Le sujet de cette thèse est la théorie des opérades. Une opérande est utilisée pour encoder des collections d’opérations. Une opérade P est associée à une catégorie d’algèbres, qui est gouvernée par une monade, dénotée par S(P,-). Nous avons des variantes de cette monade, dénotées par Λ(P,-) et Γ(P,-), ce qui nous donne de nouvelles catégories d’algèbres associée à P. Nous étudions les monades Λ(PreLie,-) et Γ(P,-), associées à une opérande particulière PreLie, dont la structure reflets la définition classique des crochets de Lie par la symétrisation des opérations. Nous montrons que la catégorie des algèbres Λ(PreLie,-) est isomorphe à la catégorie des algèbres pré-Lie p-restreintes. Nous donnons ensuite une présentation de la structure d’une algèbre sur la monade Γ(PreLie,-). Nous expliquons comment définir une généralisation appropriée de la notion d’une opérade dans la seconde partie de la thèse. Premièrement, nous expliquons la définition d’une catégorie de foncteurs cohomologiques de Mackey sur une catégorie des partitions HParn. Nous prouvons que cette catégorie de foncteurs de HParn-Mackey cohomologiques est équivalent à la catégorie de Suslin-Friedlander des foncteurs polynomiaux strictes de degré n. Nous comptons sur ce résultat pour définir une catégorie de M-modules correspondant aux foncteurs analytiques. Nous prouvons que la catégorie des M-modules forme une catégorie monoïdale équivalente à celle des foncteurs analytiques avec la composition des foncteurs comme structure monoïdale. Nous utilisons ce résultat pour prouver que la catégorie des monades analytiques est équivalente à une catégorie d’opérades généralisées dans les M-modules. / The subject of this thesis is the theory of operads. An operad is used to encode collections of operations. An operad P is associated to a category of algebras, which is governed by a monad, denoted by S(P,-). We have variants of this monad, denoted by Λ(P,-) and Γ(P,-), which give new categories of algebras associated to P. We study the monads Λ(PreLie,-) and Γ(PreLie,-) associated to a particular operad PreLie, whose structure reflects the classical definition of Lie brackets by the symmetrization of operations in the field of differential geometry. We show that the category of Λ(PreLie,-) algebras is isomorphic to the category of p-restricted pre-Lie algebras. Then we give a presentation of the structure of an algebra over the monad Γ(PreLie,-). We explain how to define a suitable generalisation of the notion of an operad in the second part of the thesis. In a first step we explain the definition of a category of cohomological Mackey functors on a category of partitions HParn. We prove that this category of cohomological HParn-Mackey functors is equivalent to the Suslin-Friedlander category of strict polynomial functors of degree n. We rely on this result to define a category of M-modules corresponding to analytic functors. We prove that the category of M-modules forms a monoidal category equivalent to the category of analytic functors with the composition of functors as monoidal structure. We use this result to prove that the category of analytic monads is equivalent to a category of generalized operads in M-modules.

Nous étudions des problèmes d'interpolation dans des espaces de fonctions analytiques et notamment les espaces de Paley-Wiener.Nous démontrons que l'opérateur de restriction associé à une suite de nombres complexes supposée a priori N-Carleson dans tout demi-plan, définit un isomorphisme entre l'espace de Paley-Wiener et un certain espace de suites (construit à l'aide de différences divisées) si et seulement si la suite en question vérifie certaines conditions, notamment la condition de Muckenhoupt. Ce résultat généralise un résultat de Lyubarskii et Seip de 1997.Nous montrons également que toute suite minimale dans l'espace de Paley-Wiener et telle que l'intersection avec tout demi-plan vérifie la condition de Carleson, est une suite d'interpolation dans tout espace de Paley-Wiener "plus grand", au sens du type exponentiel. Ce dernier résultat s'étend à l'interpolation pondérée et s'applique à la Théorie du contrôle.

