Le sujet principal de la thèse sont les systèmes de particules en interaction sur des graphes soit deterministes soit aléatoires. Les systèmes de particules en interaction sont des processus de Markov qui décrivent l'évolution de particules indistingables en interaction forte les unes avec les autres qui sont utilisés pour modéliser des phénomènes d'épidémies, de dynamiques des populations ou des processus chimiques. Dans la première partie de la thèse nous avons analysé l'ordre stochastique et l'attractivité dans une classe de systèmes de particules avec des naissances, des morts et des sauts de plus d'une particule à la fois qui dépendent de la conguration de manière très générale: nous avons utilisé l'attractivité pour obtenir des resultats d'ergodicité pour des modèles d'epidemie et pour construire des mesures invariantes non-triviales pour des modèles de dinamiques de métapopulations. Dans la deuxième partie de la thèse nous avons analysé les marches aléatoires coalescentes sur des graphes aléatoires, les graphes small world. Nous avons montré que le nombre de particules d'un processus de n marches aléatoires coalescentes renormalisées qui partent d'une ensemble particulier sur le small world converge vers un processus coalescent de Kingman. Nous avons aussi obtenu des resultats detaillés sur le temps de rencontre de deux particules sur le small world.

The Allee effect corresponds to a positive relationship between population size and individual fitness. This positive relationship can cause thresholds, that is, critical population sizes below which the population becomes extinct. For species submitted to the Allee effect, the formation and cohesion of groups is therefore crucial to survival. Animals can achieve this collective behaviour through local interactions. Each individual interacts locally with conspecifics and, at the scale of the group, a unity of behaviour emerges: the animals move together, rest in the same place, or choose the same habitat patch to settle on. <p><p>We use a combination of mathematical modelling and experimental work to study certain mechanisms of collective behaviour. In particular we assess the extent to which different individual interactions can induce collective patterns and thereby influence the dynamics of dispersal and settlement of populations. First, we study the collective settlement induced by the arresting effect of a marker secreted by conspecifics. Then, two potential mechanisms for collective movement are examined: following the conspecifics and following a trail laid by conspecifics. Finally, we integrate explicit mechanisms of dispersal behaviour in a dynamic model involving a set of interconnected populations. This allows the study of the interplay between collective movements and Allee effects at the scale of the metapopulation.<p><p>Our work is inspired by the lifestyle of the two-spotted spider mite, Tetranychus urticae, a phytophagous pest of recognised agricultural importance. These subsocial mites live in aggregates on the leaf surface, protected by a collectively spun silk web. Experimental evidence suggests that its population dynamics are subject to the Allee effect. Moreover, these mites show a tendency to migrate collectively, which makes them an appropriate biological model. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

On considère des organismes qui mixent reproduction sexuée et asexuée, dans une situation où la reproduction sexuée fait intervenir à la fois de la dispersion spatiale et de la limitation d'appariement. Nous proposons un modèle qui implique deux équations couplées, la première étant une équation différentielle ordinaire de type logistique, la seconde étant une équation de réaction-diffusion. Grâce à des valeurs réalistes des différents coefficients, il s'avère que la deuxième équation fait intervenir une échelle de temps rapide, alors que la première fait intervenir une échelle de temps lente. Dans un premier temps, on montre l'existence et l'unicité de solutions au système original. Dans un second temps, dans la limite où l'échelle de temps rapide est considérée infiniment rapide, on montre la convergence vers une dynamique réduite d'état d'équilibre, dont les termes correctifs peuvent être calculés à tout ordre. Troisièmement, en utilisant des propriétés de monotonie de notre système coopératif, on montre l'existence d'ondes progressives dans une région particulière de l'espace des paramètres (cas monostable). / We consider organisms that mix sexual and asexual reproduction, in a situation where sexual reproduction involves both spatial dispersion and mate finding limitation. We propose a model that involves two coupled equations, the first one being an ordinary differential equation of logistic type, the second one being a reaction diffusion equation. According to realistic values of the various coefficients, the second equation turns out to involve a fast time scale, while the first one involves a separated slow time scale. First we show existence and uniqueness of solutions to the original system. Second, in the limit where the fast time scale is considered infinitely fast, we show the convergence towards a reduced quasi steady state dynamics, whose correctors can be computed at any order. Third, using monotonicity properties of our cooperative system, we show the existence of traveling wave solutions in a particular region of the parameter space (monostable case).