Ce manuscrit présente des résultats d’analyse mathématique autour de deux exemples de problèmes singuliers d’équations aux dérivées partielles issus de la modélisation. I. Diffusion croisée en dynamique des populations. En dynamique des populations, les systèmes de réaction –diffusion croisée modélisent l’évolution de populations d’espèces en compétition avec un effet répulsif entre les individus. Pour ces systèmes fortement couplés, souvent non linéaires, une question aussi fondamentale que l’existence de solutions se révèle extrêmement complexe. Dans ce manuscrit, on introduit une approche basée sur des extensions récentes de lemmes de dualité et sur des méthodes d’entropie. On démontre l’existence de solutions faibles dans un cadre général de systèmes de réaction-diffusion croisée, ainsi que certaines propriétés qualitatives des solutions. II. Équation de Boltzmann en domaine borné. L’équation de Boltzmann, introduite en 1872, modélise la dynamique des gaz raréfiés hors équilibre. Malgré les nombreux résultats autour de la question de l’existence de solutions fortes proches de l’équilibre, très peu concernent le cas d’un domaine borné, situation pourtant fréquente dans les applications. Une raison de la difficulté du problème est l’irruption des singularités le long des trajectoires rasant le bord du domaine. Dans ce manuscrit, on présente une théorie de la régulation de l’équation de Boltzmann en domaine borné. Grâce à l’introduction d’une distance cinétique qui compense les singularités au bord, on montre des résultats de propagation de normes de Sobolev et de propagation C^1 en domaine convexe. En domaine non convexe, on montre un résultat de propagation de régularité BV. / This manuscript presents results of mathematical analysis concerning two singular problems of partial differential equations coming from the modeling. I. Cross-diffusion in Population dynamics. In Population dynamics, reaction-cross diffusion systems model the evolution of the populations of competing species with a repulsive effect between individuals. For these strongly coupled, often non linear systems, a question as basic as the existence of solutions appears to be extremely complex. In this manuscript, we introduce an approach based on the most recent extensions of duality lemmas and on entropy methods. We prove the existence of weak solutions in a general setting of reaction-cross diffusion systems, as well as some qualitative properties of the solutions. II. Boltzmann equation in bounded domains The Boltzmann equation, introduced in 1872, model the evolution of a rarefied gas out of equilibrium. Despite the numerous results concerning the existence of strong solutions close to equilibrium, very few concern the case of bounded domain, though this situation is very useful in applications. A crucial reason of the difficulty of this problem is the formation of a singularity on the trajectories grazing the boundary. In this manuscript, we present a theory of the regularity of the Boltzmann equation in bounded domains. Thanks to the introduction of a kinetic distance which balances the singularity, we obtain results of propagation of Sobolev norms and C^1 propagation in convex domains. In non convex domains, we obtain the propagation of BV regularity.

L'objet de cette thèse est l'étude de l'asymptotique des collisions rasantes pour les équations de Kac et de Boltzmann ainsi que l'étude de la propagation du chaos pour l'équation de Keller-Segel dans un cadre sous-critique à l'aide d'équations différentielles stochastiques non linéaires. Le premier chapitre est consacré 'a l'équation de Kac avec un potentiel Maxwellien. Nous commençons par donner une vitesse de convergence explicite (que l'on pense être optimale) dans le cadre de l'asymptotique des collisions rasantes. Puis nous approchons la solution de l'équation de Kac dans le cadre général, ce qui nous permet de montrer la propagation du chaos pour un système de particules vers cette dernière de manière quantitative. Dans le deuxième chapitre, nous étudions l'asymptotique des collisions rasantes pour l'équation de Boltzmann avec des potentiels mous et de Coulomb. Nous donnons là encore des vitesses de convergence explicites (mais non optimales).Enfin dans le troisième et dernier chapitre, nous montrons la propagation du chaos pour l'équation de Keller-Segel dans un cadre sous-critique. Pour cela, nous utilisons des arguments de compacité (tension du système de particules)

