I [Mattson, Journal of Scientific Computing 51.3 (2012), s. 650–682] konstruerades partialsummeringsoperatorer för finita differensapproximationer av andraderivator med variabla koefficienter. Vi tillämpar framgångsrikt dessa operatorer på vågekvationen i två dimensioner med diskontinuerliga koefficienter, utan särskild behandling av diskontinuiteten. Närmare bestämt undersöks (i) operatorernas fel och konvergensordning relativt ”korrekt” hantering av diskontinuiteter genom blockuppdelning med kopplingstermer; (ii) ifall mycket komplicerade koefficienter orsakar instabilitet eller icke-fysikaliska fel. Vi visar att hoppet i våghastighet i simuleringen sker ett antal punkter ifrån hoppet i koefficienter, där antalet punkter beror på operatorernas ordning och storleken av hoppet i koefficienter. I (i) får dessa två faktorer plus blockets form och antalet punkter en stor påverkan på både storleken av felet, samt metodens konvergensordning som varierar från ca 1–2,5. Annars sker i både (i) och (ii) inget större icke-fysikaliskt fel eller instabilitet, vilket gör denna relativt enkla metod tillämpningsbar på komplexa verklighetsbaserade problem.

Deformation of materials due to heat exposure can be a challenge in vehicle design. Sun exposure and heat build up in the vehicle cabin contribute to accelerated aging of the materials used. To understand how this process affects the durability, numerical simulation is an important tool. This thesis work investigates whether it is possible to, with weather data and knowledge of how a car is used, simulate the deformation process of the trim parts due to heat exposure from the sun. To answer this question, two simulation methods have been compared: The first method is to only look at the aging of the material over time. This method is used today at Volvo Cars, but has been found to be insufficient from a number of aspects. The second method includes the effects of the reversible deformations. This method has not previously been tested in a similar context but was considered interesting as it models more true to life. In addition, the effects of modeling the car according to a virtual customer behavior, rather than stationary, were investigated. The main simulation tools used are TAITherm and Abaqus. The results show that modeling the vehicle with an imagined user routine yields a lower mean temperature as the car is cooled down when driven. The result of the comparison between the two methods shows that inclusion of the effects of the reversible deformations contribute to a better model of the aging of the trim parts due to heat exposure from the sun. / Deformation av material till följd av hög värmelast är ofta en utmaning inom fordonsdesign. Materialet i kupén exponeras både för direkt solljus och den värme som ackumuleras i det stängda utrymmet. För att få förståelse för hur denna process påverkar hållbarheten är numerisk analys ett viktigt verktyg. Föreliggande examensarbete undersöker om det är möjligt att, med väderdata och kunskap om hur en bil används, simulera deformationsprocessen i trim- delarna som uppkommer av värmexponering från solen. För att besvara denna fråga har två simuleringsmetoder jämförts: Den första metoden är att endast titta på materialets åldrande över tiden. Den används idag på Volvo Cars, men har befunnits vara otillräcklig utifrån ett antal aspekter. Den andra metoden inkluderar effekterna av de elastiska deformationerna av materialet. Denna metod har inte tidigare prövats i ett liknande sammanhang men bedömdes intressant då den modellerar mer verklighetstroget. Dessutom undersöktes effekterna av att modellera bilen enligt ett virtuellt kundbeteen- de snarare än som stillastående. De huvudsakliga simuleringsverktygen som använts här är TAITherm och Abaqus. Resultaten visar att modellering av fordonet med en tänkt användarrutin ger en lägre medeltemperatur eftersom bilen kyls ner när den körs. Resultatet av jämförelsen mellan de två metoderna visar att inkludering av effekterna av de elastiska deformationerna bidrar till en bättre modellering av åldrandet av trimdelarna till följd av värmexponering från solen.

In this thesis, important theories in financial mathematics will be explained and derived. These theories will later be used to value financial derivatives. An analytical formula for valuing European call and put option will be derived and European call options will be valued under the Black-Scholes partial differential equation using three different finite difference methods. The Crank-Nicholson method will then be used to value American call options and solve their corresponding free boundary value problem. The optimal exercise boundary can then be plotted from the solution of the free boundary value problem. The algorithm for valuing American call options will then be further developed to solve the stock loan problem. This will be achieved by exploiting a link that exists between American call options and stock loans. The Crank-Nicholson method will be used to value stock loans and their corresponding free boundary value problem. The optimal exit boundary can then be plotted from the solution of the free boundary value problem. The results that are obtained from the numerical calculations will finally be used to discuss how different parameters affect the valuation of American call options and the valuation of stock loans. In the end of the thesis, conclusions about the effect of the different parameters on the optimal prices will be presented. / I det här kandidatexamensarbetet kommer fundamentala teorier inom finansiell matematik förklaras och härledas. Dessa teorier kommer lägga grunden för värderingen av finansiella derivat i detta arbete. En analytisk formel för att värdera europeiska köp- och säljoptioner kommer att härledas. Dessutom kommer europeiska köpoptioner att värderas numeriskt med tre olika finita differensmetoder. Den finita differensmetoden Crank-Nicholson kommer sedan användas för att värdera amerikanska köpoptioner och lösa det fria gränsvärdesproblemet (free boundary value problem). Den optimala omvandlingsgränsen (Optimal Exercise Boundary) kan därefter härledas från det fria gränsvärdesproblemet. Algoritmen för att värdera amerikanska köpoptioner utökas därefter till att värdera lån med aktier som säkerhet. Detta kan åstadkommas genom att utnyttja ett samband mellan amerikanska köpoptioner med lån där aktier används som säkerhet. Den finita differensmetoden Crank-Nicholson kommer dessutom att användas för att värdera lån med aktier som säkerhet. Den optimala avyttringsgränsen (Optimal Exit Boundary) kan därefter härledas från det fria gränsvärdesproblemet. Resultaten från de numeriska beräkningarna kommer slutligen att användas för att diskutera hur olika parametrar påverkar värderingen av amerikanska köpoptioner, samt värdering av lån med aktier som säkerhet. Avslutningsvis kommer slutsatser om effekterna av dessa parametrar att presenteras.