Cette thèse porte sur le polynôme de Tutte, étudié selon différents points de vue. Dans une première partie, nous nous intéressons à l’énumération des cartes planaires munies d’une forêt couvrante, ici appelées cartes forestières, avec un poids z par face et un poids u par composante non racine de la forêt. De manière équivalente, nous comptons selon le nombre de faces les cartes planaires C pondérées par TC(u + 1; 1), où TC désigne le polynôme de Tutte de C. Nous commençons par une caractérisation purement combinatoire de la série génératrice correspondante, notée F(z; u). Nous en déduisons que F(z; u) est différentiellement algébrique en z, c’est-à-dire que F satisfait une équation différentielle polynomiale selon z. Enfin, pour u ≥ -1, nous étudions le comportement asymptotique du n-ième coefficient de F(z; u). Nous observons une transition de phase en 0, avec notamment un régime très atypique en n-3 ln-2(n) pour u ϵ [-1; 0[, témoignant d’une nouvelle classe d’universalité pour les cartes planaires. Dans une seconde partie, nous proposons un cadre unificateur pour les différentes notions d’activités utilisées dans la littérature pour décrire le polynôme de Tutte.La nouvelle notion d’activité ainsi définie est appelée Δ-activité. Elle regroupe toutes les notions d’activité déjà connues et présente de belles propriétés, comme celle de Crapo qui définit une partition (adaptée à l’activité) du treillis des sous-graphes couvrants en intervalles. Nous conjecturons en dernier lieu que toute activité qui décrit le polynôme de Tutte et qui satisfait la propriété susmentionnée de Crapo peut être définie en termes de Δ-activités. / This thesis deals with the Tutte polynomial, studied from different points of view. In the first part, we address the enumeration of planar maps equipped with a spanning forest, here called forested maps, with a weight z per face and a weight u per non-root component of the forest. Equivalently, we count (with respect to the number of faces) the planar maps C weighted by TC(u + 1; 1), where TC is the Tutte polynomial of C.We begin by a purely combinatorial characterization of the corresponding generating function, denoted by F(z; u). We deduce from this that F(z; u) is differentially algebraic in z, that is, satisfies a polynomial differential equation in z. Finally, for u ≥ -1, we study the asymptotic behaviour of the nth coefficient of F(z; u).We observe a phase transition at 0, with a very unusual regime in n-3 ln-2(n) for u ϵ [-1; 0[, which testifiesa new universality class for planar maps. In the second part, we propose a framework unifying the notions of activity used in the literature to describe the Tutte polynomial. The new notion of activity thereby defined is called Δ-activity. It gathers all the notions of activities that were already known and has nice properties, as Crapo’s property that defines a partition of the lattice of the spanning subgraphs into intervals with respect to the activity. Lastly we conjecture that every activity that describes the Tutte polynomial and that satisfies Crapo’s property can be defined in terms of Δ-activity.

Le problème de tournées de véhicules est un des problèmes d'optimisation combinatoire les plus connus et les plus difficiles. Il s'agit de déterminer les tournées optimales pour une flotte de véhicules afin de servir un ensemble donné de clients. Dans les problèmes classiques de transport, chaque client est normalement servi à partir d'un seul nœud (ou arc). Pour cela, on définit toujours un ensemble donné de nœuds (ou arcs) obligatoires à visiter ou traverser, et on recherche la solution à partir de cet ensemble de nœuds (ou arcs). Mais dans plusieurs applications réelles où un client peut être servi à partir de plus d'un nœud, (ou arc), les problèmes généralisés qui en résultent sont plus complexes. Le but principal de cette thèse est d'étudier trois problèmes généralisés de tournées de véhicules. Le premier problème de la tournée sur arcs suffisamment proche (CEARP), comporte une application réelle intéressante en routage pour le relevé des compteurs à distance ; les deux autres problèmes, problème de tournées couvrantes multi-véhicules (mCTP) et problème généralisé de tournées sur nœuds (GVRP), permettent de modéliser des problèmes de conception des réseaux de transport à deux niveaux. Pour résoudre ces problèmes, nous proposons une approche exacte ainsi que des métaheuristiques. Pour développer la méthode exacte, nous formulons chaque problème comme un programme mathématique, puis nous construisons des algorithmes de type branchement et coupes. Les métaheuristiques sont basées sur le ELS (ou Evolutionary Local Search) et sur le GRASP (ou Greedy Randomized Adaptive Search Procedure). De nombreuses expérimentations montrent la performance de nos méthodes.