Dans ce manuscrit, je présente la presque totalité de mes travaux<br />scientifiques depuis ma soutenance de thèse. Au cours de cette<br />période, mon activité de recherche a été double : (i) j'ai pris en<br />charge une nouvelle expérience visant à produire une source<br />continue d'ondes de matière cohérentes, et (ii) j'ai développé des<br />outils analytiques pour cerner la dynamique des gaz d'atomes<br />froids piégés.<br /><br />Dans notre projet expérimental, un jet d'atomes froids et lents<br />mais non dégénéré est couplé à un guide magnétique le long duquel<br />un refroidissement par évaporation est mis en oeuvre. En d'autres<br />termes, nous essayons de transposer les aspects temporels du<br />protocole d'obtention des condensats de Bose Einstein dans le<br />domaine spatial : dans notre montage les atomes sont<br />progressivement refroidis grâce à des zones de refroidissement<br />séparées spatialement. Une telle démarche doit permettre d'obtenir<br />un flux continu d'atomes condensés. Une source de ce type, dont<br />les propriétés sont radicalement différentes de celles d'une<br />source thermique, pourrait constituer un outil de choix pour de<br />nombreuses expériences. Les horlosges atomiques, les<br />interféromètres à ondes de matière, l'holographie atomique ou<br />encore la nanolithographie sont autant de domaines qui peuvent<br />potentiellement bénéficier d'amélioration par l'usage d'une source<br />continue et cohérente d'atomes froids.<br /><br />Dans le premier chapitre, je décris les différentes parties du<br />dispositif expérimental et les premiers résultats que nous avons<br />obtenus. Deux sources d'atomes ont été étudiées pour alimenter<br />efficacement un piège magnéto-optique anisotrope qui sert<br />d'injecteur d'atomes froids dans le guide magnétique : (i) un<br />piège magnéto-optique purement bi-dimensionnel avec des faisceaux<br />de refroidissement d'intensité relativement élevée , et (ii) un<br />ralentisseur à effet Zeeman placé en sortie d'un four effusif à<br />recirculation. Cette dernière source a permis de mesurer un taux<br />de chargement de l'injecteur de $4\times 10^{10}$ atomes par<br />seconde. Le confinement magnétique dans l'injecteur est assuré par<br />un gradient de champ magnétique, alors que le lancement exploite<br />la technique de la mélasse en mouvement. Le guide magnétique, dont<br />l'entrée est placée à quelques centimètres seulement de<br />l'injecteur, procure un gradient de confinement élevé sans altérer<br />aucunement les performances de l'injecteur. Nous avons démontré,<br />et pour la première fois, l'alimentation en continu d'un guide<br />magnétique. Pour optimiser le transfert d'atomes, nous avons<br />étudié différents protocoles de couplage en mode continu comme en<br />mode pulsé. Les caractéristiques de notre jet atomique guidé sont<br />désormais les suivantes : un flux de $7\times 10^9$ atomes par<br />seconde, une température de 400 micro K pour un confinement<br />transverse de 600 Gauss/cm, et une vitesse moyenne de 1 m/s.<br /><br />Le deuxième chapitre est dédié à la physique des collisions au<br />sein du jet d'atomes guidé magnétiquement. Nous présentons tout<br />d'abord une nouvelle technique spectroscopique de mesure de la<br />température du jet. Grâce à deux antennes radio-fréquences<br />disposées le long du guide, nous avons pu mettre le jet dans un<br />état hors d'équilibre, puis suivre le retour à l'équilibre grâce à<br />l'antenne placée en aval. Cette expérience montre le phénomène de<br />thermalisation dans un régime collisionnel dominé par les ondes d.<br />Dans une deuxième série d'expériences, le jet a été ralenti à une<br />vitesse de 60 cm/s grâce à une pente appliquée sur la première<br />partie du guide magnétique. Le taux de collisions relativement<br />élevé a permis d'amorcer le refroidissement par évaporation forcé.<br />Une réduction de la température par un facteur 4 a ainsi été<br />obtenue, correspondant à un gain en densité dans l'espace des<br />phases d'un ordre de grandeur.<br /><br />Le dernier chapitre est consacré au développement de méthodes<br />analytiques pour caractériser la dynamique des gaz piégés. Nous<br />mis au point essentiellement deux outils. Le premier est la<br />méthode dite des moyennes. Il a permis d'étudier les oscillations<br />collectives d'un gaz classique, la mise en rotation d'un gaz par<br />le biais d'une anisotropie tournante, et la dynamique de<br />rethermalisation d'un mélange de gaz d'atomes froids. Cet outil a<br />pu être étendu au cas d'un condensat de Bose Einstein dans le<br />régime de Thomas-Fermi. Il a ainsi été possible d'étudier le mode<br />ciseau. Ce mode d'oscillation pendulaire révèle les propriétés de<br />superfluidité d'un condensat de Bose Einstein. Le deuxième outil<br />que nous avons développé repose sur des solutions approchées par<br />changement d'échelle de l'équation de Boltzmann. Nous avons montré<br />ainsi que les temps de relaxation pertinents pour décrire<br />l'amortissement des oscillations collectives d'un gaz classique<br />piégé, et les expériences de temps de vol sont intimement reliés.<br />Les deux méthodes que nous avons élaborées permettent de décrire<br />également tous les régimes collisionnels, et en particulier la<br />transition d'un régime sans collision à un régime hydrodynamique.<br />L'essentiel de nos prédictions théoriques a été utilisé soit pour<br />analyser, expliquer ou extraire des informations de données<br />expérimentales. Les outils que nous avons développés ont par<br />ailleurs été largement utilisés et adaptés pour traiter des<br />problèmes connexes de notre communauté.

