El uso de elementos finitos para analizar fenómenos físicos modelados por ecuaciones diferenciales parciales requiere de una discretización del dominio, como lo son las triangulaciones en dos dimensiones. En este contexto se distinguen tres problemas: generar una triangulación a partir de un conjunto de vértices y segmentos, refinar una malla y mejorar la calidad de una malla. Los algoritmos que refinan triangulaciones Delaunay en general se basan en seleccionar nuevos puntos y realizar una inserción Delaunay de éstos. Los criterios usados para comparar algoritmos se basan en la cantidad de inserciones que realizan, la cantidad de triángulos generados y el tiempo de ejecución. Sin embargo, es difícil encontrar implementaciones que realicen las comparaciones bajo un mismo ambiente y condiciones. En esta memoria se ha diseñado un marco de experimentación que permite investigar y comparar algoritmos de refinamiento Delaunay dentro de un mismo ambiente. Se propone un proceso de refinamiento genérico y se desarrolla una herramienta que, haciendo uso de patrones de diseño de programación con orientación a objetos, implementa el proceso con la flexibilidad de poder extender la herramienta con nuevos algoritmos de forma simple. Se provee una interfaz gráfica que permite seguir el proceso de refinamiento en una forma clara y didáctica. La herramienta genera resultados comparables con los resultados de Triangle, una herramienta de refinamiento Delaunay rápida y eficiente, pero limitada en su extensibilidad y usabilidad. La extensibilidad de la herramienta se puso a prueba implementando los siguientes criterios de selección de puntos asociados a triángulos de mala calidad: Circuncentro, Off-Center, Lepp - Punto Medio, Lepp - Centroide y Lepp - Bisección (No Delaunay). Se evalúan también técnicas de priorización en el procesamiento de los triángulos de mala calidad. Se experimentó con un algoritmo nuevo, Lepp -Circuncentro, el cual presentó un buen rendimiento con las mallas estudiadas, alcanzando en algunos casos una exigencia de 37º como ángulo interior mínimo. Se estudiaron criterios de priorización en la selección de triángulos de mala calidad, concluyendo que el comportamiento de los algoritmos de tipo Lepp es independiente del uso de técnicas de priorización. En cambio, el algoritmo Off-Center aumenta considerablemente el número de puntos insertados si no se utiliza un orden de procesamiento adecuado.

Ingeniero Civil en Computación / La resolución de diversos problemas en ciencia e ingeniería, requiere el apoyo de soluciones y herramientas computacionales que permitan representar, visualizar y modelar sus objetos de estudio, como superficies, terrenos o células. Una forma de representar estos objetos es mediante el uso de mallas geométricas, sobre las cuales se realizan operaciones y simulaciones para modelar los problemas inherentes a cada disciplina. Uno de los principales problemas asociados a trabajar con mallas geométricas, es el tiempo que demoran en ser procesadas. Con el auge de las tarjetas y procesadores gráficos (GPU), se han investigado nuevas técnicas que permitan usar el poder de computo de estas unidades, para desarrollar e implementar estos algoritmos. Actualmente se cuenta con una librería (llamada Cleap), la cual permite realizar la operación de triangulación de Delaunay en Paralelo usando GPU s de marca Nvidia. A ella, se desea integrar otros algoritmos que trabajen con mallas geométricas, como algoritmos de suavizado y simplificación, además de comparar su rendimiento y calidad con otras implementaciones ya existentes. En este trabajo, se investigó sobre algoritmos de suavizado, triangulación y simplificación de mallas geométricas, y luego se implementaron versiones de los dos primeros, los cuales fueron integrados en Cleap, y se comparó el rendimiento y calidad de sus soluciones. Con respecto al algoritmo de simplificación, solo se llegó hasta la fase de investigación teórica, pero se obtuvo la información y conocimientos necesarios para implementar e integrar una versión de este algoritmo. Los resultados muestran que el uso de la GPU permite reducir considerablemente los tiempos de ejecución, cuando se trabaja con mallas de gran tamaño, en comparación a sus contrapartes secuenciales, y que la calidad de sus resultados es similar o incluso mejor a la de las implementaciones conocidas actualmente. Estos resultados también muestran que no siempre lo que se espera teóricamente, ocurre en la práctica, debido a problemas y fallos que ocurren al realizar cálculos con error asociado, y detalles particulares asociados a una arquitectura o plataforma determinada.