Les courbes de Bezier et les courbes splines ont trouve un cadre de présentation simple et naturel avec la notion de floraison d'une fonction polynomiale, telle qu'elle a été présentée dans les travaux de Lyle Ramshaw (1987). Notre but a consiste a étendre cette présentation au cas des surfaces et aussi des variétés de dimension supérieure. Les splines simpliciales sont une généralisation naturelle des b-splines au cas de plusieurs variables. Nous présentons leurs principales propriétés ainsi qu'une définition de différences divisées pour fonctions de plusieurs variables. Un algorithme d'évaluation d'une spline simpliciale est propose et teste. Floraisons et splines simpliciales sont les éléments essentiels d'un nouveau schéma de b-splines introduit par Dahmen, Micchelli et Seidel (1992). Ce schéma est étudié et ses principales propriétés sont présentées. Une grande similarité avec l'étude des courbes est retrouvée

Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique et porte sur l'étude et les applications de trois ordres sur les permutations : les deux ordres faibles (gauche et droit) et l'ordre fort ou de Bruhat. Dans un premier temps, nous étudions l'action du groupe symétrique sur les polynômes multivariés. En particulier, les opérateurs de emph{différences divisées} permettent de définir des bases de l'anneau des polynômes qui généralisent les fonctions de Schur aussi bien du point de vue de leur construction que de leur interprétation géométrique. Nous étudions plus particulièrement la base des polynômes de Grothendieck introduite par Lascoux et Schützenberger. Lascoux a montré qu'un certain produit de polynômes peut s'interpréter comme un produit d'opérateurs de différences divisées. En développant ce produit, nous ré-obtenons un résultat de Lenart et Postnikov et prouvons de plus que le produit s'interprète comme une somme sur un intervalle de l'ordre de Bruhat. Nous présentons aussi l'implantation que nous avons réalisée sur Sage des polynômes multivariés. Cette implantation permet de travailler formellement dans différentes bases et d'effecteur des changements de bases. Elle utilise l'action des différences divisées sur les vecteurs d'exposants des polynômes multivariés. Les bases implantées contiennent en particulier les polynômes de Schubert, les polynômes de Grothendieck et les polynômes clés (ou caractères de Demazure).Dans un second temps, nous étudions le emph{treillis de Tamari} sur les arbres binaires. Celui-ci s'obtient comme un quotient de l'ordre faible sur les permutations : à chaque arbre est associé un intervalle de l'ordre faible formé par ses extensions linéaires. Nous montrons qu'un objet plus général, les intervalles-posets, permet de représenter l'ensemble des intervalles du treillis de Tamari. Grâce à ces objets, nous obtenons une formule récursive donnant pour chaque arbre binaire le nombre d'arbres plus petits ou égaux dans le treillis de Tamari. Nous donnons aussi une nouvelle preuve que la fonction génératrice des intervalles de Tamari vérifie une certaine équation fonctionnelle décrite par Chapoton. Enfin, nous généralisons ces résultats aux treillis de $m$-Tamari. Cette famille de treillis introduite par Bergeron et Préville-Ratelle était décrite uniquement sur les chemins. Nous en donnons une interprétation sur une famille d'arbres binaires en bijection avec les arbres $m+1$-aires. Nous utilisons cette description pour généraliser les résultats obtenus dans le cas du treillis de Tamari classique. Ainsi, nous obtenons une formule comptant le nombre d'éléments plus petits ou égaux qu'un élément donné ainsi qu'une nouvelle preuve de l'équation fonctionnelle des intervalles de $m$-Tamari. Pour finir, nous décrivons des structures algébriques $m$ qui généralisent les algèbres de Hopf $FQSym$ et $PBT$ sur les permutations et les arbres binaires

Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique et porte sur l'étude et les applications de trois ordres sur les permutations : les deux ordres faibles (gauche et droit) et l'ordre fort ou de Bruhat. Dans un premier temps, nous étudions l'action du groupe symétrique sur les polynômes multivariés. En particulier, les opérateurs de emph{différences divisées} permettent de définir des bases de l'anneau des polynômes qui généralisent les fonctions de Schur aussi bien du point de vue de leur construction que de leur interprétation géométrique. Nous étudions plus particulièrement la base des polynômes de Grothendieck introduite par Lascoux et Schützenberger. Lascoux a montré qu'un certain produit de polynômes peut s'interpréter comme un produit d'opérateurs de différences divisées. En développant ce produit, nous ré-obtenons un résultat de Lenart et Postnikov et prouvons de plus que le produit s'interprète comme une somme sur