On s'est interesse dans ce travail a l'etude de deux equations cinetiques. La premiere est une equation cinetique quantique homogene decrivant l'effet Compton. Ce phenomene se produit lorsque les photons entrent en collision avec les electrons. Le noyau dans l'integrale de collision presente une forte singularite en l'energie nulle. Un resultat d'existence locale en temps d'une solution entropique au probleme de Cauchy est obtenu pour de petites valeurs initiales. La deuxieme est une equation de Vlasov couplee avec l'equation de Poisson. Le systeme de Vlasov-Poisson modelise les interactions entre plasma et satellite. Plus precisement, on s'interesse au phenomene de charge electrostatique d'un satellite en orbite geostationnaire. Les particules, essentiellement des ions et des electrons, sont décrites suivant une approche cinétique. On considère le cas où la dynamique des ions et des électrons obéit à une équation de Vlasov et où le potentiel est donné par l'équation de Poisson. Le but est d'etudier ce probleme dans un cadre 3D dans tout l'espace. Une methode particulaire pour la resolution de l'equation de Vlasov est couplee a une methode d'elements finis et infinis pour la partie Poisson.

Cette thèse aborde le problème du transport diffusif dans les matériaux multicouches lorsque l'épaisseur des couches est comparable voire plus petit que le libre parcours moyen. Nous présentons un formalisme qui à la fois effectue une synthèse et permet d'aller au delà des divers modèles existants, dérive-diffusion, le modèle Valet-Fert, la méthode des flux ou encore le modèle de Fuchs-Sondheimer. Ce formalisme est applicable à deux types de structures: (i) la géométrie dite CPP (Current Perpendicular to Plane) où le courant moyen est perpendiculaire aux interfaces séparant les couches, et (ii) la géométrie dite CIP (Current In Plane) où le courant moyen est parallèle aux interfaces. Ce nouveau modèle de transport est bâti à partir d'une équation de Boltzmann où les collisions dans les couches et aux interfaces sont représentées par des intégrales de collision linéaires pouvant décrire aussi bien des réflexions spéculaires que des collisions aléatoires non nécessairement isotropes. La résolution de cette équation de Boltzmann pour déterminer les quantités macroscopiques locales d'intérêt se fait en trois étapes : pour chacune des couches, (1) la distribution locale des particules est séparée en deux " chiralités " caractérisés par le signe de la projection du vecteur vitesse de chaque particule le long de l'axe perpendiculaire aux interfaces ; (2) la description locale complète de la distribution angulaire des vitesses pour chaque chiralité est obtenue en développant sur une nouvelle base polynômes orthogonaux adaptée à l'existence de deux chiralités ; (3) pour effectuer la moyenne chirale sur la distribution angulaire des vitesses on définit une troncature minimale de ce développement adaptée aux quantités macroscopiques locales d'intérêt.L'étape (1) est nécessaire afin de pouvoir décrire correctement les collisions d'interfaces, l'étape (3) est usuelle mais l'ingrédient clef de ce formalisme est le point (2) qui seul permet de rendre cohérent les étapes (1) et (3) en présence d'interfaces. Pour la géométrie CPP, ce formalisme " Boltzmann chiral " permet d'unir les systèmes balistique et diffusif sous une même approche macroscopique. En présence de polarisation en spin, ce nouveau formalisme permet d'obtenir entre autre les résistances d'interfaces du modèle Valet-Fert en fonction des coefficients de transmission généralisés associés aux collisions d'interface. Pour les structures CIP, ce modèle permet d'obtenir des expressions analytiques pour les conductivités locales par couche (avec ou sans polarisation en spin) et de plus il rend le lien avec le transport CPP plus transparent. Ce formalisme n'étant pas propre au transport électrique, nous montrons sa versatilité sur une application au transport lumineux en revisitant le problème de Milne pour lequel nous retrouvons un résultat exact de façon beaucoup plus simple. Nous présentons pour terminer une méthode variationnelle fournissant une interprétation intéressante du modèle de Fuchs-Sondheimer.