Doctor en Ciencias, Mención Computación / Las técnicas de generación y refinamiento de mallas no estructuradas son usadas para la descomposición de objetos geométricos. Estas técnicas son muy utilizadas en áreas como modelamiento geométrico, computación gráfica, computación científica y aplicaciones de ingeniería, entre otras, lo que les da un interés interdisciplinario. Trabajando con triangulaciones (mallas compuestas por triángulos), el reto es generar una descomposición precisa del objeto geométrico o dominio, y al mismo tiempo satisfacer las restricciones adicionales impuestas por la aplicación, como restricciones en la forma de los elementos, el número de elementos, o la transición entre elementos de diferentes tamaños. Los algoritmos que ofrecen garantías teóricas sobre estos temas son preferidos. Los algoritmos de arista más larga fueron diseñados para el refinamiento iterativo de triangulaciones en aplicaciones de método de elementos finitos adaptativo. Estos algoritmos están basados en la estrategia de propagación por la arista más larga. Comparados a otros algoritmos de refinamiento, los algoritmos de arista más larga rápidamente producen una descomposición del dominio (o de regiones de interés) a través de operaciones locales simples. Las triangulaciones obtenidas presentan buena densidad y la calidad de los triángulos refinados está acotada. El propósito de esta tesis es proporcionar nuevas garantías teóricas para los algoritmos de arista más larga basados en bisección y los algoritmos de arista más larga basados en refinamiento Delaunay, para la generación y el refinamiento de mallas de buena calidad en 2 dimensiones. Nuestro estudio del algoritmo basado en bisección muestra que el algoritmo inserta un número constante de puntos por triángulo refinado, con costo asintóticamente óptimo. También mostramos que durante el proceso de refinamiento el algoritmo mejora la calidad promedio de los triángulos. Obtenemos nuevas cotas para el tamaño de la triangulación refinada y probamos que éste es a lo sumo un factor constante mayor que el tamaño de la triangulación inicial. Esta es la primera prueba completa sobre la complejidad del algoritmo. Seguidamente estudiamos el algoritmo basado en refinamiento Delaunay y su estrategia de inserción de puntos. Demostramos que los puntos insertados por el algoritmo no pueden estar arbitrariamente cerca de puntos existentes, lo que nos permite acotar la longitud de nuevas aristas. Analizamos el mejoramiento de la calidad de triángulos para diversas cotas en el ángulo mínimo, y definimos las propiedades geométricas de los triángulos obtenidos después del refinamiento. Utilizamos las técnicas existentes para el análisis de algoritmos de refinamiento Delaunay para demostrar que el algoritmo produce triangulaciones de tamaño óptimo, con buena densidad de puntos, y con ángulos internos entre 25.66 y 128.68 grados. También estudiamos las propiedades de la propagación en estos algoritmos de arista más larga. Mostramos que el número de triángulos afectados por refinamiento propagado converge rápidamente a aproximadamente dos. Esto demuestra que el refinamiento propagado representa un factor constante en el costo de refinamiento.

Cette thèse décrit et analyse un nouvel algorithme de génération de maillages tri-dimensionnels pour des domaines bornés par des surfaces lisses ou lisses par morceaux, c'est à dire des surfaces composées d'une collection de morceaux de surfaces lisses, joints en des courbes lisses. Cet algorithme utilise un processus glouton de raffinement de Delaunay et échantillonne l'intérieur et la frontière du domaine simultanément. Les résultats sont des maillages dont la qualité est certifiée, et où la taille des éléments est contrôlée par l'intermédiaire d'un champ de taille défini par l'utilisateur. L'analyse de l'algorithme montre de plus des guaranties sur la précision de l'approximation de la frontière du domaine, à condition que les angles entre deux morceaux de surfaces lisses soient supérieurs à 90°. La levée de cette limitation importante fera partie du travail de recherche qui suivra cette thèse. Une particularité intéressante de cet algorithme est qu'il ne nécessite de connaître le domaine qu'à travers un oracle capable de décider si un point de requête est à l'intérieur ou à l'extérieur du domaine, si un segment de droite intersecte ou non la frontière, et si un triangle intersecte les courbes lisses de la frontière. De ce fait, cet algorithme est générique et peut s'appliquer dans de nombreuses circonstances, allant du maillage d'objets définis par des surfaces implicites au maillage de domaines définis par une ou plusieurs zones dans une image tri-dimensionnelle, en passant par les objets dont la surface est déjà définie par un maillage triangulaire.