Le modèle de dimères, également connu sous le nom de modèle de couplage parfait, est un modèle probabiliste introduit à l'origine dans la mécanique statistique. Une configuration de dimères d'un graphe est un sous-ensemble des arêtes tel que chaque sommet est incident à exactement une arête. Un poids est attribué à chaque arête et la probabilité d'une configuration est proportionnelle au produit des poids des arêtes présentes. Dans cette thèse, nous étudions principalement deux modèles qui sont liés au modèle de dimères, et plus particulièrement leur comportements limites. Le premier est le modèle des forêts couvrantes enracinées sur des cycles (CRSF) sur le tore, qui sont en bijection avec les configurations de dimères via la bijection de Temperley. Dans la limite quand la taille du tore tend vers l'infini, la mesure sur les CRSF converge vers une mesure de Gibbs ergodique sur le plan tout entier. Nous étudions la connectivité de l'objet limite, prouvons qu'elle est déterminée par le changement de hauteur moyen de la mesure de Gibbs ergodique et donnons un diagramme de phase. Le second est le modèle de perles, un processus ponctuel sur $\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$ qui peut être considéré comme une limite à l'échelle du modèle de dimères sur un réseau hexagonal. Nous formulons et prouvons un principe variationnel similaire à celui du modèle dimère \cite{CKP01}, qui indique qu'à la limite de l'échelle, la fonction de hauteur normalisée d'une configuration de perles converge en probabilité vers une surface $h_0$ qui maximise une certaine fonctionnelle qui s'appelle "entropie". Nous prouvons également que la forme limite $h_0$ est une limite de l'échelle des formes limites de modèles de dimères. Il existe une correspondance entre configurations de perles et (skew) tableaux de Young standard, qui préserve la mesure uniforme sur les deux ensembles. Le principe variationnel du modèle de perles implique une forme limite d'un tableau de Young standard aléatoire. Ce résultat généralise celui de \cite{PR}. Nous dérivons également l'existence d'une courbe arctique d'un processus ponctuel discret qui encode les tableaux standard, defini dans \cite{Rom}. / The dimer model, also known as the perfect matching model, is a probabilistic model originally introduced in statistical mechanics. A dimer configuration of a graph is a subset of the edges such that every vertex is incident to exactly one edge of the subset. A weight is assigned to every edge, and the probability of a configuration is proportional to the product of the weights of the edges present. In this thesis we mainly study two related models and in particular their limiting behavior. The first one is the model of cycle-rooted-spanning-forests (CRSF) on tori, which is in bijection with toroidal dimer configurations via Temperley's bijection. This gives rise to a measure on CRSF. In the limit that the size of torus tends to infinity, the CRSF measure tends to an ergodic Gibbs measure on the whole plane. We study the connectivity property of the limiting object, prove that it is determined by the average height change of the limiting ergodic Gibbs measure and give a phase diagram. The second one is the bead model, a random point field on $\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$ which can be viewed as a scaling limit of dimer model on a hexagon lattice. We formulate and prove a variational principle similar to that of the dimer model \cite{CKP01}, which states that in the scaling limit, the normalized height function of a uniformly chosen random bead configuration lies in an arbitrarily small neighborhood of a surface $h_0$ that maximizes some functional which we call as entropy. We also prove that the limit shape $h_0$ is a scaling limit of the limit shapes of a properly chosen sequence of dimer models. There is a map form bead configurations to standard tableaux of a (skew) Young diagram, and the map is measure preserving if both sides take uniform measures. The variational principle of the bead model yields the existence of the limit shape of a random standard Young tableau, which generalizes the result of \cite{PR}. We derive also the existence of an arctic curve of a discrete point process that encodes the standard tableaux, raised in \cite{Rom}.

Le problème de tournées de véhicules est un des problèmes d’optimisation combinatoire les plus connus et les plus difficiles. Il s’agit de déterminer les tournées optimales pour une flotte de véhicules afin de servir un ensemble donné de clients. Dans les problèmes classiques de transport, chaque client est normalement servi à partir d’un seul nœud (ou arc). Pour cela, on définit toujours un ensemble donné de nœuds (ou arcs) obligatoires à visiter ou traverser, et on recherche la solution à partir de cet ensemble de nœuds (ou arcs). Mais dans plusieurs applications réelles où un client peut être servi à partir de plus d’un nœud, (ou arc), les problèmes généralisés qui en résultent sont plus complexes. Le but principal de cette thèse est d’étudier trois problèmes généralisés de tournées de véhicules. Le premier problème de la tournée sur arcs suffisamment proche (CEARP), comporte une application réelle intéressante en routage pour le relevé des compteurs à distance ; les deux autres problèmes, problème de tournées couvrantes multi-véhicules (mCTP) et problème généralisé de tournées sur nœuds (GVRP), permettent de modéliser des problèmes de conception des réseaux de transport à deux niveaux. Pour résoudre ces problèmes, nous proposons une approche exacte ainsi que des métaheuristiques. Pour développer la méthode exacte, nous formulons chaque problème comme un programme mathématique, puis nous construisons des algorithmes de type branchement et coupes. Les métaheuristiques sont basées sur le ELS (ou Evolutionary Local Search) et sur le GRASP (ou Greedy Randomized Adaptive Search Procedure). De nombreuses expérimentations montrent la performance de nos méthodes. / The Routing Problem is one of the most popular and challenging combinatorial optimization problems. It involves finding the optimal set of routes for fleet of vehicles in order to serve a given set of customers. In the classic transportation problems, each customer is normally served by only one node (or arc). Therefore, there is always a given set of required nodes (or arcs) that have to be visited or traversed, and we just need to find the solution from this set of nodes (or arcs). But in many real applications where a customer can be served by from more than one node (or arc), the generalized resulting problems are more complex. The primary goal of this thesis is to study three generalized routing problems. The first one, the Close-Enough Arc Routing Problem(CEARP), has an interesting real-life application to routing for meter reading while the others two, the multi-vehicle Covering Tour Problem (mCTP) and the Generalized Vehicle Routing Problem(GVRP), can model problems concerned with the design of bilevel transportation networks. The problems are solved by exact methods as well as metaheuristics. To develop exact methods, we formulate each problem as a mathematical program, and then develop branch-and-cut algorithms. The metaheuristics are based on the evolutionary local search (ELS) method et on the greedy randomized adaptive search procedure (GRASP) method. The extensive computational experiments show the performance of our methods.