Ce travail de thèse concerne la modélisation et la simulation des écoulements diphasiques avec changement de phase par des équations cinétiques de type Boltzmann. Ce travail est motivé par deux applications distinctes pour lesquelles la compréhension et l'analyse fine des mécanismes et des dynamiques de changement de phase sont nécessaires. Le premier thème concerne la mise au point de dispositifs passifs de refroidissement diphasiques pour la micro-électronique. Le seconde thématique concerne la formation de dépôts de filtration résultant de l'agrégation de particules colloïdales à la surface d'une membrane dans des procédés de filtration membranaire. Pour les applications de type colloïdal, un modèle à deux fluides est proposé en adaptant des méthodes Boltzmann-sur-Réseau de la littérature pour la résolution de l'écoulement. Enfin, dans une partie plus exploratoire, un méthode de résolution originale de l'équation de Boltzmann-Enskog est proposée afin de traiter des écoulements avec changement de phase en incluant les effets thermiques.

L'objet de cette thèse est l'étude de l'asymptotique des collisions rasantes pour les équations de Kac et de Boltzmann ainsi que l'étude de la propagation du chaos pour l'équation de Keller-Segel dans un cadre sous-critique à l'aide d'équations différentielles stochastiques non linéaires. Le premier chapitre est consacré `a l'équation de Kac avec un potentiel Maxwellien. Nous commençons par donner une vitesse de convergence explicite (que l'on pense être optimale) dans le cadre de l'asymptotique des collisions rasantes. Puis nous approchons la solution de l'équation de Kac dans le cadre général, ce qui nous permet de montrer la propagation du chaos pour un système de particules vers cette dernière de manière quantitative. Dans le deuxième chapitre, nous étudions l'asymptotique des collisions rasantes pour l'équation de Boltzmann avec des potentiels mous et de Coulomb. Nous donnons là encore des vitesses de convergence explicites (mais non optimales).Enfin dans le troisième et dernier chapitre, nous montrons la propagation du chaos pour l'équation de Keller-Segel dans un cadre sous-critique. Pour cela, nous utilisons des arguments de compacité (tension du système de particules) / This thesis is devoted to the study of the asymptotic of grazing collisions for Kac's and Boltzmann's equations and to the study of the chaos propagation for some sub-critical Keller-Segel equation with non-linear Stochastic Differentials Equations. The first chapter is devoted to the Kac equation with a Maxwellian potential. We start by giving an explicit rate of convergence (than we believe to be optimal) for the asymptotic of grazing collisions. Then, we approximate the solution of Kac's equation in the general case, which allows us to show the chaos propagation for some particle system to this last one in a quantitative way. In the second chapter, we study the asymptotic of grazing collisions for the Boltzmann equation with soft and Coulomb potentials. We also give explicit rates of convergence (which are not optimal).Finally in the third and last chapter, we show the chaos propagation for some sub-critical Keller-Segel equation. To this aim, we use compactness arguments (tightness of the particle system)

L'étude des propriétés de transport dans les matériaux magnétiques a débuté dans les années 1950. Le magnétisme intrinsèque à ce type de solide représente une source de diffusion supplémentaire par rapport aux matériaux non-magnétiques qui vient s'ajouter aux phonons et aux impuretés ou défauts cristallins du réseau. L'étude de la diffusion magnétique est plus complexe que les deux précédentes sources diffusives énoncées. Car d'une part l'influence de la diffusion magnétique induit des comportements différents de résistivité dus au matériau, selon que ce dernier est un métal ou un semi-conducteur. D'autre part, le type de magnétisme porté par la structure est également à l'origine de différents comportements de la résistivité magnétique. Dès les années 1950 de nombreux auteurs se sont concentrés sur l'étude des métaux et semi-conducteurs magnétiques. Il résulte des différents travaux que chacune des théories s'applique à un cas particulier et ne peut pas rendre compte de l'ensemble des comportements susceptibles d'être observés expérimentalement. A titre d'exemple, la résistivité des métaux magnétiques présente une