is based on a piecewise polynomical function that satisfies the CBC and TVD stability criteria. The performance of the PFDPUS scheme is assessed by solving advection of scalars, Burgers, Euler and MHD equations. Then the new scheme is applied to simulate incompressible flows involving moving free surfaces. The PFDPUS scheme is implemented into the CLAWPACK software for compressible problems, and in the Freeflow code for incompressible problems. The numerical results are compared with experimental, numerical and analytical data

Apesar de as EDPS que modelam leis de conservação e problemas em dinâmica dos fluídos serem bem estabelecidas, suas soluções numéricas continuam ainda desafiadoras. Em particular, há dois desafios associados à computação e ao entendimento desses problemas: um deles é a formação de descontinuidades (choques) e o outro é o fenômeno turbulência. Ambos os desafios podem ser atribuídos ao tratamento dos termos advectivos não lineares nessas equações de transporte. Dentro deste canário, esta tese apresenta o estudo do desenvolvimento de um novo esquema \"upwind\" de alta resolução e sua associação com modelagem da turbulência. O desempenho do esquema é investigado nas soluções da equação de advecção 1D com dados iniciais descontínuos e de problemas de Riemann 1D para as equações de Burgers, Euler e águas rasas. Além disso, são apresentados resultados numéricos de escoamentos incompressíveis 2D e 3D no regime laminar a altos números de Reynolds. O novo esquema é então associado à modelagem \'capa\' - \'epsilon\' da turbulência para a simulação numérica de escoamentos incompressíveis turbulentos 2D e 3D com superfícies livres móveis. Aplicação, verificação e validação dos métodos numéricos são também fornecidas / Althought the PDEs that model conservation laws and fluid dynamics problems are well established, their numerical solutions have presented a continuing challenge. In particular, there are two challenges associated with the computation and the understanding of these problems, namely, formation of shocks and turbulence. Both challenges can be attributed to the nonlinear advection terms of these transport equations. In this scenario, this thesis presents the study of the development of a new high-resolution upwind scheme and its association with turbulence modelling. The performance of the scheme is investigated by solving the 1D advection equation with discontinuous initial data 1D Riemann problems for Burgers, Euler and shallow water equations. Besides, numerical results for 2D and 3D incompressible laminar flows at high Reynolds number are presented. The new scheme is then associated with the \'capa - \' epsilon\' turbulence model for the simulation of 2D and 3D incompressible turbulent flows with moving free surfaces. Application, verification and validation of the numerical methods are also provided

Uma parte significativa dos escoamentos encontrados em aplicações tecnológicas é caracterizada por envolver altos números de Reynolds, principalmente aqueles em regime turbulento e com superfície livre. Obter soluções numéricas representativas para essa classe de problemas é extremamente difícil, devido à natureza não-linear das equações diferenciais parciais envolvidas nos modelos. Conseqüentemente, o tema tem sido uma das principais preocupações da comunidade científica moderna em dinâmica de fluidos computacional. Aproximações de primeira ordem para os termos convectivos são as mais adequadas para amortecer oscilações que estão associadas às aproximações de alta ordem não-limitadas. Todavia, elas introduzem dissipação artificial nas representações discretas comprometendo os resultados numéricos. Para minimizar esse efeito não-físico e, ao mesmo tempo, conseguir aproximações incondicionalmente estáveis, é indispensável adotar uma estratégia que combine aproximações de primeira ordem com as de ordem mais alta e que leve em conta a propagação de informações físicas. Os resultados dessa composição são os esquemas "upwind" limitados de alta ordem. Em geral, espera-se que esses esquemas sejam apropriados para a representação das derivadas convectivas nos modelos de turbulência kappa-varepsilon. No contexto de diferenças finitas, a presente tese dedica-se à solução numérica das equações de Navier-Stokes no regime de números de Reynolds elevados. Em particular, ela contém uma análise de algoritmos monotônicos e antidifusivos e modelos de turbulência kappa-varepsilon para a simulação de escoamentos incompressíveis envolvendo superfícies livres. Esquemas de convecção são implementados nos códigos GENSMAC para proporcionar um tratamento robusto dos termos convectivos nas equações de transporte. Duas versões do modelo kappa-varepsilon de turbulência são implementadas nos códigos GENSMAC, para problems bidimensionais e com simetria radial, para descrever os efeitos da