Le modèle de Poland-Scheraga (PS) est le modèle standard pour étudier la transition de dénaturation de deux brins d’ADN complémentaires et de même longueur. Ce modèle a fait l’objet d’une attention remarquable car il est exactement résoluble dans sa version homogène. Le caractère résoluble est lié au fait que le modèle PS homogène peut être mis en correspondance avec un processus de renouvellement discret. Dans la littérature biophysique une généralisation du modèle, obtenue en considérant des brins non complé- mentaires et de longueurs différentes, a été considérée et le caractère résoluble s’étend à cette généralisation substantielle. Dans cette thèse, nous présentons une analyse mathématique du modèle de Poland- Scheraga généralisé. Nous considérons d’abord le modèle homogène et nous exploitons que les deux brins de la chaîne peuvent être modélisés par un processus de renouvellement en deux dimensions. La distribution K(⋅) de l’emplacement (bidimensionnel) du premier contact entre les deux brins est supposée de la forme K(n+m) = (n+m)−α−2L(n+m) avec α ≥ 0 et L(⋅) à variation lente et correspond à une boucle avec n bases dans le premier brin et m dans le deuxième. Nous étudions la transition de localisation-délocalisation et nous montrons l’existence des transitions à l’intérieur de la phase localisée. Nous présentons ensuite des estimations précises sur les propriétés de chemin du modèle. Ensuite, nous étudions la version désordonnée du modèle en incluant une séquence de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées à deux indices. Nous nous concentrons sur l’influence du désordre sur la transition de dénaturation: nous voulons déterminer si la présence des inhomogénéités modifie les propriétés critiques du système par rapport au cas homogène. Nous prouvons que le désordre est non pertinent si α < 1 et nous montrons que pour α > 1, les points critiques gelés et recuits diffèrent (basant sur les techniques de coarse graining et la méthode des moments fractionnaires), ce qui prouve la présence d’un régime de désordre pertinent. / The Poland-Scheraga (PS) model is the standard basic model to study the denaturation transition of two complementary and equally long strands of DNA. This model has enjoyed a remarkable attention because it is exactly solvable in its homogeneous version. The solvable character is related to the fact that the homogeneous PS model can be mapped to a discrete renewal process. In the bio-physical literature a generalization of the model, allowing different length and non complementarity of the strands, has been considered and the solvable character extends to this substantial generalization. In this thesis we present a generalized version of the PS model that allows mismatches and non complementary strands (in particular, the two strands may be of different lengths). We consider first the homogeneous model and we exploit that this model can be mapped to a bivariate renewal process. The distribution K(⋅) of the location (in two dimensions) of the first contact between the two strands is assumed to be of the form K(n + m) = (n + m)−α−2L(n + m) with α ≥ 0 and L(⋅) slowly varying and corresponds to a loop with n bases in the first strand and m in the second. We study the localization-delocalization transition and we prove the existence of transitions inside the localized regime. We then present precise estimates on the path properties of the model. We then study the disordered version of the model by including a sequence of inde- pendent and identically distributed random variables with two indices. We focus on the influence of disorder on the denaturation transition: we want to determine whether the presence of randomness modifies the critical properties of the system with respect to the homogeneous case. We prove that the disorder is irrelevant if α < 1. We show also that for α > 1, the quenched and annealed critical points differ (basing on coarse graining techniques and fractional moment method), proving the presence of a relevant disorder regime.

