京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第24394号 / 理博第4893号 / 新制||理||1699(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)准教授 小林 佑輔, 教授 牧野 和久, 教授 長谷川 真人 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DGAM

Το πρόβλημα της δίκαιης κατανομής είναι ένα πολύ σημαντικό πρόβλημα που έχει ανακύψει στον τομέα της επιστήμης των υπολογιστών και όχι μόνο. Κάποιες από τις μορφές που έχει εμφανιστεί είναι π.χ. στην κατανομή πόρων σε δίκτυα υπολογιστών, στο διακανονισμό συνόρων σε διεθνείς διαφωνίες, στο οικογενειακό δίκαιο και ως πρόβλημα της μείωσης των εκπομπών αερίων του θερμοκηπίου. Θεωρούμε προβλήματα αναθέσεων στα οποία ένα σύνολο αγαθών είτε αγγαρειών πρέπει να ανατεθεί σε κάποιους παίκτες. Κάθε παίκτης έχει μία συνάρτηση κέρδους (κόστους) που δείχνει πόσο εκτιμά κάθε αγαθό (αγγαρεία, αντίστοιχα) και το κέρδος (κόστος) του παίκτη για κάθε πιθανό σύνολο αντικειμένων προκύπτει αθροιστικά. Στόχος του προβλήματος είναι, φυσικά, η αποδοτικότητα και η δικαιοσύνη της ανάθεσης, περιορισμοί όμως, όπως η εγωιστική συμπεριφορά των παικτών οδηγούν σε πολύ ενδιαφέρουσες παραλλαγές του προβλήματος. Το πρώτο αποτέλεσμα της εργασίας προκύπτει από τη μελέτη του προβλήματος ανάθεσης ενός συνόλου αδιαίρετων αγαθών σε παίκτες όταν μας ενδιαφέρει να μην υπάρχει μεγάλη ζήλεια μεταξύ των παικτών. Αδιαίρετα λέγονται τα αντικείμενα που δεν μπορούν να κοπούν σε κομμάτια και πρέπει να ανατεθούν ακέραια σε κάποιο παίκτη, ενώ ζήλεια, διαισθητικά, είναι η προτίμηση που έχει κάποιος παίκτης για το σύνολο αγαθών που ανατέθηκαν σε κάποιον άλλον σε σχέση με τα αγαθά που ανατέθηκαν στον ίδιο. Όπως έχουμε αναφέρει, στην πράξη οι παίκτες έχουν εγωιστική συμπεριφορά, υπό την έννοια ότι προσπαθούν να μεγιστοποιήσουν το κέρδος τους. Για αυτό το λόγο, μπορεί να αναφέρουν εσφαλμένες συναρτήσεις κέρδους για να πετύχουν μία καλύτερη ανάθεση. Ως ειλικρινής χαρακτηρίζεται ένας μηχανισμός ανάθεσης ο οποίος εγγυάται ότι η ανάθεση των αντικειμένων βασίζεται στις σωστές συναρτήσεις κέρδους των παικτών. Υπό μία έννοια, ένας ειλικρινής μηχανισμός ανάθεσης αναγκάζει τους παίκτες να πουν την αλήθεια για τις συναρτήσεις κέρδους τους, ή αλλιώς, εγγυάται πως το κέρδος ενός παίκτη από την ανάθεση που βασίζεται σε εσφαλμένη συνάρτηση κέρδους δεν είναι μεγαλύτερο από το κέρδος που θα είχε αν η ανάθεση είχε βασιστεί στην πραγματική συνάρτηση κέρδους του, δεδομένου του ότι οι υπόλοιποι παίκτες λένε την αλήθεια. Παρουσιάζουμε μία απλή απόδειξη ότι ειλικρινείς ντετερμινιστικοί μηχανισμοί ανάθεσης δεν ελαχιστοποιούν τη ζήλεια, χαρακτηρίζοντας τέτοιους μηχανισμούς για δύο παίκτες και δύο αντικείμενα. Συγκεκριμένα, στην απόδειξη μας φαίνεται ότι για κάθε τέτοιο ειλικρινή μηχανισμό υπάρχουν στιγμιότυπα για τα οποία η ζήλεια σχεδόν μεγιστοποιείται. Επίσης, παρουσιάζουμε μία ανάλυση για ομοιόμορφα τυχαίες αναθέσεις οι οποίες είναι ειλικρινείς μηχανισμοί κατά μέσο όρο. Τα αποτελέσματα αυτά απλοποιούν και βελτιώνουν προηγούμενα αποτελέσματα των Lipton, Markakis, Mossel και Saberi. Συγκεκριμένα, δείχνουμε ότι η ζήλεια φράσσεται εκ των άνω από την ποσότητα O(a√(m ln n)) με μεγάλη πιθανότητα, όπου a είναι το μέγιστο κέρδος για κάθε αντικείμενο για κάθε παίκτη, n είναι ο αριθμός των παικτών και m ο αριθμός των αντικειμένων. Για την περίπτωση που το κέρδος κάθε παίκτη στο σύνολο των αντικειμένων είναι 1, το φράγμα γίνεται O(√(a ln n)). Στη συνέχεια μελετούμε την επίπτωση της δικαιοσύνης στην αποδοτικότητα των αναθέσεων. Στα ακόλουθα θα θεωρούμε ότι όντως είναι γνωστές οι πραγματικές συναρτήσεις κέρδους των παικτών. Επίσης, θεωρούμε και αναθέσεις αγγαρειών εκτός από αγαθών, καθώς επίσης και αναθέσεις διαιρετών εκτός από αδιαίρετων αντικειμένων. Ασχολούμαστε με τρείς διαφορετικές έννοιες δικαιοσύνης ανάμεσα στους παίκτες, συγκεκριμένα την αναλογικότητα, τη μη ύπαρξη ζήλειας και την ισοτιμία για αναθέσεις διαιρετών και αδιαίρετων αγαθών και αγγαρειών. Γενικά, μία ανάθεση αντικειμένων σε n παίκτες είναι αναλογική εάν σε κάθε παίκτη δίνεται η εντύπωση ότι παίρνει ένα σύνολο αντικειμένων “καλύτερο” από ποσοστό 1/n του συνόλου των αντικειμένων προς ανάθεση. Μία ανάθεση είναι χωρίς-ζήλεια εάν κάε παίκτης προτιμά όσα του έχουν ανατεθεί σε σύγκριση με το τι έχει πάρει οποιοσδήποτε άλλος παίκτης, ενώ μία ανάθεση είναι ισότιμη όταν όλοι οι παίκτες είναι εξ'ίσου ικανοποιημένοι με αυτά που τους έχουν ανατεθεί. Τέλος, μία ανάθεση είναι βέλτιστη εάν μεγιστοποιεί το κέρδος (ελαχιστοποιεί το κόστος, αντίστοιχα) του συνόλου των παικτών, δηλ. κάθε αντικείμενο ανατίθεται σε εκείνον τον παίκτη που το εκτιμά περισσότερο (του κοστίζει λιγότερο, αντίστοιχα). Παρουσιάζουμε μία σειρά αποτελεσμάτων