En informatique, les logiques formelles ont une place centrale dans la représentation et le traitement des connaissances. Elles sont utilisées pour la modélisation et la vérification de systèmes informatiques et de leurs propriétés ainsi que pour la formalisation de différents types de raisonnement. Dans ce contexte il existe un large spectre de logiques non-classiques parmi lesquelles les logiques modales jouent un rôle important. Alors que les logiques modales classiques ont été largement étudiées, nous nous focalisons dans cette thèse sur les logiques modales intuitionnistes et aussi hybrides floues en abordant un certain nombre de questions principalement du point de vue de la théorie de la démonstration. Nous proposons pour ces logiques de nouveaux systèmes de preuve, notamment suivant les formalismes de déduction naturelle et de calcul des séquents, qui sont fondés sur de nouvelles structures multi-contextuelles généralisant la structure standard de séquent / In computer science, formal logics are central for studying the representation and the treatment of knowledge. Indeed, they are widely used for modeling and verifying computer systems and their properties and also for formalizing different kinds of reasoning. In this context there exist many non-classical logics and among them modal logics play a key role. As classical modal logics have been deeply studied, we focus in this thesis on the intuitionistic modal logics and also on fuzzy hybrid logics by studying some important questions mainly from the viewpoint of proof theory . We define for these logics new proof systems, following natural deduction and sequent calculus formalisms, that are based on new multi-contextual structures generalizing the standard sequent structure

Cette thèse propose et étudie de nouveaux systèmes déductifs mêlant calculs et déductions. La déduction modulo est un premier formalisme qui traduit un pouvoir calculatoire grâce à un système de réécriture. Nous présentons un paradigme dual appelé superdéduction qui traduit un pouvoir déductif par de nouvelles inférences. Ces pouvoirs calculatoires et déductifs modifient la représentation des preuves et leur interaction par les processus d'élimination des coupures. La normalisation forte ou l'admissibilité des coupures ne sont plus garanties et apparaissent alors comme des propriétés intrinsèques des théories représentées sous forme de systèmes de réécriture. Nous démontrons que certains critères permettent d'assurer ces propriétés, notamment en définissant un langage de termes de preuve pour la superdéduction et en étudiant la permutabilité des inférences en calcul des séquents classique. Notre attention est focalisée sur les calculs des séquents classiques et la représentation des preuves dans de tels systèmes. D'autres formalismes connexes sont envisagés, notamment les réseaux de preuve et le focusing. Nous comparons cette dernière approche à la superdéduction, ce qui nous amène à proposer une refonte du paradigme de superdéduction basée sur un système de multifocusing pour la logique classique. Nous en montrons les effets bénéfiques en démontrant la complétude des systèmes déductifs obtenus. / In this thesis we propose and study several deduction systems that mix deduction and computation. Deduction modulo proposes to translate a computational power through a rewriting system. We present the dual concept called superdeduction. It translates a deductive power into custom inference rules that enrich the deduction system. These computational and deductive powers modify the representation of proofs as well as their interaction through cut-elimination processes. Strong normalisation or cut-admissibility may be lost and therefore appear as intrinsic properties of theories represented as rewriting systems. We prove that certain criteria imply these properties by defining a proof-term language for superdeduction and by studying the permutability of inferences in classical sequent calculus. Our attention is focused on classical sequent calculi and on the representation of proofs in such systems. Other related paradigms are considered, namely proof-nets and focusing. We compare this latter approach with superdeduction. We consequently reforge the superdeduction paradigm on top of a multifocusing system for classical logic. We demonstrate the benefits of this approach by proving the completeness of the obtained deduction systems.

Cette thèse propose et étudie de nouveaux systèmes déductifs mêlant calculs et déductions. La déduction modulo est un premier formalisme qui traduit un pouvoir calculatoire grâce à un système de réécriture. Nous présentons un paradigme dual appelé superdéduction qui traduit un pouvoir déductif par de nouvelles inférences. Ces pouvoirs calculatoires et déductifs modifient la représentation des preuves et leur interaction par les processus d'élimination des coupures. La normalisation forte ou l'admissibilité des coupures ne sont plus garanties et apparaissent alors comme des propriétés intrinsèques des théories représentées sous forme de systèmes de réécriture. Nous démontrons que certains critères permeent d'assurer ces propriétés, notamment en définissant un langage de termes de preuve pour la superdéduction et en étudiant la permutabilité des inférences en calcul des séquents classique. Notre attention est focalisée sur les calculs des séquents classiques et la représentation des preuves dans de tels systèmes. D'autres formalismes connexes sont envisagés, notamment les réseaux de preuve et le focusing. Nous comparons cette dernière approe à la superdéduction, ce qui nous amène à proposer une refonte du paradigme de superdéduction basée sur un système de multifocusing pour la logique classique. Nous en montrons les effets bénéfiques en démontrant la complétude des systèmes déductifs obtenus.

Dans une première partie, nous montrons qu'il est possible d'établir une correspondance naturelle entre les preuves en déduction naturelle de la validité d'une formule et les réfutations par resolution d'un ensemble de clauses obtenues en appliquant a la négation de cette formule une mise sous forme clausale non standard utilisant une technique de renommage. En particulier, nous montrons qu'il est possible de simuler le fonctionnement d'un calcul des sequents proche de celui de Gentzen par la resolution et nous montrons comment traduire des réfutations par resolution en preuve en déduction naturelle. De plus, nous proposons plusieurs ameliorations de cette mise sous forme clausale avec renommage permettant de faciliter la recherche d'une réfutation par resolution. Dans une deuxième partie, nous décrivons en détail des techniques permettant une mise en œuvre efficace de la resolution avec sortes ordonnées ainsi qu'un principe d'indexation des clauses permettant de résoudre efficacement de nombreux problèmes-clés (tels ceux poses par la subsomption, l'utilisation de systèmes de réécriture...). Ces algorithmes ont ete utilises dans l'implémentation d'un démonstrateur par resolution que nous avons réalisé dans le cadre d'atinf

En informatique, les logiques formelles ont une place centrale dans la représentation et le traitement des connaissances. Elles sont utilisées pour la modélisation et la vérification de systèmes informatiques et de leurs propriétés ainsi que pour la formalisation de différents types de raisonnement. Dans ce contexte il existe un large spectre de logiques non-classiques parmi lesquelles les logiques modales jouent un rôle important. Alors que les logiques modales classiques ont été largement étudiées, nous nous focalisons dans cette thèse sur les logiques modales intuitionnistes et aussi hybrides floues en abordant un certain nombre de questions principalement du point de vue de la théorie de la démonstration. Nous proposons pour ces logiques de nouveaux systèmes de preuve, notamment suivant les formalismes de déduction naturelle et de calcul des séquents, qui sont fondés sur de nouvelles structures multi-contextuelles généralisant la structure standard de séquent. Ainsi dans le cadre des logiques modales intuitionnistes formées à partir des combinaisons des axiomes T, B, 4 et 5, nous définissons des systèmes de preuve sans labels ayant de bonnes propriétés comme par exemple celle de la sous-formule. En outre, nous proposons des procédures de décision simples à partir de nos nouveaux calculs des séquents. Nous étudions également la première version intuitionniste de la logique hybride IHL et nous proposons son premier calcul des séquents à partir duquel nous donnons la première démonstration de sa décidabilité. Enfin, nous introduisons une nouvelle famille de logiques hybrides floues fondées sur les logiques modales de Gödel. Nous proposons pour ces logiques des procédures de décision avec génération de contre-modèles en utilisant un ensemble de règles de preuve fondées sur une structure multi-contextuelle adaptée.