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Neste trabalho calculamos o peso e a dimensão de todos os códigos cíclicos de comprimento pn na álgebra de grupo FqCpn, onde p é um número primo e Fq é um corpo finito de característica q. Também calculamos o peso do código dado pela soma de dois códigos abelianos minimais em Fq(Cp × Cp), dessa forma foi possível fazer uma breve comparação entre códigos cíclicos e abelianos não cíclicos de comprimento p2. / In this work we compute the weight and the dimension of all cyclic codes of length pn in the group algebra FqCpn, where p is a prime number and Fq is a finite field of characteristic q. Furthermore, we compute the weight of codes which are given by the sum of two minimal abelian codes in Fq(Cp × Cp). In this way, it was possible to compare briefly cyclic codes and non-cyclic abelian codes of length p2.

Deux défis de la théorie du codage algébrique sont traités dans cette thèse. Le premier est le décodage efficace (dur et souple) de codes de Reed--Solomon généralisés sur les corps finis en métrique de Hamming. La motivation pour résoudre ce problème vieux de plus de 50 ans a été renouvelée par la découverte par Guruswami et Sudan à la fin du 20ème siècle d'un algorithme polynomial de décodage jusqu'au rayon Johnson basé sur l'interpolation. Les premières méthodes de décodage algébrique des codes de Reed--Solomon généralisés faisaient appel à une équation clé, c'est à dire, une description polynomiale du problème de décodage. La reformulation de l'approche à base d'interpolation en termes d'équations clés est un thème central de cette thèse. Cette contribution couvre plusieurs aspects des équations clés pour le décodage dur ainsi que pour la variante décodage souple de l'algorithme de Guruswami--Sudan pour les codes de Reed--Solomon généralisés. Pour toutes ces variantes un algorithme de décodage efficace est proposé. Le deuxième sujet de cette thèse est la formulation et le décodage jusqu'à certaines bornes inférieures sur leur distance minimale de codes en blocs linéaires cycliques. La caractéristique principale est l'intégration d'un code cyclique donné dans un code cyclique produit (généralisé). Nous donnons donc une description détaillée du code produit cyclique et des codes cycliques produits généralisés. Nous prouvons plusieurs bornes inférieures sur la distance minimale de codes cycliques linéaires qui permettent d'améliorer ou de généraliser des bornes connues. De plus, nous donnons des algorithmes de décodage d'erreurs/d'effacements [jusqu'à ces bornes] en temps quadratique.