un intervalle de l'ordre de Bruhat. Nous présentons aussi l'implantation que nous avons réalisée sur Sage des polynômes multivariés. Cette implantation permet de travailler formellement dans différentes bases et d'effecteur des changements de bases. Elle utilise l'action des différences divisées sur les vecteurs d'exposants des polynômes multivariés. Les bases implantées contiennent en particulier les polynômes de Schubert, les polynômes de Grothendieck et les polynômes clés (ou caractères de Demazure).Dans un second temps, nous étudions le emph{treillis de Tamari} sur les arbres binaires. Celui-ci s'obtient comme un quotient de l'ordre faible sur les permutations : à chaque arbre est associé un intervalle de l'ordre faible formé par ses extensions linéaires. Nous montrons qu'un objet plus général, les intervalles-posets, permet de représenter l'ensemble des intervalles du treillis de Tamari. Grâce à ces objets, nous obtenons une formule récursive donnant pour chaque arbre binaire le nombre d'arbres plus petits ou égaux dans le treillis de Tamari. Nous donnons aussi une nouvelle preuve que la fonction génératrice des intervalles de Tamari vérifie une certaine équation fonctionnelle décrite par Chapoton. Enfin, nous généralisons ces résultats aux treillis de $m$-Tamari. Cette famille de treillis introduite par Bergeron et Préville-Ratelle était décrite uniquement sur les chemins. Nous en donnons une interprétation sur une famille d'arbres binaires en bijection avec les arbres $m+1$-aires. Nous utilisons cette description pour généraliser les résultats obtenus dans le cas du treillis de Tamari classique. Ainsi, nous obtenons une formule comptant le nombre d'éléments plus petits ou égaux qu'un élément donné ainsi qu'une nouvelle preuve de l'équation fonctionnelle des intervalles de $m$-Tamari. Pour finir, nous décrivons des structures algébriques $m$ qui généralisent les algèbres de Hopf $FQSym$ et $PBT$ sur les permutations et les arbres binaires / This thesis comes within the scope of algebraic combinatorics and studies problems related to three orders on permutations: the two said weak orders (right and left) and the strong order or Bruhat order.We first look at the action of the symmetric group on multivariate polynomials. By using the emph{divided differences} operators, one can obtain some generalisations of the Schur function and form bases of non symmetric multivariate polynomials. This construction is similar to the one of Schur functions and also allows for geometric interpretations. We study more specifically the Grothendieck polynomials which were introduced by Lascoux and Schützenberger. Lascoux proved that a product of these polynomials can be interpreted in terms of a product of divided differences. By developing this product, we reobtain a result of Lenart and Postnikov and also prove that it can be interpreted as a sum over an interval of the Bruhat order. We also present our implementation of multivariate polynomials in Sage. This program allows for formal computation on different bases and also implements many changes of bases. It is based on the action of the divided differences operators. The bases include Schubert polynomials, Grothendieck polynomials and Key polynomials. In a second part, we study the emph{Tamari lattice} on binary trees. This lattice can be obtained as a quotient of the weak order. Each tree is associated with the interval of its linear extensions. We introduce a new object called, emph{interval-posets} of Tamari and show that they are in bijection with the intervals of the Tamari lattice. Using these objects, we give the recursive formula counting the number of elements smaller than or equal to a given tree. We also give a new proof that the generating function of the intervals of the Tamari lattice satisfies some functional equation given by Chapoton. Our final contributions deals with the $m$-Tamari lattices. This family of lattices is a generalization of the classical Tamari lattice. It was introduced by Bergeron and Préville-Ratelle and was only known in terms of paths. We give the description of this order in terms of some family of binary trees, in bijection with $m+1$-ary trees. Thus, we generalize our previous results and obtain a recursive formula counting the number of elements smaller than or equal to a given one and a new proof of the functional equation. We finish with the description of some new $"m"$ Hopf algebras which are generalizations of the known $FQSym$ on permutations and $PBT$ on binary trees

