Dans certaines situations il devient nécessaire de traiter les séries chronologiques à valeurs entières. Au premier regard, l'analyse de telle série peut présenter quelques difficultés, notamment si l'analyse est basée sur quelques modèles stochastiques. Ces modèles doivent refléter la particularité entière de la série observée. De nombreuses tentatives ont été faites pour définir des modèles qui peuvent être utilisés pour décrire les séries chronologiques à valeurs entières. La plupart des modèles proposés sont basés sur l'opérateur d'amincissement et possèdent les mêmes propriétés que les modèles à valeurs réelles bien-connus dans la littérature. L'objectif de cette thèse est d'étudier les modèles auto-régressifs à valeurs entières. Nous introduisons une nouvelle classe de modèles basés sur l'opérateur d'arrondi. Par rapport aux modèles existants, la nouvelle classe a plusieurs avantages: structure d'innovation simple, coefficients de régression avec des signes arbitraires, valeurs négatives possibles pour la série chronologiques et pour la fonction d'auto-corrélation. Nous étudions la stationnarité des modèles et la consistance forte de l'estimateur des moindres carrés proposé pour estimer les paramètres. Nous analysons quelques séries chronologiques à valeurs entières bien-connues avec les modèles introduits.

Nous concentrons notre intérêt sur l'Équation du Bilan de la Population (PBE). Cette équation décrit l'évolution, au fil du temps, des systèmes de particules en fonction de sa fonction de densité en nombre (NDF) où des processus d'agrégation et de rupture sont impliqués. Dans la première partie, nous avons étudié la formation de groupes de particules et l'importance relative des variables dans la formation des ces groupes en utilisant les données dans (Vlieghe 2014) et des techniques exploratoires comme l'analyse en composantes principales, le partitionnement de données et l'analyse discriminante. Nous avons utilisé ce schéma d'analyse pour la population initiale de particules ainsi que pour les populations résultantes sous différentes conditions hydrodynamiques. La deuxième partie nous avons étudié l'utilisation de la PBE en fonction des moments standard de la NDF, et les méthodes en quadrature des moments (QMOM) et l'Extrapolation Minimale Généralisée (GME), afin de récupérer l'évolution, d'un ensemble fini de moments standard de la NDF. La méthode QMOM utilise une application de l'algorithme Produit- Différence et GME récupère une mesure discrète non-négative, étant donnée un ensemble fini de ses moments standard. Dans la troisième partie, nous avons proposé un schéma de discrétisation afin de trouver une approximation numérique de la solution de la PBE. Nous avons utilisé trois cas où la solution analytique est connue (Silva et al. 2011) afin de comparer la solution théorique à l'approximation trouvée avec le schéma de discrétisation. La dernière partie concerne l'estimation des paramètres impliqués dans la modélisation des processus d'agrégation et de rupture impliqués dans la PBE. Nous avons proposé une méthode pour estimer ces paramètres en utilisant l'approximation numérique trouvée, ainsi que le Filtre Étendu de Kalman. La méthode estime interactivement les paramètres à chaque instant du temps, en utilisant un estimateur de Moindres Carrés non-linéaire. / We center our interest in the Population Balance Equation (PBE). This equation describes the time evolution of systems of colloidal particles in terms of its number density function (NDF) where processes of aggregation and breakage are involved. In the first part, we investigated the formation of groups of particles using the available variables and the relative importance of these variables in the formation of the groups. We use data in (Vlieghe 2014) and exploratory techniques like principal component analysis, cluster analysis and discriminant analysis. We used this scheme of analysis for the initial population of particles as well as in the resulting populations under different hydrodynamics conditions. In the second part we studied the use of the PBE in terms of the moments of the NDF, and the Quadrature Method of Moments (QMOM) and the Generalized Minimal Extrapolation (GME), in order to recover the time evolution of a finite set of standard moments of the NDF. The QMOM methods uses an application of the Product-Difference algorithm and GME recovers a discrete non-negative measure given a finite set of its standard moments. In the third part, we proposed an discretization scheme in order to find a numerical approximation to the solution of the PBE. We used three cases where the analytical solution is known (Silva et al. 2011) in order to compare the theoretical solution to the approximation found with the discretization scheme. In the last part, we proposed a method for estimate the parameters involved in the modelization of aggregation and breakage processes in PBE. The method uses the numerical approximation found, as well as the Extended Kalman Filter. The method estimates iteratively the parameters at each time, using an non- linear Least Square Estimator.