Representing the world in terms of visible surfaces and the freespacesexisting between these surfaces and the viewer is an important problemsin robotics. Recently, researchers have proposed using the 3DsDelaunay Tessellation for representing 3D stereo vision data and thesfreespace determined therefrom. We discuss problems with using thes3D Delaunay Tessellation as the basis of the representation andspropose an alternative representation that we are currentlysinvestigating. This new representation is appropriate for planningsmobile robot navigation and promises to be robust when using stereosdata that has errors and uncertainty.

Texte remanié de: Thèse de doctorat--Histoire de l'art--Paris 1, 1998. Titre de soutenance : Les relations internationales de Robert Delaunay de 1909 à 1941. / Bibliogr. p. 281-298. Index.

Triangle meshes can provide an effective geometric representation of images. Although many mesh generation methods have been proposed to date, many of them do not explicitly take image discontinuities into consideration. In this thesis, a new mesh model for images, which explicitly represents discontinuities (i.e., image edges), is proposed along with two corresponding mesh-generation methods that determine the mesh-model parameters for a given input image. The mesh model is based on constrained Delaunay triangulations (DTs), where the constrained edges correspond to image edges. One of the proposed methods is named explicitly-represented discontinuities-with error diffusion (ERDED), and is fast and easy to implement. In the ERDED method, the error diffusion (ED) scheme is employed to select a subset of sample points that are not on the constrained edges. The other proposed method is called ERDGPI. In the ERDGPI method, a constrained DT is first constructed with a set of prespecified constrained edges. Then, the greedy point insertion (GPI) scheme is employed to insert one point into the constrained DT in each iteration until a certain number of points is reached. The ERDED and ERDGPI methods involve several parameters which must be provided as input. These parameters can affect the quality of the resulting image approximations, and are discussed in detail. We also evaluate the performance of our proposed ERDED and ERDGPI methods by comparing them with the highly effective ED and GPI schemes. Our proposed methods are demonstrated to be capable of producing image approximations of higher quality both in terms of PSNR and subjective quality than those generated by other schemes. For example, the reconstructed images produced by the proposed ERDED method are often about 3.77 dB higher in PSNR than those produced by the ED scheme, and our proposed ERDGPI scheme produces image approximations of about 1.08 dB higher PSNR than those generated by the GPI approach. / Graduate

Las mallas de triángulos son ampliamente utilizadas en aplicaciones científicas e ingeniería. Una triangulación de un conjunto de puntos puede construirse utilizando diversos algoritmos, pero usualmente se prefiere aquellos que además de ser eficientes en tiempo y espacio, entreguen triángulos cuyo menor ángulo se encuentre sobre cierta cota. La triangulación de Delaunay de un conjunto de puntos maximiza el ángulo mínimo de todos los triángulos de la triangulación. Sin embargo, el ángulo mínimo en una triangulación de Delaunay puede ser menor que el valor requerido en una aplicación dada. Existen métodos de refinamiento de triangulaciones basados en la inserción de nuevos puntos en la malla que incrementalmente mejoran el ángulo mínimo de una triangulación. De especial interés es la familia de métodos de refinamiento basados LEPP, que recorren los triángulos de una malla a través de las aristas más largas de los triángulos. El uso de los métodos de refinamiento basados en LEPP-Delaunay en aplicaciones, requiere la implementación de estructuras de datos para la representación de la malla, primitivas geométricas, algoritmos de triangulación y algoritmos de manipulación de los datos. El costo de escribir una aplicación desde cero se eleva al considerar los requisitos anteriormente mencionados. El presente informe describe la implementación de una biblioteca reusable y general que ofrece la funcionalidad de los métodos LEPP-Delaunay. De esta manera, es posible crear aplicaciones que utilicen dichos métodos sin la necesidad de invertir tiempo de desarrollo en los algoritmos y estructuras de datos asociadas. En otras palabras, el foco del desarrollo puede estar completamente en la aplicación de los métodos LEPP-Delaunay y no en sus detalles de implementación. La biblioteca LEPP-Delaunay fue construida utilizando las estructuras de datos de OpenMesh, proyecto que ofrece una implementación extensible y flexible de la representación de una malla en base a la estructura de datos halfedge. Para mostrar las capacidades de la biblioteca LEPP-Delaunay se implementó una herramienta gráfica para el análisis de mallas que hace uso de la funcionalidad provista por la biblioteca LEPP-Delaunay.