Cette thèse porte sur l'étude de modèles de polymère en milieu aléatoire: on se concentre sur le cas d'un polymère dirigé en dimension d+1 qui interagit avec un défaut unidimensionnel. Les interactions sont possiblement non-homogènes, et sont représentées par des variables aléatoires. Une question importante est celle de l'influence du désordre sur le phénomène de localisation: on veut déterminer si la présence d'inhomogénéités modifie les propriétés critiques du système, et notamment les caractéristiques de la transition de phase (auquel cas le désodre est dit pertinent). En particulier, nous prouvons que dans le cas où le défaut est une marche aléatoire, le désordre est pertinent en dimension d≥3. Ensuite, nous étudions le modèle d'accrochage sur une ligne de défauts possédant des inhomogénéités corrélées spatialement. Il existe un critère non rigoureux (dû à Weinrib et Halperin), que l'on applique à notre modèle, et qui prédit si le désordre est pertinent ou non en fonction de l'exposant critique du système homogène, noté νpur, et de l'exposant de décroissance des corrélations. Si le désordre est gaussien et les corrélations sommables, nous montrons la validité du critère de Weinrib-Halperin: nous le prouvons dans la version hiérarchique du modèle, et aussi, de manière partielle, dans le cadre (standard) non-hiérarchique. Nous avons de plus obtenu un résultat surprenant: lorsque les corrélations sont suffisamment fortes, et en particulier si elles sont non-sommables (dans le cadre gaussien), il apparaît un régime où le désordre devient toujours pertinent, l'ordre de la transition de phase étant toujours plus grand que νpur. La prédiction de Weinrib-Halperin ne s'applique alors pas à notre modèle. / This thesis studies models of polymers in random environment: we focus on the case of a directed polymer in dimension d+1 that interacts with a one-dimensional defect. The interactions are possibly inhomogeneous, and are represented by random variables. We deal with the question of the influence of disorder on the localization phenomenon: we want to determine if the presence of inhomogeneities modifies the critical properties of the system, and especially the characteristics of the phase transition (in that case disorder is said to be pertinent). In particular, we prove that if the defect is a random walk, disorder is relevant in dimension d≥3. We then study the pinning model in random correlated environment. There is a non-rigourous criterion (due to Weinrib and Halperin), that we can apply to our model, and that predicts disorder relevance/irrelevance, according to the value of the critical exponent of the homogeneous system, denoted νpur, and of the correlation decay exponent. When disorder is Gaussian and correlations are summable, we show that the Weinrib-Halperin criterion is valid: we prove this in the hierarchical version of the model, and also, partially, in the non-hierachical (standard) framework. Moreover, we obtained a surprising result: when correlations are sufficiently strong, and in particular when they are non-summable (in the gaussian framework), a new regime in which disorder is always relevant appears, the order of the phase transition being always larger than νpur. The Weinrib-Halperin prediction therefore does not apply to our model.

Cette thèse est consacrée à l’étude du modèle d’accrochage en environnementfaiblement corrélé. Le modèle d’accrochage s’applique à de multiples situationstelles que la localisation d’un polymère au voisinage d’une interface unidimensionnelle,la transition de mouillage ou encore la dénaturation de l’ADN, le pointcommun étant la présence d’une transition entre une phase localisée et une phasedélocalisée.Nous commençons par donner un aperçu des résultats disponibles sur lescourbes et exposants critiques pour le modèle homogène puis pour le modèledésordonné lorsque le désordre est une suite de variables aléatoires indépendanteset identiquement distribuées (i.i.d.). Dans ce dernier cas, nous donnons égalementune borne sur la courbe critique quenched à haute température, dans un régimeoù le désordre est dit pertinent.Nous étudions ensuite le modèle d’accrochage désordonné dans le cas où ledésordre est gaussien et les corrélations ont une portée finie, à l’aide de la théoriedes processus de renouvellement markoviens. Nous donnons dans ce cas une expressionde la courbe annealed à l’aide de la plus grande valeur propre d’une matricede transfert ainsi que l’exposant critique annealed. Nous généralisons ensuite lescritères de pertinence et de non pertinence du désordre prouvés dans le cas i.i.d.Nous nous intéressons ensuite à des désordres dont les corrélations ont