για το κόστος της δικαιοσύνης όσον αφορά σε κάθε μία από τις τρείς έννοιες δικαιοσύνης που αναφέρθηκαν παραπάνω, πάνω σε διαιρετά και αδιαίρετα αντικείμενα αγαθών και αγγαρειών και ποσοτικοποιούμε την απώλεια αποδοτικότητας σε δίκαιες αναθέσεις σε σύγκριση με τις βέλτιστες. Παρουσιάζουμε άνω και κάτω φράγματα για κάθε περίπτωση, τα περισσότερα από τα οποία είτε συμπίπτουν είτε απέχουν κατά σταθερούς πολλαπλασιαστικούς παράγοντες. / Fair division (or fair allocation) dates back to the ancient times and has found applications such as border settlement in international disputes, greenhouse gas emissions reduction, allocation of mineral riches in the ocean bed, inheritance, divorces, etc. In the era of the Internet, it appears regularly in distributed resource allocation and cost sharing in communication networks. We consider allocation problems in which a set of goods or chores has to be allocated among several players. Each player has a utility (disutility) function indicating the happiness (regret) of the player if she is allocated the particular good (chore, respectively); this function is non-negative and additive. The objective of the problem is the efficiency and the fairness of the allocation, but restrictions like the selfish nature of the players lead to very interesting variants of the problem. Our first result stems from the study of the problem where a set of indivisible items has to be allocated to some players and where allocations in which no player envies the bundle of items allocated to the other players too much are considered. Indivisibility implies that an item cannot be broken into parts and must be allocated to a single player, and envy, intuitively implies the preference of a player for the bundle of items allocated to another player compared to that of the items allocated to her. As we stated above, in practice, players are usually selfish in the sense that they aim to increase their benefit, i.e., their total utility on the bundle of items the algorithm allocates to them. In order to do so, they may report false valuations of items to the algorithm (i.e., different than their true utilities). Truthful allocation functions guarantee that the allocation is based on the true utilities of the players. In a sense, a truthful allocation function motivates the players to be truthful, or, put differently, guarantees that the benefit obtained by a player when reporting false valuations on the items is not greater than the benefit she would have obtained by telling the truth, given that the rest of the players are truthful. We present a simple proof that deterministic truthful allocations do not minimize envy by characterizing the truthful mechanisms for two players and two items. Our proof actually shows that for any truthful allocation function, there are instances in which the envy is almost maximized. We also present an improved analysis of uniformly random allocations of m items over n players, which are truthful in expectation. We show that the envy is at most O(a√(mln n)) with high probability, where a is the maximum utility per item over all players and items. For the case where the sum of utilities of each player is 1, we prove a bound of O(√(aln n)). This improves the previous bound of O(√a n^{1/2+e}) for any e>0. We also study the impact of fairness on the efficiency of allocations. For this part of the paper, we assume that the true utility functions of the players are public knowledge. We consider both goods and chores, as well as divisible and indivisible items. Furthermore, we consider three different notions of fairness, namely proportionality, envy-freeness, and equitability. Informally, an allocation among n players is proportional if each player has the impression that she gets a better share than a fraction of 1/n of the items to be allocated. An allocation is envy-free if no player envies some other player, whereas an allocation is equitable when all players are equally happy with their shares. Finally, an allocation is optimal when it maximizes the total utility (minimizes the total disutility, respectively) of the set of players, i.e., each item is allocated to the player that values it the most (costs her the least). We present a series of results on the price of fairness under the three aforementioned different notions of fairness, for the cases of divisible and indivisible goods and chores, and quantify the efficiency loss in fair allocations compared to optimal ones. We present upper and lower bounds on each case, most of which are either exact or tight within constant factors.

