Riskanalys handlar i stora drag om att studera förekomsten och konsekvenserna av särskilda händelser. Av särskild vikt är de så kallade \emph{extrema} händelserna; de som sällan inträffar, men medför påtagliga konsekvenser när det väl sker. Studiet av extremer innebär att undersöka svansar och kvantiler för den bakomliggande fördelningen; något som i praktiken visat sig svårt då deras sällsynta natur innebär att vanliga skattningsmetoder ofta är otillräckliga. Målet att bättre modellera och analysera dessa fenomen är vad som lett till utvecklingen av \emph{extremvärdesteorin}. Inom finans används det kvantilbaserade riskmåttet \emph{value at risk (VaR)}, vilket för en aktie eller portfölj anger den förlust som under en viss tidsperiod överskrids med viss sannolikhet. I denna uppsats så ger vi en introduktion till extremvärdesanalysen, och demonstrerar hur denna teori kan användas för att beräkna VaR genom att konstruera en kombinerad GARCH-EVT modell. Modellen appliceras på två olika aktiekurser, tillsammans med andra jämförelsemodeller, och utvärderas sedan med backtesting. Resultatet visar att modellen innebär en klar förbättring gentemot övriga jämförelsemodeller.

Grundvatten och dess varierande nivåer kan potentiellt få en stor inverkan både på byggnaderoch dess omgivning och kan innebära risker som upplyftande krafter, skred och ras. Baseratpå detta är det av vikt att kunna förutsäga extrema grundvattennivåer, kallat dimensionerandegrundvattennivåer. Däremot görs sällan mätningar under en längre tid, vilket krävs för att fastställasannolikheten av en viss grundvattennivå. För att kunna prognostisera den dimensionerandegrundvattennivån har den så kallade Chalmersmodellen utvecklats. Modellen utgår från attsätta korta mätningar från ett grundvattenrör vid en observationsplats (observationsrör) i relation till en lång mätserie från ett grundvattenrör vid en referensplats (referensrör). Enligtmetoden ska val av referensrör baseras på att det är likartade förhållanden mellan de två platserna, att de ligger inom 50 km från varandra och att mätningar i referensröret utförts i mer än 20 år. Denna studie syftar att utreda med vilken tillförlitlighet som Chalmersmodellen kan prognostisera grundvattennivåer som kan förekomma inom en viss återkomsttid. Fokus är på hur valet av referensrör som är placerade vid olikartade hydrogeologiska förhållanden påverkar Chalmersmodellens resultat. Studien utförs som en fallstudie, med utgångspunkt i utbyggnaden av tunnelbanan i Stockholm vid Sockenplan och Station Sofia. Utgångspunkten i Chalmersmodellen är att använda grundvattennivåmätningar från observationsplatsen tillsammans med mätningar från en ostörd miljö vid en referensplats. Beräkningar görs genom att utföra databehandling och beräkningar i Python i enlighet med beskrivningar från Chalmersmodellen och utvärderas genom att jämföras mot en liknande metod kallad extremvärdesanalys. Karakterisering av platserna vid observationsrören och referensrören används för att utvärdera hur stor inverkan olika hydrogeologiska egenskaper (akvifertyp och topografiskt läge) har på beräkningarna av den dimensionerande grundvattennivån. Resultaten visar att Chalmersmodellen generellt underskattar dimensionerande grundvattennivåer. Modellen har även varierande storleksordning av noggrannheten och därmed är det svårt att fastställa förväntad noggrannhet med Chalmersmodellen. Studien visar även att om observationsrör och referensrör är placerade vid en sluten akvifer kan en högre tillförlitlighet förväntas och osäkerheten i tillförlitligheten tycks öka för öppna akviferer. Slutligen om referensrör och observationsrör väljs utifrån att likartade hydrogeologiska egenskaper och samvariation mellan respektive grundvattennivåer, kan högre precision förväntas enligt denna studie. / Groundwater can potentially have a great impact on both constructions and the surrounding areas, and high groundwater levels can involve risks such as uplifting forces and landslide. Due to these risks it is important to predict and estimate the probability of extreme groundwater levels. However, when the necessary long term measurements are not available alternative methods are needed, like the Chalmers model. The Chalmers model is used for calculating extreme ground water levels, by combining a short measurement series from an observation well with the data from a reference well. For the results to be as accurate as possible, the two wells must share similar characteristics. The aim of this study is to investigate the Chalmers model when predicting the groundwater level for a specific return period. Focus will be on how the choice of different reference wells, with different characteristics, will influence the accuracy of the model.  