uneportée de corrélation infinie. Dans un premier temps, nous généralisons la démarcheutilisée dans le cas d’une portée de corrélations finie et obtenons le comportementcritique annealed dans le cas d’un désordre gaussien sous des hypothèses dedécroissance forte des corrélations. Nous utilisons pour cela les propriétés spectralesdes opérateurs de transfert pour des décalages sur des suites d’entiers etdes potentiels à variations sommables. Dans un deuxième temps, nous donnonsquelques résultats dans le cas où le désordre est donné par une chaîne de Markov. / In this dissertation we study the pinning model with weakly correlated disorder.The pinning model applies to various situations such as localization of a polymernear a one-dimensional interface, wetting transition and DNA denaturation, whichall display a transition between a localized phase and a delocalized phase.We start by giving a survey of the available results concerning critical pointsand exponents, first for the homogeneous setup and then for the inhomogeneousone, in the case when disorder is given by a sequence of independent and identicallydistributed (i.i.d.) random variables. In the latter case, we also provide a hightemperaturebound on the quenched critical curve in a case of relevant disorder.We then study the random pinning model when disorder is gaussian and hascorrelations with finite range, using the theory of Markov renewal processes. Weexpress the annealed critical curve in terms of the largest eigenvalue of a transfermatrix and we give the annealed critical exponent. We then generalize the criteriafor disorder relevance/irrelevance that were proved for the i.i.d. case.Next we are interested in disorder sequences with infinite range correlations.At first we generalize the method used to deal with finite range correlations andobtain the annealed critical behaviour in the case of gaussian disorder assumingfast decay of correlations. We use to this end the spectral properties of transferoperators for shifts on integer sequences and potentials with summable variations.Secondly we provide some results when disorder is a Markov chain.

La compréhension des mécanismes pilotes de la stabilisation des flammes-jet non-prémélangées constitue un point clé dans la caractérisation des modes opératoires des brûleurs industriels fonctionnant en régime de combustion diluée. Ce travail porte son attention sur l'étude expérimentale de l'influence de la dilution du combustible ou de l'air, sur le processus de décrochage et l'émission des polluants d'une flamme-jet non-prémélangée accrochée au brûleur. L'investigation est menée via un grand nombre d'expériences par combinaison des conditions suivantes : i) dioxyde de carbone (CO2), azote (N2), argon (Ar) et vapeur d'eau (H2Ov), sont utilisés comme diluants ; ii) deux configurations de dilution : dilution de l'air ou dilution du combustible ; iii) un couple de vitesses d'air et de combustible couvrant le domaine d'hystérésis de la flamme dans sa totalité, du régime de jet laminaire à celui de jet turbulent. Ceci permet de discriminer l'influence des effets intrinsèques à la nature du diluant de celle de l'aérodynamique des réactants (combustible et oxydant), dans la stabilité de la flamme accrochée. En particulier, les différences comportementales de la réponse de la flamme à la dilution de l'air ou à celle du combustible, sont analysées. Ces deux configurations de dilution diffèrent par deux effets de mélange, indépendants de la réaction, qui jouent un rôle important dans le cas de la dilution du combustible, mais sont négligeables dans le cas de celle de l'air : i) un effet dû à la modification de la fraction de mélange stœchiométrique. ii) un impact mécanique induit par l'apport de matière (diluants) responsable d'une augmentation de la vitesse des réactants. L'étude se divise en trois principales étapes. D'abord la réponse globale de la flamme à la dilution est étudiée via ses limites de décrochage quantifiées par les fractions molaires critiques des diluants dans l'oxydant ou dans le combustible, mesurées au décrochage. Le nombre de Peclet du combustible, Pef, est identifié comme le nombre adimensionnel qui ordonne ces limites de décrochage de manière homothétique pour tous les diluants. Grâce au comportement homothétique deux coefficients d'affinité, Kd,ox pour le cas de la dilution de l'air et Kd,f pour celle du combustible, sont introduits. Ils sont définis comme le rapport entre la limite de décrochage obtenue avec un diluant et celle obtenue avec le CO2 , à Pef = cste. Ceux-ci permettent l'établissement de deux polynômes génériques décrivant les limites de décrochage pour tous les diluants testés et dans