Pour un grand nombre d'applications, les sources laser impulsionnelles femtoseconde (fs) doivent fournir des puissances toujours plus importantes. En régime impulsionnel, on recherche d'une part une forte puissance crête par impulsion, et d'autre part une forte puissance moyenne, c'est à dire un taux de répétition élevé. Parmi les technologies existantes, les amplificateurs à fibre optique dopée ytterbium présentent de nombreux avantages pour l'obtention de fortes puissances moyennes, cependant le fort confinement des faisceaux dans la fibre sur de grandes longueurs d'interaction induit inévitablement des effets non-linéaires, et limite ainsi la puissance crête accessible. Nous avons étudié lors de cette thèse la combinaison cohérente d'impulsions fs appliquée aux systèmes fibrés. Ayant déjà fait ses preuves dans les régimes d'amplification continu et nanoseconde, la combinaison cohérente de faisceaux (dite combinaison spatiale) permet de diviser une seule et unique source en N voies indépendantes, disposées en parallèle et incluant chacune un amplificateur. Les faisceaux amplifiés sont ensuite recombinés en espace libre en un seul et unique faisceau, qui contient toute la puissance des N amplificateurs sans accumuler les effets non-linéaires. Cette architecture permet théoriquement de monter d'un facteur N le niveau de puissance crête issu des systèmes d'amplification fibrés. Au cours de cette thèse, nous avons démontré la compatibilité et l'efficacité de cette méthode en régime d'amplification fs avec deux amplificateurs, selon différents procédés. Les expériences démontrent d'excellentes efficacités de combinaison ainsi qu'une très bonne préservation des caractéristiques temporelles et spatiales initiales de la source. Les procédés de combinaison cohérente nécessitent cependant un accord de phase entre différents amplificateurs stable dans le temps, assuré en premier lieu par une boucle de rétroaction. Nous avons poursuivi notre étude en concevant une architecture totalement passive, permettant une implémentation plus simple d'un système de combinaison à deux faisceaux sans asservissement électronique. Enfin, une méthode passive de combinaison cohérente dans le domaine temporel est étudiée et caractérisée dans le domaine fs, et implémentée simultanément avec la méthode passive de combinaison spatiale proposée précédemment. Ces expériences démontrent la validité et la variété des concepts proposés, ainsi que leurs nombreuses perspectives pour les systèmes d'amplification fs fibrés.

Pour un grand nombre d'applications, les sources laser impulsionnelles femtoseconde (fs) doivent fournir des puissances toujours plus importantes. En régime impulsionnel, on recherche d'une part une forte puissance crête par impulsion, et d'autre part une forte puissance moyenne, c'est à dire un taux de répétition élevé. Parmi les technologies existantes, les amplificateurs à fibre optique dopée ytterbium présentent de nombreux avantages pour l'obtention de fortes puissances moyennes, cependant le fort confinement des faisceaux dans la fibre sur de grandes longueurs d'interaction induit inévitablement des effets non-linéaires, et limite ainsi la puissance crête accessible. Nous avons étudié lors de cette thèse la combinaison cohérente d'impulsions fs appliquée aux systèmes fibrés.Ayant déjà fait ses preuves dans les régimes d'amplification continu et nanoseconde, la combinaison cohérente de faisceaux (dite combinaison spatiale) permet de diviser une seule et unique source en N voies indépendantes, disposées en parallèle et incluant chacune un amplificateur. Les faisceaux amplifiés sont ensuite recombinés en espace libre en un seul et unique faisceau, qui contient toute la puissance des N amplificateurs sans accumuler les effets non-linéaires. Cette architecture permet théoriquement de monter d'un facteur N le niveau de puissance crête issu des systèmes d'amplification fibrés. Au cours de cette thèse, nous avons démontré la compatibilité et l'efficacité de cette méthode en régime d'amplification fs avec deux amplificateurs, selon différents procédés. Les expériences démontrent d'excellentes efficacités de combinaison ainsi qu'une très bonne préservation des caractéristiques temporelles et spatiales initiales de la source. Les procédés de combinaison cohérente nécessitent cependant un accord de phase entre différents amplificateurs stable dans le temps, assuré en premier lieu par une boucle de rétroaction. Nous avons poursuivi notre étude en concevant une architecture totalement passive, permettant une implémentation plus simple d'un système de combinaison à deux faisceaux sans asservissement électronique. Enfin, une méthode passive de combinaison cohérente dans le domaine temporel est étudiée et caractérisée dans le domaine fs, et implémentée simultanément avec la méthode passive de combinaison spatiale proposée précédemment. Ces expériences démontrent la validité et la variété des concepts proposés, ainsi que leurs nombreuses perspectives pour les systèmes d'amplification fs fibrés.