A case study will be conducted on two station sites (Sockenplan and Station Sofia) for the extension of the metro in the southern part of Stockholm, Sweden, upon which the Chalmer model will be implemented. The different characteristics of the obeservation and reference wells are tested to evaluate the accuracy of the model. The accuracy will be evaluated by using extreme value analysis as an alternative calculation model, assumed to be more precise, and compare the difference in extreme groundwater levels. The measurements used as reference in the Chalmers model are public data from The Geological Survey of Sweden, SGU, for groundwater levels. Data processing and calculations are performed in python. This study highlights the difficulties in determining the accuracy of the Chalmers model when predicting extreme groundwater levels, and no specific expected accuracy has been determined. Generally, the model appears to underestimate extreme grounwater levels. Furthermore, if the observation well and reference well are located by a confined aquifer and between inflow- and outflow areas, a higher precision can be expected. The uncertainty of the model increases with an unconfined aquifer. The results also imply that if the reference well and the observation well are selected based on similar hydrogeological characteristics, a covariation of groundwater levels over time and between highest and lowest level, a higher accuracy can be expected.

This work were requested by Uddeholms AB. Uddeholm is the worldś leading manufacturer of high performance tool steel for industrial tools. The company exists worldwide and is present in over 100 countries. One of the company’s main production processes is manufacturing powder steels with extremely high quality. In this work, one of these steels has been analyzed to evaluate the presence and distribution of non-metallic inclusions. Higher demands on quality and more global competition worldwide means that you always have to strive towards perfection in the manufacturing processes. Non-metallic inclusions have severe effects on the mechanical properties of steels. That's why it's of utmost importance to investigate their presence in the tool steel and especially their size. The reason for this is because it's the largest inclusions that's the most dangerous for the material. To obtain a statistically number of certainty of the largest of inclusions, very vast areas of steel have to be examined. Therefore a theoretical method of extrapolation is often used instead to approximate the distribution of the largest inclusions. The precision of this method is still very uncertain. Different methods of this kind of analysis do exist. The method applied in this work of degree is extreme values analysis by statistics of extreme values (SEV). To ensure the pre-conditions of the extreme values analysis, a large quantity of powder steel was analyzed. This was done by light-optic microscopy (LOM) and exclusively performed by Uddeholms AB at their R&D-facility (Research and development-facility) in Hagfors. At Karlstad Universityś test-facility specimens were subjected to ultrasonic fatigue testing at 20 kHz. The specimens derived from the same material as the ones examined in LOM. The result from the ultrasonic fatigue testing were that the largest inclusions in the material were found. This was done by applying very high cycle fatigue (VHCF). To calculate the maximum theoretical inclusion size, SEV was used. The extreme values analysis was performed on gathered data from both LOM and VHCF. All fracture surfaces from the ultrasonic fatigue testing were then examined in scanning electron microscope (SEM) at Karlstad University. In SEM, the largest inclusion in every fractured surface was identified and measured. The maximum real inclusion size from the fractured surfaces was then compared to the maximum theoretically calculated inclusion size from the extreme values analysis. As it turned out the real inclusion size proved to be slightly larger than the theoretical. The difference between them was found to be 3,25 µm. Conclusions drawn were that Uddeholms powder steel exhibits very high purity and that extreme values analysis as an analytical method is recommended. However, the analysis should be repeated to underline the chosen solution methodology.