turbulência sobre o escoamento médio. Resultados numéricos de escoamentos com simetria radial são comparados com resultados experimentais e analíticos. Simulações numéricas de problemas tridimensionais complexos são apresentadas para avaliar o desempenho de esquemas "upwind". Finalmente, os modelos de turbulência kappa-varepsilon são utilizados para a simulação de escoamentos confinados e com superfícies livres. / A considerable part of fluid flows encountered in technological applications is characterised by involving high-Reynolds numbers, especially those in turbulent regime and with free-surface. It is extremely difficult to obtain representative numerical solutions for this class of problems, due to the non-linear nature of the partial differential equations involved in the models. Consequently, this subject has been one of main concerns in the modern computational fluid dynamics community. First-order approximation to the convective terms is one of the most appropriate to smooth out oscilations/instabilities which are associated with high-order unlimited approximation. However, it introduces numerical dissipation in the discrete representation jeopardizing the numerical results. In order to minimize this non-physical effect and, at the same time, to obtain unconditionally stable approximation, it is essential to adopt a strategy that combines first and high-order approximations and takes into account the propagation of physical information. The results of this composition are the high-order bounded upwind techniques. In general, it is expected that these algorithms are satisfactory for the representation of the convective derivatives in the kappa-varepsilon turbulence model. In the context of finite-difference, the present thesis deals with the numerical solution of the Navier-Stokes equations at high-Reynolds number regimes. In particular, it contains an analysis of monotonic and anti-difusive convection schemes and kappa-varepsilon turbulence models for the simulation of free-surface fluid flows. Upwinding methods are implemented into the GENSMAC codes to provide a robust treatment of the convective terms in the transport equations. Two versions of the K-Epsilon turbulence model are implemented into the two-dimensional and axisymmetric GENSMAC codes, in order to describe the turbulent effects on the average flow. Numerical results of axisymmetric flows are compared with experimental and analytical results. Numerical simulations of complex three-dimensional problems are presented to assess the performance of high-order bounded upwind schemes. Finally, the K-Epsilon turbulence models are employed in the simulation of confined and free-surface flows.

Apesar de as EDPS que modelam leis de conservação e problemas em dinâmica dos fluídos serem bem estabelecidas, suas soluções numéricas continuam ainda desafiadoras. Em particular, há dois desafios associados à computação e ao entendimento desses problemas: um deles é a formação de descontinuidades (choques) e o outro é o fenômeno turbulência. Ambos os desafios podem ser atribuídos ao tratamento dos termos advectivos não lineares nessas equações de transporte. Dentro deste canário, esta tese apresenta o estudo do desenvolvimento de um novo esquema \"upwind\" de alta resolução e sua associação com modelagem da turbulência. O desempenho do esquema é investigado nas soluções da equação de advecção 1D com dados iniciais descontínuos e de problemas de Riemann 1D para as equações de Burgers, Euler e águas rasas. Além disso, são apresentados resultados numéricos de escoamentos incompressíveis 2D e 3D no regime laminar a altos números de Reynolds. O novo esquema é então associado à modelagem \'capa\' - \'epsilon\' da turbulência para a simulação numérica de escoamentos incompressíveis turbulentos 2D e 3D com superfícies livres móveis. Aplicação, verificação e validação dos métodos numéricos são também fornecidas / Althought the PDEs that model conservation laws and fluid dynamics problems are well established, their numerical solutions have presented a continuing challenge. In particular, there are two challenges associated with the computation and the understanding of these problems, namely, formation of shocks and turbulence. Both challenges can be attributed to the nonlinear advection terms of these transport equations. In this scenario, this thesis presents the study of the development of a new high-resolution upwind scheme and its association with turbulence modelling. The performance of the scheme is investigated by solving the 1D advection equation with discontinuous initial data 1D Riemann problems for Burgers, Euler and shallow water equations. Besides, numerical results for 2D and 3D incompressible laminar flows at high Reynolds number are presented. The new scheme is then associated with the \'capa - \' epsilon\' turbulence model for the simulation of 2D and 3D incompressible turbulent flows with moving free surfaces. Application, verification and validation of the numerical methods are also provided

