Orientador: Sérgio Roberto Nobre / Banca: Alice Kimie Miwa Libardi / Banca: Carlos Roberto de Moraes / Resumo: Esta dissertação tem por objetivo trabalhar Topologia no Ensino Médio, usando como recurso pedagógico, a História da Matemática. Iniciaremos com o trabalho de Euler sobre as pontes de Königsberg, pois é com ele que se dá início as pesquisas neste ramo científico da Matemática. Em seguida resgataremos a descoberta de Euler acerca da "propriedade geral dos sólidos limitados por faces planas", conhecida hoje como relação de Euler. Seu trabalho, intitulado "Demonstratio nonnullarum insignium proprieatatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita", surgiu do incômodo de demonstrar que existia uma propriedade geral para os sólidos limitados por faces planas, uma vez que a propriedade geral para os polígonos já era conhecida. Também iremos trabalhar com as obras de Cauchy e Lhuilier que contribuíram enormemente com a evolução da propriedade citada por Euler. Para encerrar, destacaremos algumas observações sobre a Característica de Euler, assunto que se desenvolveu a partir da preocupação deste e que hoje faz parte da Topologia Algébrica. / Abstract: This dissertation aims to work topology in high school using as a teaching resource the History of Mathematics. We will start with Euler's work about the bridges of Königsberg, is with them that begins the research in this scientific branch of Mathematics. After that, we will redeem Euler's discovery about the " general property of the solids bounded by flat faces", known today as Euler's relation. His work, entitled " Demonstratio nonnullarum Insignium proprieatatum, quibus solida sunt hedras planis included praedita" arose from the inconvenience of demonstrate that there was a general property for solid bounded by flat faces since the general property for the polygons was already known. We will also work with Cauchy and Lhuilier's works, which contributed a lot of the evolution of property mentioned by Euler. As closing, we will detach some observations about Euler's Characteristic, a subject that was develop from Euler's concerns and now is part of Algebraic Topology. / Mestre

Orientador: Alice Kimie Miwa Libardi / Banca: Suzinei Aparecida Siqueira Marconato / Banca: Karina Schiabel Silva / Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar uma demonstração combinatória dos teore- mas de Índice de Poincaré, a saber: "Sejam D um disco e γ seu bordo. Seja V um campo vetorial contínuo sobre D com pontos críticos isolados P1, P2, . . . , Pn pertencentes ao interior de D. Se V nunca se anula em γ, então W(γ) = I(P1) + I(P2) + . . . + I(Pn), onde I(Pi) é o índice do ponto crítico Pi e W(γ) o número de voltas de V sobre γ." "Seja V um campo vetorial tangente contínuo sobre uma superfície compacta, co- nexa e orientável S. Então a soma dos índices dos pontos críticos de V é igual à característica de Euler de S." / Abstract: bstract In this work we present a combinatorial proof for the Poincaré index theorems. "Let V be a continuous vector field. Let D be a cell and γ its boundary. Supposing that V is not zero on γ, then W(γ) = I(P1) + I(P2) + . . . + I(Pn) where P1, P2, . . . , Pn are the critical points of V inside D, I(Pi) is the index of Pi, and W(γ) is the winding number of V on γ." "Let V be a continuous tangent vector field on a compact, connected, orientable surface S. Then the sum of the indexes of the critical points of V equals the Euler characteristic of S." / Mestre