Universiẗat, Diss.--Paderborn, 1985.

Clustering is the unsupervised classification of patterns into groups, which is easy provided the data of patterns are consistent. However, real data are almost always tempered with inconsistencies, which make it a hard problem, and actually, the most widely studied formulations, correlation clustering and hierarchical clustering, are both NP-hard. In the graph representation of data, inconsistencies also frequently present themselves as cycles, also called deadlocks, and to break cycles by removing vertices is the objective of the classical feedback vertex set (FVS) problem. This dissertation studies the three problems, correlation clustering, hierarchical clustering, and disjoint-FVS (a variation of FVS), from a kernelization approach. A kernelization algorithm in polynomial time reduces a problem instance provably to speed up the further processing with other approaches. For each of the problems studied, an efficient kernelization algorithm of linear or sub-quadratic running time is presented. All the kernels obtained in this dissertation have linear size with very small constants. Better parameterized algorithms are also designed based on the kernels for the last two problems. Finally, some concluding remarks on possible directions for future research are briefly mentioned.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(情報学) / 甲第21393号 / 情博第679号 / 新制||情||117(附属図書館) / 京都大学大学院情報学研究科知能情報学専攻 / (主査)教授 阿久津 達也, 教授 山本 章博, 教授 鹿島 久嗣 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Informatics / Kyoto University / DFAM

Integer Programming (IP) is a powerful and widely-used formulation for combinatorial problems. The study of IP over the past several decades has led to fascinating theoretical developments, and has improved our ability to solve discrete optimization problems arising in practice. This thesis makes progress on algorithmic solutions for IP by building on combinatorial, geometric and Linear Programming (LP) approaches. We use a combinatorial approach to give an approximation algorithm for the feedback vertex set problem (FVS) in a recently developed Implicit Hitting Set framework. Our algorithm is a simple online algorithm which finds a nearly optimal FVS in random graphs. We also propose a planted model for FVS and show that an optimal hitting set for a polynomial number of subsets is sufficient to recover the planted subset. Next, we present an unexplored geometric connection between integer feasibility and the classical notion of discrepancy of matrices. We exploit this connection to show a phase transition from infeasibility to feasibility in random IP instances. A recent algorithm for small discrepancy solutions leads to an efficient algorithm to find an integer point for random IP instances that are feasible with high probability. Finally, we give a provably efficient implementation of a cutting-plane algorithm for perfect matchings. In our algorithm, cuts separating the current optimum are easy to derive while a small LP is solved to identify the cuts that are to be retained for later iterations. Our result gives a rigorous theoretical explanation for the practical efficiency of the cutting plane approach for perfect matching evident from implementations. In summary, this thesis contributes to new models and connections, new algorithms and rigorous analysis of well-known approaches for IP.

Dans la nature existent de nombreux exemples de systèmes dynamiques complexes: systèmes neuronaux, communautés, écosystèmes, réseaux de régulation génétiques, etc. Ces derniers, en particulier, sont de notre intérêt et sont souvent modélisés par des réseaux booléens. Un réseau booléenne peut être considérée comme un digraphe, où les sommets correspondent à des gènes ou de produits de gènes, tandis que les arcs indiquent les interactions entre eux. Une niveau d'expression des gènes est modélisé par des valeurs binaires, 0 ou 1, indiquant deux états de la transcription, soit activité, soit inactivité, respectivement, et ce niveau change dans le temps selon certains fonction locaux d'activation qui dépend des états d'un ensemble de nœuds (les gènes). L'effet conjoint des fonctions d'activation locale définit une fonction de transition globale: ainsi, le autre élément nécessaire dans la description du modèle est fonction de mise à jour, qui détermine quand chaque nœud doit être mis à jour, et donc, comme les fonctions local se combinent dans une fonction globale (en d'autres termes, il doit décrire les temps relative de les activités régulatoires). Comme un réseau booléen avec n sommets a 2 ^ n états globaux, à partir d'un état ​​de départ, et dans un nombre fini de mises à jour, le réseau atteindra un fixe point ou un cycle limite, appelée attracteurs qui sont souvent associées à des phénotypes distincts (états-cellulaire) définis par les patrons d'activité des gènes. Un