Ces cinquante dernières annéees, les ordinateurs ont occupé une place toujours plus importante dans notre vie quotidienne. On les retrouve aujourd’hui présents dans de nombreuses applications, sous forme de systèmes enfouis. Ces applications sont parfois critiques, dans la mesure où toute défaillance du système informatique peut avoir des conséquences catastrophiques, tant sur le plan humain que sur le plan économique. Nous pensons par exemple aux systèmes informatiques qui contrôlent les appareils médicaux ou certains systèmes vitaux (comme les freins) des véhicules automobiles. Afin d’assurer la correction de ces systèmes informatiques, différentes techniques de vérification Assistée par Ordinateur ont été proposées, durant les trois dernières décennies principalement. Ces techniques reposent sur un principe commun: donner une description formelle tant du système que de la propriété qu’il doit respecter, et appliquer une méthode automatique pour prouver que le système respecte la propriété. Parmi les principaux modèles aptes à décrire formellement des systèmes informatiques, la classe des systèmes de transition bien structurés [ACJT96, FS01] occupe une place importante, et ce, pour deux raisons essentielles. Tout d’abord, cette classe généralise plusieurs autres classes bien étudiées et utiles de modèles à espace d’états infini, comme les réseaux de Petri [Pet62](et leurs extensions monotones [Cia94, FGRVB06]) ou les systèmes communiquant par canaux FIFO avec pertes [AJ93]. Ensuite, des problèmes intéressants peuvent être résolus algorithmiquement sur cette classe. Parmi ces problèmes, on trouve le probléme de couverture, auquel certaines propriétés intéressantes de sûreté peuvent être réduites. Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons au problème de couverture. Jusqu’à présent, le seul algorithme général (c’est-à-dire applicable à n’importe quel système bien structuré) pour résoudre ce problème était un algorithme dit en arrière [ACJT96] car il calcule itérativement tous les états potentiellement non-sûrs et vérifie si l’état initial du système en fait partie. Nous proposons Expand, Enlarge and Check, le premier algorithme en avant pour résoudre le problème de couverture, qui calcule les états potentiellement accessibles du système et vérifie si certains d’entre eux sont non-sûrs. Cette approche est plus efficace en pratique, comme le montrent nos expériences. Nous présentons également des techniques permettant d’accroître l’efficacité de notre méthode dans le cas où nous analysons des réseaux de Petri (ou une de leurs extensions monotones), ou bien des systèmes communiquant par canaux FIFO avec pertes. Enfin, nous nous intéressons au calcul de l’ensemble de couverture pour les réseaux de Petri, un objet mathématique permettant notamment de résoudre le problème de couverture. Nous étudions l’algorithme de Karp & Miller [KM69], une solution classique pour calculer cet ensemble. Nous montrons qu’une optimisation de cet algorithme présenté dans [Fin91] est fausse, et nous proposons une autre solution totalement neuve, et plus efficace que la solution de Karp & Miller. Dans la seconde partie de la thèse, nous nous intéressons aux pouvoirs d’expression des systèmes bien structurés, tant en terme de mots infinis que de mots finis. Le pouvoir d’expression d’une classe de systèmes est, en quelque sorte, une mesure de la diversité des comportements que les modèles de cette classe peuvent représenter. En ce qui concerne les mots infinis, nous étudions les pouvoirs d’expression des réseaux de Petri et de deux de leurs extensions (les réseaux de Petri avec arcs non-bloquants et les réseaux de Petri avec arcs de transfert). Nous montrons qu’il existe une hiérarchie stricte entre ces différents pouvoirs d’expression. Nous obtenons également des résultats partiels concernant le pouvoir d’expression des réseaux de Petri avec arcs de réinitialisation. En ce qui concerne les mots finis, nous introduisons la classe des langages bien structurés, qui sont des langages acceptés par des systèmes de transition bien structurés étiquettés, où l’ensemble des états accepteurs est clos par le haut. Nous prouvons trois lemmes de pompage concernant ces langages. Ceux-ci nous permettent de réobtenir facilement des résultats classiques de la littérature, ainsi que plusieurs nouveaux résultats. En particulier, nous prouvons, comme dans le cas des mots infinis, qu’il existe une hiérarchie stricte entre les pouvoirs d’expression des extensions des réseaux de Petri considérées.