toute la gamme des conditions aérodynamiques étudiées. En effet, Kd,ox et Kd,f englobent l'ensemble des effets physico-chimiques d'un diluant (dilution pure, thermique, propriétés de transport, chimie) et ceux des impacts mécaniques, affectant la stabilité de la flamme. Ils permettent de trouver les lois d'auto-similitude au décrochage pour un diluant chimiquement faible quelconque, à partir des résultats obtenus dans ce travail. Ensuite, une étude locale et détaillée du processus de décrochage induit par la dilution est réalisée. Celui-ci se base sur l'approche du bout propagatif décrivant la stabilité de la flamme accrochée comme résultant d'un équilibre à sa base entre la vitesse de l'écoulement et la vitesse de propagation. Afin de démontrer le lien entre cette approche et la stabilité de la flamme, une analyse approfondie des caractéristiques de sa base (localisation, intensité du radical CH* et champ de vitesses) est réalisée. Les résultats confirment la pertinence de l'approche du bout propagatif, comme mécanisme descriptif de la stabilisation de la flamme accrochée en présence de dilution. Enfin, une étude caractérisant aussi bien l'influence de la nature des diluants que celle de la configuration de dilution choisie (air ou combustible), sur l'émission des polluants (suies, NOx et CO), est présentée. / Understanding the main mechanisms piloting non-premixed jet flame stability is an important point in characterizing the operation modes of industrials burners in which dilution is involved. This work puts special emphasis on the experimental study of the influence of air-side and methane-side dilution in the lifting process of attached non-premixed jet flames. The study is based on numerous experiments combining the following conditions : i) carbon dioxide (CO2), nitrogen (N2), argon (Ar) or water vapor (H20v,) used as diluents d ; ii) two diluted configurations : air-side or methane-side dilution ; iii) two air and fuel velocities covering the entire flame hysteresis domain, from the laminar to the turbulent regime. This allows the influence of the intrinsic diluent nature effects to be discriminated from those of the aerodynamics of the reactants (fuel and oxidant), in attached flame stability. In particular, the behavioral differences of the flame response to air-side or to fuel-side dilution are analyzed. These two configurations differ by two mixing effects which are independent of the combustion reaction, and which are significant when the fuel is diluted, but negligible when air is diluted : i) an effect due to the changes in the stoichiometric mixture fraction ; ii) a mechanical impact induced by the addition of matter (diluents) producing an increase in the bulk velocity of the reactants. The study is composed of three parts. First, the global flame response to dilution is analyzed on the basis of the lifting limits defined as the critical molar fractions of the diluents in the fuel or in the oxidant measured at liftoff. The fuel Peclet number, Pef, appears as the dimensionless number which puts these limits in a homothetic order. This homothetic behavior allows the introduction of two affinity parameters, Kd,ox for air-side dilution and Kd,f for fuel-side dilution. They are defined by the ratio of the flame lifting limits calculated with a diluent d and with CO2, at Pef=const. Kd,ox and Kd, allow two generic polynomial laws to be established describing the flame lifting limits for all the diluents and in the whole range of aerodynamic conditions of this study. Indeed, Kd,ox and Kd,f encompass all the diluent effects affecting flame stability (pure dilution, thermal, transport, chemical), to which mechanical impacts are added. These coefficients make it possible to obtain the self-similarity laws of the lifting limits for any chemically-weak diluent, by using the results obtained in this work. Then, a local and detailed study of the flame lifting process induced by dilution is presented. This is based on the flame-leading-edge approach describing flame stability as a result of the balance between the incoming gas velocity of the reactants and the flame propagation velocity at the flame base. In order to show the link between this approach and flame stability, an extensive analysis of the flame-base characteristics (location, CH* emission intensity and velocity field) is carried out. The results attest to the pertinence of the propagative flame-leading-edge, as the mechanism describing the attached flame stability under dilution. Finally, a study concerning the influence of both the diluent nature and the diluted configuration (air or fuel) on pollutant emissions (soot, NOx and CO) is presented.