évolution monotone fonction de la température (seule la dérivée par rapport à la température présente une singularité), alors que les semi-conducteurs magnétiques présentent un pic à la température critique (Tc), température séparant les phases d'ordre et de désordre magnétique. Ajoutons que les différentes interprétations concernant la diffusion magnétique autour de la température critique est encore un point controversé. Aussi, les théories disponibles à ce jour concernant l'étude du transport dans les matériaux magnétiques doivent être choisies en fonction du matériau étudié (type de structure, métal ou semi-conducteur, type de magnétisme). Une méthode générale, capable de rendre compte de l'ensemble des comportements de la résistivité quelle que soit la nature du solide (métal ou semi-conducteur) et du type de magnétisme fait aujourd'hui cruellement défaut. C'est à ce manque que nous avons souhaité répondre en premier lieu dans le cadre de cette thèse. En effet, le développement spectaculaire de la spintronique repose sur l'utilisation des semi-conducteurs magnétiques qui ne peut faire fi d'une compréhension rigoureuse des mécanismes de diffusion autour de la température critique. Notre démarche a consisté à utiliser la méthode numérique Monte Carlo Métropolis afin d'étudier ce problème sous un angle nouveau. Nous avons ainsi construit un algorithme qui s'applique à un Hamiltonien assez général du système. Grâce à cet Hamiltonien et avec un jeu de paramètres d'entrées appropriées, nous sommes en mesure par le biais de la méthode Monte Carlo Métropolis de reproduire de façon générique les tendances expérimentales présentes dans la littérature pour des semi-conducteurs ferromagnétiques et antiferromagnétiques, frustrés et non-frustrés. Egalement, la méthode permet une étude systématique de matériaux caractérisés expérimentalement avec prise en compte des unités afin de réaliser des comparaisons directes entre nos résultats de simulations et les mesures expérimentales, avec un bon accord de forme et de grandeur, par exemple dans le cas du semi-conducteur magnétique MnTe. Si cette thèse se limite à l'étude de matériaux semi-conducteurs, nos perspectives vont consister à étendre l'étude aux systèmes dilués DMS, très étudiés aujourd'hui, ainsi qu'aux problèmes de diffusion aux interfaces dans les dispositifs GMR, problématique qui soulève actuellement de nombreuses questions. A ce jour notre démarche est unique et semble capable de rendre compte des comportements de résistivité expérimentale en particulier pour le cas des semi-conducteurs, de fournir une nouvelle explication quant à la controverse liée aux mécanismes de diffusion électronique autour de la température critique. Ma contribution à ce travail a consisté à développer, en collaboration avec mon directeur de thèse le Pr. Hung The Diep, un algorithme pour l'étude du transport de spin. Grâce à cet algorithme, j'ai obtenu de nombreux résultats qui ont permis l'interprétation des différents résultats expérimentaux présentés dans ma thèse. Ma contribution principale à ce travail est : - Mise au point d'une méthode Monte Carlo avec des techniques permettant la réduction des fluctuations statistiques des échantillons (multi-step averaging) - Etude des différents types de matériaux ferromagnétiques et antiferromagnétiques non frustrés. Observation des comportements très marquants autour de Tc et à basse T: la dépendance de la forme du pic à Tc dépend de variables physiques bien identifiées (interactions : portée, nature ; temps de relaxation, réseau, ...) - Etude de l'effet de la frustration sur la résistivité. Effet d'une transition du premier ordre sur la résistivité. - Interprétation du comportement de la résistivité utilisant les données numériques notamment en terme de clusters et de temps de relaxation. - Etude quantitative de MnTe et comparaison avec l'expérience : accord parfait. Développons ces points en quelques mots. Le premier point sur lequel je voudrais insister, est l'interprétation nouvelle en ce qui concerne les mécanismes de diffusion à proximité des températures de transition ordre/désordre pour les réseaux non-frustrés. En effet, j'ai mis en évidence lors de ma thèse que la forme du pic de résistivité autour de Tc est une conséquence directe de deux effets liés au magnétisme du réseau. Autour de Tc le réseau percole et présente de larges clusters de spins parallèles (antiparallèles) qui représentent autant de zones de basses (hautes) énergies pour les électrons qui s'y propagent. En addition les spins du réseau subissent un ralentissement critique qui rend l'évolution du paysage magnétique extrêmement lent. Le ralentissement critique des fluctuations des spins du réseau fige le paysage magnétique et permet aux spins itinérants de se localiser dans les clusters parallèles (basses énergies) et d'y être piégés, donnant naissance à un pic de résistivité à Tc. En conséquence nous soulignons que l'étude de transport dans les systèmes magnétiques doit tenir compte du paysage énergétique local du réseau magnétique, ainsi que de la dynamique des fluctuations des spins en fonction de la température (ce dont ne tenaient pas compte les travaux ultérieurs). C'est deux points nous permettent un traitement généralisé de la résistivité dans les systèmes non-frustrés. Quant aux systèmes antiferromagnétiques frustrés, ils se caractérisent par un grand nombre d'états dégénérés (souvent infini pour des spins d'Ising). Cependant, la structure en couches minces du système nous permet de rendre cette dégénérescence finie. Nous mettons premièrement en évidence que la dégénérescence du système induit une transition de résistivité du premier ordre, et que selon l'état dégénéré du système, la résistivité peut présenter deux types de transition : une transition allant des basses résistivités vers les hautes résistivités, dans le sens des températures croissantes, ou inversement. Soulignons que ce type de matériau peut présenter un intérêt dans l'élaboration de système tel que les rams assistées par la chaleur.

Cette thèse aborde le problème du transport diffusif dans les matériaux multicouches lorsque l'épaisseur des couches est comparable voire plus petit que le libre parcours moyen. Nous présentons un formalisme qui à la fois effectue une synthèse et permet d'aller au delà des divers modèles existants, dérive-diffusion, le modèle Valet-Fert, la méthode des flux ou encore le modèle de Fuchs-Sondheimer. Ce formalisme est applicable à deux types de structures: (i) la géométrie dite CPP (Current Perpendicular to Plane) où le courant moyen est perpendiculaire aux interfaces séparant les couches, et (ii) la géométrie dite CIP (Current In Plane) où le courant moyen est parallèle aux interfaces. Ce nouveau modèle de transport est bâti à partir d'une équation de Boltzmann où les collisions dans les couches et aux interfaces sont représentées par des intégrales de collision linéaires pouvant décrire aussi bien des réflexions spéculaires que des collisions aléatoires non nécessairement isotropes. La résolution de cette équation de Boltzmann pour déterminer les quantités macroscopiques locales d'intérêt se fait en trois étapes : pour chacune des couches, (1) la distribution locale des particules est séparée en deux « chiralités » caractérisés par le signe de la projection du vecteur vitesse de chaque particule le long de l'axe perpendiculaire aux interfaces ; (2) la description locale complète de la distribution angulaire des vitesses pour chaque chiralité est obtenue en développant sur une nouvelle base polynômes orthogonaux adaptée à l'existence de deux chiralités ; (3) pour effectuer la moyenne chirale sur la distribution angulaire des vitesses on définit une troncature minimale de ce développement adaptée aux quantités macroscopiques locales d'intérêt.L’étape (1) est nécessaire afin de pouvoir décrire correctement les collisions d'interfaces, l'étape (3) est usuelle mais l'ingrédient clef de ce formalisme est le point (2) qui seul permet de rendre cohérent les étapes (1) et (3) en présence d'interfaces. Pour la géométrie CPP, ce formalisme « Boltzmann chiral » permet d'unir les systèmes balistique et diffusif sous une même approche macroscopique. En présence de polarisation en spin, ce nouveau formalisme permet d'obtenir entre autre les résistances d'interfaces du modèle Valet-Fert en fonction des coefficients de transmission généralisés associés aux collisions d'interface. Pour les structures CIP, ce modèle permet d'obtenir des expressions analytiques pour les conductivités locales par couche (avec ou sans polarisation en spin) et de plus il rend le lien avec le transport CPP plus transparent. Ce formalisme n'étant pas propre au transport électrique, nous montrons sa versatilité sur une application au transport lumineux en revisitant