Cette thèse se concentre sur l’amélioration conjointe de l'efficacité spectrale et de l'efficacité en puissance de schémas de transmission par satellite. L’émergence de nouveaux services et l'augmentation du nombre d’acteurs dans le domaine nécessitent de disposer de débits de plus en plus importants avec des ressources de plus en plus limitées. Les progrès réalisés ces dernières années sur la technologie embarquée et dans le domaine des communications numériques permettent de considérer des schémas de transmission à plus haute efficacité spectrale et en puissance. Cependant, l’enjeu majeur des schémas de transmission proposes actuellement reste de rentabiliser les ressources disponibles. L’étude développée dans cette thèse explore les possibilités d’amélioration conjointe de l’efficacité spectrale et de l’efficacité en puissance en proposant la combinaison de la modulation Cyclic Code-Shift-Keying (CCSK), dont l’efficacité en puissance augmente avec l’élévation du degré de la modulation, avec une technique de multiplexage par codage de type Code-Division Multiplexing (CDM) pour pallier la dégradation de l’efficacité spectrale liée à l’étalement du spectre induit par la modulation CCSK. Deux approches basées sur l’utilisation de séquences de Gold de longueur N sont définies: Une approche multi-flux avec un décodeur sphérique optimal en réception. La complexité liée à l’optimalité du décodeur conduit à des valeurs d'efficacité spectrale limitées mais l’étude analytique des performances, vérifiée par des simulations, montre une augmentation de l'efficacité en puissance avec l'efficacité spectrale. Une approche mono-flux justifiée par l’apparition de redondance dans les motifs résultant du multiplexage des séquences. L’approche mono-flux propose des valeurs d’efficacité spectrale équivalente aux schémas retenus dans le standard DVB-S2 avec une amélioration de l’efficacité en puissance à partir d’un certain seuil de rapport signal à bruit par rapport à ces schémas. Par la suite, l'étude porte sur la transposition de plusieurs symboles de modulation sur les porteuses d’un système OFDM et sur les bénéfices et avantages d’une telle approche. Elle se conclut sur l’apport d’un codage canal basé sur des codes par bloc non binaires Reed-Solomon et LDPC. La forme d’onde proposée offre des points de fonctionnement à haute efficacité spectrale et haute efficacité en puissance avec des perspectives intéressantes. Dans le contexte actuel, son application reste limitée par ses fluctuations d’amplitude mais est envisageable dans un contexte de transmission multiporteuse, comme attendu dans les années à venir. / This thesis focuses on jointly improving the spectral efficiency and the power efficiency of satellite transmission schemes. The emergence of new services and the increasing number of actors in this field involve higher transmission rates with increasingly limited resources. Recent progress in the embedded technologies and in digital communications offered to consider transmission schemes with higher spectral and power efficiency. Nevertheless, the major current challenge consists in making efficient use of resources. The study developed in this thesis explores the possibilities of jointly improving the spectral and power efficiency by offering a combination of the Cyclic-Code-Shift Keying modulation (CCSK), which power efficiency increases with the degree of modulation, with a multiplexing technique such as Code-Division Multiplexing (CDM) to offset the deterioration on the spectral efficiency due to the spread spectrum induced by CCSK. Two approaches based on the use of Gold sequences of length N are defined : A multi-stream approach with an optimal receiver implemented through sphere decoding. The complexity due to the receiver optimality leads to limited spectral efficiencies but the study of performance, confirmed by simulations, shows an increase in power efficiency with spectral efficiency. A single-stream approach justified by the appearance of redundancy in the patterns following the sequences multiplexing. The single-stream approach offers spectral efficiencies equivalent to the adopted schemes in the DVB-S2 standard, with improved power efficiency from a certain level of signal to noise ratio compared to those schemes. Subsequently, the study focuses on the implementation of several modulation symbols on the subcarriers of an OFDM modulator and the benefits and advantages of such an approach. It concludes with the contribution of channel coding based on nonbinary block codes such as Reed-Solomon and LDPC codes. The proposed waveform offers operating points with high spectral efficiency and high power efficiency with attractive perspectives. In the current context, its application is limited by its amplitude fluctuations but is possible in a multicarrier transmission context, as expected in the years to come.

The main subject of this thesis is creating a programme, used for channel coding demonstration. This programme will be used for teaching purposes. The programme contains various codes from simple ones, to those which almost reach Shanon’s channel capacity theorem. Specifically these are the Hamming code, cyclic code, convolutional code and LDPC code. These functions are based on theoretical background described in this thesis and have been programed in Matlab. Practical output of this thesis is user interface, where the user is able to input information word, simulate transmission through the transmission channel and observe coding and decoding for each code. This thesis also contains a comparison between individual codes, concerning bit-error rate depending on SNR and various parameters. There is a computer lab with theoretical background, assignment and sheets for convenient accomplishment of each task.

Error-control codes provide a mechanism to increase the reliability of digital data being processed, transmitted, or stored under noisy conditions. Cyclic codes constitute an important class of error-control code, offering powerful error detection and correction capabilities. They can easily be generated and verified in hardware, which makes them particularly well suited to the practical use as error detecting codes.A cyclic code is based on a generator polynomial which determines its properties including the specific error detection strength. The optimal choice of polynomial depends on many factors that may be influenced by the underlying application. It is therefore advantageous to employ programmable cyclic code hardware that allows a flexible choice of polynomial to be applied to different requirements. A novel method is presented in this thesis to realise programmable cyclic code circuits that are fast, energy-efficient and minimise implementation resources.It can be shown that the correction of a single-bit error on the basis of a cyclic code is equivalent to the solution of an instance of the discrete logarithm problem. A new approach is proposed for computing discrete logarithms; this leads to a generic deterministic algorithm for analysed group orders that equal Mersenne numbers with an exponent of a power of two. The algorithm exhibits a worst-case runtime in the order of the square root of the group order and constant space requirements.This thesis establishes new relationships for finite fields that are represented as the polynomial ring over the binary field modulo a primitive polynomial. With a subset of these properties, a novel approach is developed for the solution of the discrete logarithm in the multiplicative groups of these fields. This leads to a deterministic algorithm for small group orders that has linear space and linearithmic time requirements in the degree of defining polynomial, enabling an efficient correction of single-bit errors based on the corresponding cyclic codes.