réseau de régulation Booléenne (REBN) est un réseau Booléen où chaque interaction entre les éléments de la réseau correspond soit à une interaction positif ou d'une interaction négative. Ainsi, le digraphe interaction associée à une REBN est un digraphe signé où un circuit est appelé positif (négatif) si le nombre de ses arcs négative est pair (impair). Dans ce contexte, il y a diverses études sur l'importance du les circuits positif et négatifs dans le comportement dynamique de différents systèmes en Biologie. En effet le point de départ de cette thèse est basée sur un résultat en disant que le nombre maximal de points fixes d'une REBN dépend d'un ensemble de cardinalité minimale qu'intersecte tous les cycles positifs (également dénommés positive feedback vertex set) du digraphe signé associé. D'autre part, un autre aspect important de circuits est leur rôle dans la robustesse des réseaux booléens par rapport différents types de mise à jour déterministe. Dans ce contexte, un élément clé mathématique est le update digraphe qui est un digraphe étiqueté associé à la réseau dont les étiquettes sur les arcs sont définies comme suit: un arc (u,v) est dit être positif si l'état de sommet u est mis à jour en même temps ou après que celle de v, et négative sinon. Ainsi, un cycle dans le digraphe étiqueté est dite positive (négative) si tous ses arcs sont positifs (négatifs). Cela laisse en évidence que parler de "positif" et "négatif" a des significations différentes selon le contex: digraphes signé ou digraphes étiquetés. Ainsi, nous allons voir dans cette thèse, les relations entre les feedback sets et la dynamique des réseaux Booléens à travers l'étude analytique de ces deux fondamentaux objets mathématiques: le digraphe (de connexion) signé et l'update digraphe. / In the nature there exist numerous examples of complex dynamical systems: neural systems, communities, ecosystems, genetic regulatory networks, etc. These latest, in particular are of our interest and are often modeled by Boolean networks. A Boolean network can be viewed as a digraph, where the vertices correspond to genes or gene products, while the arcs denote interactions among them. A gene expression level is modeled by binary values, 0 or 1, indicating two transcriptional states, either active or inactive, respectively, and this level changes in time according to some local activation function which depends on the states of a set of nodes (genes). The joint effect of the local activation functions defines a global transition function; thus, the other element required in the description of the model is an update schedule which determines when each node has to be updated, and hence, how the local functions combine into the global one (in other words, it must describe the relative timings of the regulatory activities). Since a Boolean network with n vertices has 2^n global states, from a starting state, within a finite number of udpates, the network will reach a fixed point or a limit cycle, called attractors that are often associated to distinct phenotypes (cellular states) defined by patterns of gene activity. A regulatory Boolean network (REBN) is a Boolean network where each interaction between the elements of the network corresponds either to a positive or to a negative interaction. Thus, the interaction digraph associated to a REBN is a signed digraph where a circuit is called positive (negative) if the number of its negative arcs is even (odd). In this context, there are diverse studies about the importance of the positive and negative circuits in the dynamical behavior of different systems in Biology. Indeed the starting point of this Thesis is based on a result saying that the maximum number of fixed points of a REBN depends on a minimum cardinality vertex set whose elements intersects to all the positive cycles (also named a positive feedback vertex set) of the associated signed digraph. On the other hand, another important aspect of circuits is their role in the robustness of Boolean networks with respect to different deterministic update schedules. In this context a key mathematical element is the update digraph which is a labeled digraph associated to the network and whose labels on the arcs are defined as follows: an arc (u,v) is said to be positive if the state of vertex u is updated at the same time or after than that of v, and negative otherwise. Hence, a cycle in the labeled digraph is called positive (negative) if all its arcs are positive (negative). This leaves in evidence that talk of "positive" and "negative" has different meanings depending on the contex: signed digraphs or labeled digraphs. Thus, we will see in this thesis, relationships between feedback sets and the dynamics of Boolean networks through the analytical study of these two fundamental mathematical objects: the signed (connection) digraph and the update digraph.