Finding the exact spanning ratio of a Delaunay graph has been one of the longstanding open problems in Computational Geometry. Currently there are only four convex shapes for which the exact spanning ratio of their Delaunay graph is known: the equilateral triangle, the square, the regular hexagon and the rectangle. In this paper, we show the exact spanning ratio of the parallelogram Delaunay graph, making the parallelogram the fifth convex shape for which an exact bound is known. The worst-case spanning ratio is exactly $$\frac{\sqrt{2}\sqrt{1+A^2+2A\cos(\theta_0)+(A+\cos(\theta_0))\sqrt{1+A^2+2A\cos(\theta_0)}}}{\sin(\theta_0)},$$ where A is the aspect ratio and θ_0 is the non-obtuse angle of the parallelogram. Moreover, we show how to construct a parallelogram Delaunay graph whose spanning ratio matches the above mentioned spanning ratio.

Em muitos problemas de simulação de fenômenos físicos ou fenômenos de engenharia, o uso das malhas é um componente muito importante. Uma malha é uma aproximação de uma dada geometria por um conjunto de elementos mais simples, tais como triângulos e quadriláteros (caso bidimensional) ou tetraedros, prismas, pirâmides e hexaedros (caso tridimensional). Nesse texto, as malhas de interesse são as não-estruturadas e compostas por triângulos. A escolha de uma malha é fortemente influenciada pelo desempenho e precisão dos resultados da simulação. O desempenho depende do número de elementos a serem processados, ou seja, quanto maior for a área coberta por cada elemento da malha, menos elementos são necessários, por conseguinte, mais rápida será a simulaçao. A precisão nos resultados da simulação está relacionada tanto com o formato quanto com o tamanho dos elementos. Diferente do desempenho, quanto menor forem os elementos, mais precisos serão os resultados. O formato dos elementos também influencia a precisão, em geral, elementos mais próximos dos equiláteros são preferidos. Como é possível observar, desempenho e precisão são requisitos conflitantes e geralmente é necessário fazer uma ponderação entre eles. Para um determinado grupo de aplicações, o melhor compromisso entre desempenho e precisão é conseguido com elementos finos, longos e corretamente alinhados sobre o domí?nio onde a malha está definida. São as chamadas malhas anisotrópicas. Além disso, um método de refinamento anisotrópico pode melhorar ainda mais a precisão dos resultados. O principal objetivo desse trabalho é desenvolver métodos de refinamento de malhas anisotrópicas, usando como base, e tendo como ponto de partida, os métodos de refinamento Delaunay isotrópicos, a saber, os métodos de refinamento Delaunay de Jim Ruppert [13] e de Paul Chew [6], e também realizar a simplificação Delaunay proposto por Olivier Devillers [8] / The use of polygonal meshes for numerical simulation of physical problems is a well known component. Mesh is an piecewise approximation from a given geometry defined by a set of simpler elements, such as triangles and quadrilaterals (two-dimensional case) or tetrahedra, prisms, pyramid and hexahedra (three-dimensional case). In this work, the interest is unstructured meshes of triangles. The choice of a mesh is aimed at the performance and the precision of the simulation results. The performance depends of the number of elements that will be processed, i.e., the larger is the covered area for each mesh element, the less element is needed, therefore the simulation is faster performed. The simulation precision is related with the shape and the size of the elements. On the other hand, the smaller the elements are, the more precise are the results. The shape of the elements also influences on precision, generally, equilateral elements are preferred. It is worth to mention that performance and precision are opposite requirements and it is important to ponder between them. For a group of applications, the best commitment between performance and precision is obtained with thin and long elements correctly aligned on the domain where the mesh is defined. These meshes are named anisotropic meshes. Furthermore, a method of anisotropic refinement can even improve the precision. We aim at developing anisotropic mesh methods based on isotropic properties from well known Delaunay refinement methods, viz., the Delaynay refinement methods by Jim Ruppert [13] and Paul Chew [6], and performing a Delaunay simplification proposed by Olivier Devillers [8]