In diese Dissertation, betrachte ich das Problem der Aufteilung der unteilbaren Objekte unter Agenten, ihren Vorlieben entsprechend, und die Transfers fehlen. In Kapitel 1 studiere ich den Kompromiss zwischen Fairness und Effizienz in der Klasse der strategy-proof Aufteilungsmechanismen. Das wichtigste Ergebnis ist, dass für die strategy-proof Mechanismen folgende Effizienz- und Fairness-Kriterien nicht miteinander vereinbar sind: (1) Ex-post-Effizienz und Neidfreiheit, (2) Ordnung-Effizienz und schwache Neidfreiheit und (3) Ordnung-Effizienz und gleiche-Teilung-untere-Grenze. In Kapitel 2 ist der Fokus auf zwei Darstellungen einer Zuteilung: als probabilistische Zuordnung und als Lotterie über deterministische Zuordnungen. Um die Gestaltung der praktischen Lotterie-Mechanismen zu erleichtern schlagen wir neue Werkzeuge für den Erhalt der stochastischen Verbesserungen bei Lotterien vor. Als Anwendungen schlagen wir Lotterie Mechanismen, die die weit verbreiteten Random serial dictatorship Mechanismus verbessern, und eine Lotterie-Darstellung seiner Konkurrent, die Probabilistic serial Mechanismus, vor. In Kapitel 3 schlage ich einen neuen Mechanismus vor, der Schüler an Grundschulen zuweist: Adaptive Acceptance (AA). AA sammelt von Neumann-Morgenstern Präferenzen von Studenten über Schulen und implementiert die Zuordnung unter Verwendung eines iterativen Verfahrens, das ähnlich der vorherrschenden Immediate Acceptance (IA) ist. AA verfügt über eine starke Kombination von Anreize und Effizienzeigenschaften im Vergleich zu IA und sein Rivale, Deferred Acceptance (DA). / I consider the problem of allocating indivisible objects among agents according to their preferences when transfers are absent. In Chapter 1, I study the tradeoff between fairness and efficiency in the class of strategy-proof allocation mechanisms. The main finding is that for strategy-proof mechanisms the following efficiency and fairness criteria are mutually incompatible: (1) Ex-post efficiency and envy-freeness, (2) ordinal efficiency and weak envy-freeness and (3) ordinal efficiency and equal division lower bound. In Chapter 2, the focus is on two representations of an allocation when randomization is used: as a probabilistic assignment and as a lottery over deterministic assignments. To help facilitate the design of practical lottery mechanisms, we provide new tools for obtaining stochastic improvements in lotteries. As applications, we propose lottery mechanisms that improve upon the widely-used random serial dictatorship mechanism, and a lottery representation of its competitor, the probabilistic serial mechanism. In Chapter 3, I propose a new mechanism to assign students to primary schools: the Adaptive Acceptance rule (AA). AA collects von Neumann-Morgenstern utilities of students over schools and implements the assignment using an iterative procedure similar to the prevalent Immediate Acceptance rule (IA). AA enjoys a strong combination of incentive and efficiency properties compared to IA and its rival, the Deferred Acceptance rule (DA). In case of strict priorities, AA implements the student-optimal stable matching in dominant strategies, which dominates each equilibrium outcome of IA. In case of no priorities, AA is ex-post efficient while some equilibrium outcomes of IA are not; also, AA causes loss of ex-ante efficiency less often than DA. If, in addition, students have common ordinal preferences, AA is approximately strategy-proof and ex-ante dominates DA.