Réalisé en cotutelle avec l'École normale supérieure de Cachan – Université Paris-Saclay / L'un des aspects fondamentaux des systèmes informatiques modernes, et en particulier des systèmes critiques, est la possibilité d'exécuter plusieurs processus, partageant des ressources communes, de façon simultanée. De par leur nature concurrentielle, le bon fonctionnement de ces systèmes n'est assuré que lorsque leurs comportements ne dépendent pas d'un ordre d'exécution prédéterminé. En raison de cette caractéristique, il est particulièrement difficile de s'assurer qu'un système concurrent ne possède pas de faille. Dans cette thèse, nous étudions la vérification formelle, une approche algorithmique qui vise à automatiser la vérification du bon fonctionnement de systèmes concurrents en procédant par une abstraction vers des modèles mathématiques. Nous considérons deux de ces modèles, les réseaux de Petri et les systèmes d'addition de vecteurs, et les problèmes de vérification qui leur sont associés. Nous montrons que le problème d'accessibilité pour les systèmes d'addition de vecteurs (avec états) à deux compteurs est PSPACE-complet, c'est-à-dire complet pour la classe des problèmes solubles à l'aide d'une quantité polynomiale de mémoire. Nous établissons ainsi la complexité calculatoire précise de ce problème, répondant à une question demeurée ouverte depuis plus de trente ans. Nous proposons une nouvelle approche au problème de couverture pour les réseaux de Petri, basée sur un algorithme arrière guidé par une caractérisation logique de l'accessibilité dans les réseaux de Petri continus. Cette approche nous a permis de mettre au point un nouvel algorithme qui s'avère particulièrement efficace en pratique, tel que démontré par notre implémentation logicielle nommée QCover. Nous complétons ces résultats par une étude des systèmes de transitions bien structurés qui constituent une abstraction générale des systèmes d'addition de vecteurs et des réseaux de Petri. Nous considérons le cas des systèmes de transitions bien structurés à branchement infini, une classe qui inclut les réseaux de Petri possédant des arcs pouvant consommer ou produire un nombre arbitraire de jetons. Nous développons des outils mathématiques facilitant l'étude de ces systèmes et nous délimitons les frontières au-delà desquelles la décidabilité des problèmes de terminaison, de finitude, de maintenabilité et de couverture est perdue. / One fundamental aspect of computer systems, and in particular of critical systems, is the ability to run simultaneously many processes sharing resources. Such concurrent systems only work correctly when their behaviours are independent of any execution ordering. For this reason, it is particularly difficult to ensure the correctness of concurrent systems. In this thesis, we study formal verification, an algorithmic approach to the verification of concurrent systems based on mathematical modeling. We consider two of the most prominent models, Petri nets and vector addition systems, and their usual verification problems considered in the literature. We show that the reachability problem for vector addition systems (with states) restricted to two counters is PSPACE-complete, that is, it is complete for the class of problems solvable with a polynomial amount of memory. Hence, we establish the precise computational complexity of this problem, left open for more than thirty years. We develop a new approach to the coverability problem for Petri nets which is primarily based on applying forward coverability in continuous Petri nets as a pruning criterion inside a backward coverability framework. We demonstrate the effectiveness of our approach by implementing it in a tool named QCover. We complement these results with a study of well-structured transition systems which form a general abstraction of vector addition systems and Petri nets. We consider infinitely branching well-structured transition systems, a class that includes Petri nets with special transitions that may consume or produce arbitrarily many tokens. We develop mathematical tools in order to study these systems and we delineate the decidability frontier for the termination, boundedness, maintainability and coverability problems.