Pour un grand nombre d'applications, les sources laser impulsionnelles femtoseconde (fs) doivent fournir des puissances toujours plus importantes. En régime impulsionnel, on recherche d'une part une forte puissance crête par impulsion, et d'autre part une forte puissance moyenne, c'est à dire un taux de répétition élevé. Parmi les technologies existantes, les amplificateurs à fibre optique dopée ytterbium présentent de nombreux avantages pour l'obtention de fortes puissances moyennes, cependant le fort confinement des faisceaux dans la fibre sur de grandes longueurs d'interaction induit inévitablement des effets non-linéaires, et limite ainsi la puissance crête accessible. Nous avons étudié lors de cette thèse la combinaison cohérente d'impulsions fs appliquée aux systèmes fibrés.Ayant déjà fait ses preuves dans les régimes d'amplification continu et nanoseconde, la combinaison cohérente de faisceaux (dite combinaison spatiale) permet de diviser une seule et unique source en N voies indépendantes, disposées en parallèle et incluant chacune un amplificateur. Les faisceaux amplifiés sont ensuite recombinés en espace libre en un seul et unique faisceau, qui contient toute la puissance des N amplificateurs sans accumuler les effets non-linéaires. Cette architecture permet théoriquement de monter d'un facteur N le niveau de puissance crête issu des systèmes d'amplification fibrés. Au cours de cette thèse, nous avons démontré la compatibilité et l'efficacité de cette méthode en régime d'amplification fs avec deux amplificateurs, selon différents procédés. Les expériences démontrent d'excellentes efficacités de combinaison ainsi qu'une très bonne préservation des caractéristiques temporelles et spatiales initiales de la source. Les procédés de combinaison cohérente nécessitent cependant un accord de phase entre différents amplificateurs stable dans le temps, assuré en premier lieu par une boucle de rétroaction. Nous avons poursuivi notre étude en concevant une architecture totalement passive, permettant une implémentation plus simple d'un système de combinaison à deux faisceaux sans asservissement électronique. Enfin, une méthode passive de combinaison cohérente dans le domaine temporel est étudiée et caractérisée dans le domaine fs, et implémentée simultanément avec la méthode passive de combinaison spatiale proposée précédemment. Ces expériences démontrent la validité et la variété des concepts proposés, ainsi que leurs nombreuses perspectives pour les systèmes d'amplification fs fibrés. / Applications addressed by femtosecond (fs) laser sources are requiring increasing pulse energies and increasing average powers. Ytterbium-doped fiber amplifiers are excellent candidates to generate high average powers at high repetition rates, but present strong disadvantages in terms of peak power. Indeed, the tight confinement of the beam over long interaction length induces nonlinear effects at high peak-powers that affect the overall performances of fiber systems. This work describes coherent combining methods that can be used to scale the performances of femtosecond laser sources.Coherent beam combining has been widely used in CW regime and more recently in the nanosecond range. It consists in splitting a single seed into N beam replicas, amplified each by independent amplifiers in parallel. Their respective outputs are combined in free space into one single beam that carries the power of the N amplifiers without cumulating nonlinearities. This architecture allows scaling both peak and average powers of the amplification systems. We have studied and demonstrated the efficiency of active coherent beam combining in the fs regime with two fiber amplifiers, which are peak-power limited. The experiments show the preservation of the temporal/spectral/spatial properties of the combined pulses, with high combination efficiencies.Coherent beam combining methods require phase-matching between all the beams to combine. This is usually achieved by an active feedback loop on each amplifier along with a phase detection scheme. We demonstrate that a Sagnac interferometer can be used to ensure perfect and stable phase-matching over time, which considerably simplifies the setup. Finally, another passive combining method known as divided-pulse amplification, acting in the temporal domain, is studied and demonstrated in the fs regime. It is coupled with the passive spatial combining method described above to scale the number of pulse divisions. All these experiments show the compatibility of coherent combining concepts in the fs regime and provide new opportunities for fiber amplifier systems.