Durant ces dernières décennies, d'importants efforts et beaucoup de café ont été dépensés en vue de caractériser les instances faciles des problèmes NP-difficiles. Dans ce domaine de recherche, une approche s'avère être redoutablement efficace : la théorie de la complexité paramétrée introduite par Downey et Fellows dans les années 90.Dans cette théorie, la complexité d'un problème n'est plus mesurée uniquement en fonction de la taille de l'instance, mais aussi en fonction d'un paramètre .Dans cette boite à outils, la largeur arborescente est sans nul doute un des paramètres de graphe les plus étudiés.Ce paramètre mesure à quel point un graphe est proche de la structure topologique d'un arbre.La largeur arborescente a de nombreuses propriétés algorithmiques et structurelles.Néanmoins, malgré l'immense intérêt suscité par la largeur arborescente, seules les classes de graphes peu denses peuvent avoir une largeur arborescente bornée.Mais, de nombreux problèmes NP-difficiles s'avèrent faciles dans des classes de graphes denses.La plupart du temps, cela peut s'expliquer par l'aptitude de ces graphes à se décomposer récursivement en bipartitions de sommets $(A,B)$ où le voisinage entre $A$ et $B$ possède une structure simple.De nombreux paramètres -- appelés largeurs -- ont été introduits pour caractériser cette aptitude, les plus remarquables sont certainement la largeur de clique , la largeur de rang , la largeur booléenne et la largeur de couplage induit .Dans cette thèse, nous étudions les propriétés algorithmiques de ces largeurs.Nous proposons une méthode qui généralise et simplifie les outils développés pour la largeur arborescente et les problèmes admettant une contrainte d'acyclicité ou de connexité tel que Couverture Connexe , Dominant Connexe , Coupe Cycle , etc.Pour tous ces problèmes, nous obtenons des algorithmes s'exécutant en temps $2^{O(k)}\cdot n^{O(1)}$, $2^{O(k \log(k))}\cdot n^{O(1)}$, $2^{O(k^2)}\cdot n^{O(1)}$ et $n^{O(k)}$ avec $k$ étant, respectivement, la largeur de clique, la largeur de Q-rang, la larguer de rang et la largueur de couplage induit.On prouve aussi qu'il existe un algorithme pour Cycle Hamiltonien s'exécutant en temps $n^{O(k)}$ quand une décomposition de largeur de clique $k$ est donné en entrée.Finalement, nous prouvons qu'on peut compter en temps polynomial le nombre de transversaux minimaux d'hypergraphes $\beta$-acyclique ainsi que le nombre de dominants minimaux de graphes fortement triangulés.Tous ces résultats offrent des pistes prometteuses en vue d'une généralisation des largeurs et de leurs applications algorithmiques. / In the last decades, considerable efforts have been spent to characterize what makes NP-hard problems tractable. A successful approach in this line of research is the theory of parameterized complexity introduced by Downey and Fellows in the nineties.In this framework, the complexity of a problem is not measured only in terms of the input size, but also in terms of a parameter on the input.One of the most well-studied parameters is tree-width, a graph parameter which measures how close a graph is to the topological structure of a tree.It appears that tree-width has numerous structural properties and algorithmic applications.However, only sparse graph classes can have bounded tree-width.But, many NP-hard problems are tractable on dense graph classes.Most of the time, this tractability can be explained by the ability of these graphs to be recursively decomposable along vertex bipartitions $(A,B)$ where the adjacency between $A$ and $B$ is simple to describe.A lot of graph parameters -- called width measures -- have been defined to characterize this ability, the most remarkable ones are certainly clique-width, rank-width, and mim-width.In this thesis, we study the algorithmic properties of these width measures.We provide a framework that generalizes and simplifies the tools developed for tree-width and for problems with a constraint of acyclicity or connectivity such as Connected Vertex Cover, Connected Dominating Set, Feedback Vertex Set, etc.For all these problems, we obtain $2^{O(k)}\cdot n^{O(1)}$, $2^{O(k \log(k))}\cdot n^{O(1)}$, $2^{O(k^2)}\cdot n^{O(1)}$ and $n^{O(k)}$ time algorithms parameterized respectively by clique-width, Q-rank-width, rank-width and mim-width.We also prove that there exists an algorithm solving Hamiltonian Cycle in time $n^{O(k)}$, when a clique-width decomposition of width $k$ is given.Finally, we prove that we can count in polynomial time the minimal transversals of $\beta$-acyclic hypergraphs and the minimal dominating sets of strongly chordal graphs.All these results offer promising perspectives towards a generalization of width measures and their algorithmic applications.