le problème de Milne pour lequel nous retrouvons un résultat exact de façon beaucoup plus simple. Nous présentons pour terminer une méthode variationnelle fournissant une interprétation intéressante du modèle de Fuchs-Sondheimer. / This thesis addresses the problem of diffusive transport in multilayer systems when the layers thickness is of the order of or even smaller than the mean free path. We present a formalism which enables to synthetize and to go beyond various the standard models (drift-diffusion, Valet-Fert model, flux method or Fuchs-Sondheimer model). This formalism applies to two kinds of structures: (i) the so called CPP geometry (Current Perpendicular to Plane) where the mean transport current is perpendicular to the interfaces separating the layers, and (ii) the so called CIP (Current in Plane) geometry in which the mean transport current is parallel to interfaces. This new model of transport is build on the Boltzmann transport equation in which the scattering in the layer or at interfaces is represented by linear collision integrals that can describe specular and random scattering not necessarily isotropic. The resolution of this Boltzmann equation to obtain macroscopic quantities of interest is done in three steps for each layer: (1) the particle distribution is splitted into two “chiralities” characterized by the sign of the projection of the velocity vector of each particle along the axis perpendicular to interfaces; (2) the local description of the complete angular velocity distribution for each chirality is obtained by an expansion over a new orthogonal polynomial basis adapted to the existence of two chiralities; (3) to compute the chiral mean of the angular velocity distribution we define a minimal troncated expansion adapted to the local physical quantities of interest. Step (1) is necessary to describe correctly the interface scattering, step (3) is usual but the key ingredient of our formalism is step (2) which solely allows a coherent description of step (1) and (3) in the presence of interfaces. For spin polarized systems this novel formalism allows, among other things, to express the boundaries resistances of the Valet-Fert model in terms of generalized transmission coefficients associated to scattering at interfaces. For CIP structures, with this new approach we obtain explicit analytical expressions for the local conductivity of each layer (with or without spin polarisation) and we make the link with CPP transport more transparent. This novel formalism is not specific to electrical transport, to show its versatility we present an application to transport of light by revisiting the Milne problem for which we can recover certain exact result in a much simpler way. At last, we present a variational method which gives some interesting interpretation of the Fuchs-Sondheimer model.

Cette thèse aborde le problème de l'interaction gaz/paroi et des conditions aux limites en écoulement de gaz raréfié. Les écoulements dans les microsystèmes et les écoulements autour des engins spatiaux en rentrée atmosphérique ont démontré l'insuffisance des concepts utilisés dans la formulation des conditions aux limites hydrodynamiques existantes. Dans ce travail, nous avons élaboré, dans un premier temps, des modèles<br />de conditions aux limites cinétiques, en développant de manière originale la théorie de " scattering kernel " bien connue dans le domaine de la recherche de conditions aux limites pour l'équation de Boltzmann. Ces modèles sont développés d'une part pour un gaz monoatomique et d'autre part pour un gaz de molécules complexes. Les démonstrations font appel à des formulations intégrales et à une description basée sur la théorie des opérateurs. Elles introduisent la notion de coefficient d'accommodation<br />propre à chaque degré de liberté. Dans un deuxième temps nous avons utilisé ces conditions aux limites<br />cinétiques pour établir des conditions aux limites hydrodynamiques : saut de température<br />- glissement de vitesse. Nous abordons également le problème de la couche limite cinétique (couche de Knudsen) et de la prédiction du flux de chaleur à la paroi. Finalement ces conditions aux limites sont utilisées pour les calculs de coefficients aérodynamiques et de quelques types d'écoulements particuliers. Les résultats sont comparés à ceux donnés par d'autres modèles, ainsi qu'aux résultats expérimentaux.