La randomisation mendélienne est une méthode d’instrumentation utilisant des instruments de nature génétique afin d’estimer, via par exemple la régression des moindres carrés en deux étapes, une relation de causalité entre un facteur d’exposition et une réponse lorsque celle-ci est confondue par une ou plusieurs variables de confusion non mesurées. La randomisation mendélienne est en mesure de gérer le biais de confusion à condition que les instruments utilisés soient valides, c’est-à-dire qu’ils respectent trois hypothèses clés. On peut généralement se convaincre que deux des trois hypothèses sont satisfaites alors qu’un phénomène génétique, la pléiotropie, peut parfois rendre la troisième hypothèse invalide. En présence d’invalidité, l’estimation de l’effet causal de l’exposition sur la réponse peut être sévèrement biaisée. Afin d’évaluer la potentielle présence d’invalidité lorsqu’un seul instrument est utilisé, Glymour et al. (2012) ont proposé une méthode qu’on dénomme ici l’approche de la différence simple qui utilise le signe de la différence entre l’estimateur des moindres carrés ordinaires de la réponse sur l’exposition et l’estimateur des moindres carrés en deux étapes calculé à partir de l’instrument pour juger de l’invalidité de l’instrument. Ce mémoire introduit trois méthodes qui s’inspirent de cette approche, mais qui sont applicables à la randomisation mendélienne à instruments multiples. D’abord, on introduit l’approche de la différence globale, une simple généralisation de l’approche de la différence simple au cas des instruments multiples qui a comme objectif de détecter si un ou plusieurs instruments utilisés sont invalides. Ensuite, on introduit les approches des différences individuelles et des différences groupées, deux méthodes qui généralisent les outils de détection de l’invalidité de l’approche de la différence simple afin d’identifier des instruments potentiellement problématiques et proposent une nouvelle estimation de l’effet causal de l’exposition sur la réponse. L’évaluation des méthodes passe par une étude théorique de l’impact de l’invalidité sur la convergence des estimateurs des moindres carrés ordinaires et des moindres carrés en deux étapes et une simulation qui compare la précision des estimateurs résultant des différentes méthodes et leur capacité à détecter l’invalidité des instruments. / Mendelian randomization is an instrumentation method that uses genetic instruments to estimate, via two-stage least squares regression for example, a causal relationship between an exposure and an outcome when the relationship is confounded by one or more unmeasured confounders. Mendelian randomization can handle confounding bias provided that the instruments are valid, i.e., that they meet three key assumptions. While two of the three assumptions can usually be satisfied, the third assumption is often invalidated by a genetic phenomenon called pleiotropy. In the presence of invalid instruments, the estimate of the causal effect of exposure on the outcome may be severely biased. To assess the potential presence of an invalid instrument in single-instrument studies, Glymour et al. (2012) proposed a method, hereinafter referred to as the simple difference approach, which uses the sign of the difference between the ordinary least squares estimator of the outcome on the exposure and the two-stage least squares estimator calculated using the instrument. Based on this approach, we introduce three methods applicable to Mendelian randomization with multiple instruments. The first method is the global difference approach and corresponds to a simple generalization of the simple difference approach to the case of multiple instruments that aims to detect whether one or more instruments are invalid. Next, we introduce the individual differences and the grouped differences approaches, two methods that generalize the simple difference approach to identify potentially invalid instruments and provide new estimates of the causal effect of the exposure on the outcome. The methods are evaluated using a theoretical investigation of the impact that invalid instruments have on the convergence of the ordinary least squares and two-stage least squares estimators as well as with a simulation study that compares the accuracy of the respective estimators and the ability of the corresponding methods to detect invalid instruments.