Uma parte significativa dos escoamentos encontrados em aplicações tecnológicas é caracterizada por envolver altos números de Reynolds, principalmente aqueles em regime turbulento e com superfície livre. Obter soluções numéricas representativas para essa classe de problemas é extremamente difícil, devido à natureza não-linear das equações diferenciais parciais envolvidas nos modelos. Conseqüentemente, o tema tem sido uma das principais preocupações da comunidade científica moderna em dinâmica de fluidos computacional. Aproximações de primeira ordem para os termos convectivos são as mais adequadas para amortecer oscilações que estão associadas às aproximações de alta ordem não-limitadas. Todavia, elas introduzem dissipação artificial nas representações discretas comprometendo os resultados numéricos. Para minimizar esse efeito não-físico e, ao mesmo tempo, conseguir aproximações incondicionalmente estáveis, é indispensável adotar uma estratégia que combine aproximações de primeira ordem com as de ordem mais alta e que leve em conta a propagação de informações físicas. Os resultados dessa composição são os esquemas "upwind" limitados de alta ordem. Em geral, espera-se que esses esquemas sejam apropriados para a representação das derivadas convectivas nos modelos de turbulência kappa-varepsilon. No contexto de diferenças finitas, a presente tese dedica-se à solução numérica das equações de Navier-Stokes no regime de números de Reynolds elevados. Em particular, ela contém uma análise de algoritmos monotônicos e antidifusivos e modelos de turbulência kappa-varepsilon para a simulação de escoamentos incompressíveis envolvendo superfícies livres. Esquemas de convecção são implementados nos códigos GENSMAC para proporcionar um tratamento robusto dos termos convectivos nas equações de transporte. Duas versões do modelo kappa-varepsilon de turbulência são implementadas nos códigos GENSMAC, para problems bidimensionais e com simetria radial, para descrever os efeitos da turbulência sobre o escoamento médio. Resultados numéricos de escoamentos com simetria radial são comparados com resultados experimentais e analíticos. Simulações numéricas de problemas tridimensionais complexos são apresentadas para avaliar o desempenho de esquemas "upwind". Finalmente, os modelos de turbulência kappa-varepsilon são utilizados para a simulação de escoamentos confinados e com superfícies livres. / A considerable part of fluid flows encountered in technological applications is characterised by involving high-Reynolds numbers, especially those in turbulent regime and with free-surface. It is extremely difficult to obtain representative numerical solutions for this class of problems, due to the non-linear nature of the partial differential equations involved in the models. Consequently, this subject has been one of main concerns in the modern computational fluid dynamics community. First-order approximation to the convective terms is one of the most appropriate to smooth out oscilations/instabilities which are associated with high-order unlimited approximation. However, it introduces numerical dissipation in the discrete representation jeopardizing the numerical results. In order to minimize this non-physical effect and, at the same time, to obtain unconditionally stable approximation, it is essential to adopt a strategy that combines first and high-order approximations and takes into account the propagation of physical information. The results of this composition are the high-order bounded upwind techniques. In general, it is expected that these algorithms are satisfactory for the representation of the convective derivatives in the kappa-varepsilon turbulence model. In the context of finite-difference, the present thesis deals with the numerical solution of the Navier-Stokes equations at high-Reynolds number regimes. In particular, it contains an analysis of monotonic and anti-difusive convection schemes and kappa-varepsilon turbulence models for the simulation of free-surface fluid flows. Upwinding methods are implemented into the GENSMAC codes to provide a robust treatment of the convective terms in the transport equations. Two versions of the K-Epsilon turbulence model are implemented into the two-dimensional and axisymmetric GENSMAC codes, in order to describe the turbulent effects on the average flow. Numerical results of axisymmetric flows are compared with experimental and analytical results. Numerical simulations of complex three-dimensional problems are presented to assess the performance of high-order bounded upwind schemes. Finally, the K-Epsilon turbulence models are employed in the simulation of confined and free-surface flows.