Ces cinquante dernières annéees, les ordinateurs ont occupé une place toujours plus importante dans notre vie quotidienne. On les retrouve aujourd’hui présents dans de nombreuses applications, sous forme de systèmes enfouis. Ces applications sont parfois critiques, dans la mesure où toute défaillance du système informatique peut avoir des conséquences catastrophiques, tant sur le plan humain que sur le plan économique. <p>Nous pensons par exemple aux systèmes informatiques qui contrôlent les appareils médicaux ou certains systèmes vitaux (comme les freins) des véhicules automobiles. <p>Afin d’assurer la correction de ces systèmes informatiques, différentes techniques de vérification Assistée par Ordinateur ont été proposées, durant les trois dernières <p>décennies principalement. Ces techniques reposent sur un principe commun: donner une description formelle tant du système que de la propriété qu’il doit respecter, et appliquer une méthode automatique pour prouver que le système respecte la propriété. <p>Parmi les principaux modèles aptes à décrire formellement des systèmes informatiques, la classe des systèmes de transition bien structurés [ACJT96, FS01] occupe une place importante, et ce, pour deux raisons essentielles. Tout d’abord, cette classe généralise plusieurs autres classes bien étudiées et utiles de modèles à espace <p>d’états infini, comme les réseaux de Petri [Pet62](et leurs extensions monotones [Cia94, FGRVB06]) ou les systèmes communiquant par canaux FIFO avec pertes [AJ93]. Ensuite, des problèmes intéressants peuvent être résolus algorithmiquement sur cette classe. Parmi ces problèmes, on trouve le probléme de couverture, auquel certaines propriétés intéressantes de sûreté peuvent être réduites. <p>Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons au problème de couverture. Jusqu’à présent, le seul algorithme général (c’est-à-dire applicable à n’importe quel système bien structuré) pour résoudre ce problème était un algorithme dit en arrière [ACJT96] car il calcule itérativement tous les états potentiellement non-sûrs et vérifie si l’état initial du système en fait partie. Nous proposons Expand, Enlarge and Check, le premier algorithme en avant pour résoudre le problème de couverture, qui calcule les états potentiellement accessibles du système et vérifie si certains d’entre eux sont non-sûrs. Cette approche est plus efficace en pratique, comme le montrent nos expériences. Nous présentons également des techniques permettant d’accroître l’efficacité de notre méthode dans le cas où nous analysons des réseaux de Petri (ou <p>une de leurs extensions monotones), ou bien des systèmes communiquant par canaux FIFO avec pertes. Enfin, nous nous intéressons au calcul de l’ensemble de couverture pour les réseaux de Petri, un objet mathématique permettant notamment de résoudre le problème de couverture. Nous étudions l’algorithme de Karp & Miller [KM69], une solution classique pour calculer cet ensemble. Nous montrons qu’une optimisation de cet algorithme présenté dans [Fin91] est fausse, et nous proposons une autre solution totalement neuve, et plus efficace que la solution de Karp & Miller. <p>Dans la seconde partie de la thèse, nous nous intéressons aux pouvoirs d’expression des systèmes bien structurés, tant en terme de mots infinis que de mots finis. Le pouvoir d’expression d’une classe de systèmes est, en quelque sorte, une mesure de la diversité des comportements que les modèles de cette classe peuvent représenter. En ce qui concerne les mots infinis, nous étudions les pouvoirs d’expression des réseaux de Petri et de deux de leurs extensions (les réseaux de Petri avec arcs non-bloquants et les réseaux de Petri avec arcs de transfert). Nous montrons qu’il existe une hiérarchie stricte entre ces différents pouvoirs d’expression. Nous obtenons également des résultats partiels concernant le pouvoir d’expression des réseaux de Petri avec arcs de réinitialisation. En ce qui concerne les mots finis, nous introduisons la classe des langages bien structurés, qui sont des langages acceptés par des systèmes de transition bien structurés étiquettés, où l’ensemble des états accepteurs est clos par le haut. Nous prouvons trois lemmes de pompage concernant ces langages. Ceux-ci nous permettent de réobtenir facilement des résultats classiques de la littérature, ainsi que plusieurs nouveaux résultats. En particulier, nous prouvons, comme dans le cas des mots infinis, qu’il existe une hiérarchie stricte entre les pouvoirs d’expression des extensions des réseaux de Petri considérées. / Doctorat en sciences, Spécialisation Informatique / info:eu-repo/semantics/nonPublished