[pt] Esta dissertação tem como objetivo exibir uma fórmula para cálcular o anel de cohomologia de um fibrado flag homogêneo de um grupo de Lie G compacto e conexo. Para concluir o resultado é usado a cohomologia equivariante, em particular, sua abordagem mais algébrica. Isto implica introduzir G- módulos e sua teoria equivariante, o que passa também por introduzir a álgebra de Weil, o modelo de Cartan e o homomorfismo característico. A demonstração do resultado também está fortemente baseada nas propriedades algébricas dos toros maximais de G. / [en] The purpose of this dissertation is to present a formula for calculating the cohomology ring of a homogeneous flag bundles of a compact and connected Lie G group. To conclude the result, the equivalent cohomology is used, in particular, its more algebraic approach. This implies introducing G modules and their equivalent theory, which also involves introducing Weil algebra, Cartans model and characteristic homomorphism. The income statement is also strongly based on the algebraic properties of the maximal torus of G.

Denotemos por X ~ p \'S POT. m\' x \'S POT. n\' um espaço finitístico com anel de cohomologia módulo p isomorfo ao anel de cohomologia de um produto de esferas \'S POT. m\' x \'S POT. n\', o qual admite ação livre do grupo cíclico G = Zp, com p um primo ímpar. Nosso objetivo neste trabalho é determinar o anel de cohomologia do espaço de órbitas X / G, usando como ferramenta principal a seqüência espectral de Leray-Serre associada à fibração de Borel X \'SETA\' \'imath\' X G \'SETA\' \'pi\' B G, onde BG é o espaço classificante do G-fibrado universal wG = (EG;BG; pG; G;G) e XG = EG x G X é o espaço de Borel. Este resultado foi provado por R. M. Dotzel, T. B. Singh and S. P. Tripathi em [14] / Let denote by X ~ p \'S POT. m\' x \'S POT. n\' finitistic space with mod p cohomology ring isomorphic to the cohomology ring of a product of spheres \'S POT. m\' x \'S POT. n\' , which admits a free action of the cyclic group G = Zp, with p an odd prime. Our goal in this work is to determine the cohomology ring of the orbit space X / G, using as main tool the Leray-Serre spectral sequence associated to the Borel fibration X \'SETA\" \'imath\' \'X G \'SETA\' \'pi\' BG, where BG is the classifying space of the G-universal bundle wG = (EG;BG; pG; G;G) and XG = EG x G X is the Borel space. This result was proved by R. M. Dotzel, T. B. Singh and S. P. Tripathi in [14]

Neste trabalho, nos concentramos no estudo da topologia da fibração de Milnor associada a um germe de aplicação polinomial f : (Rn , 0) → (Rp , 0) com uma singularidade isolada na origem. O primeiro resultado é uma extensão da caracterização de germes de aplicações triviais nos pares de dimensões (n; p) quando n - p = 3: Uma caracterização inicial foi apresentada por Church e Lamotke em 1975. O segundo resultado é a caracterização de NS-pares (S5 , K2), usando a topologia de espaços de configuração. Como uma consequência desta caracterização, mostramos a existência de germe de aplicação polinomial real nos pares de dimensões (6; 3) com uma singularidade isolada na origem tal que sua fibra de Milnor não é difeomorfa a um disco. A existência desses exemplos coloca um fim ao problema da não-trivialidade proposto por Milnor em 1968 e além disso, nos permite apresentar um novo resultado sobre a topologia da fibra de Milnor real nos pares de dimensões (2n; n) e (2n + 1; n); n ≥ 3: Tal resultado garante a existência de germes de aplicações polinomiais (Rn , 0) → (Rp, 0); n ≥ p ≥ 2; com uma singularidade isolada na origem tais que suas fibras de Milnor têm o tipo de homotopia de um buquê de um número positivo de esferas. / In this work, we focus on the study of the topology of the Milnor fibration associated with a polynomial map germ f : (Rn , 0) → (Rp , 0) with an isolated singularity at the origin. The first result is an extension of the characterization of trivial map germs in the pairs of dimensions (n; p) when n - p = 3: An initial characterization was presented by Church and Lamotke in 1975. The second result is a characterization of NS-pairs (S5 , K2), using the topology of configuration spaces. As a consequence of this characterization, we show the existence of real polynomial map germs in the pairs of dimensions (6; 3) with an isolated singularity at the origin such that its Milnor fibers are not diffeomorphic to a disc. The existence of such examples ends a non-triviality problem posed by Milnor in 1968 and furthermore, it allows us to show a new result about the topology of the real Milnor fibers in the pairs of dimensions (2n; n) and (2n + 1; n); n ≥ 3. This result ensure the existence of polynomial map germs (Rn , 0) → (Rp, 0); n ≥ p ≥ 2; with an isolated singularity at the origin such that its Milnor fibers has the homotopy type of a bouquet of a positive number of spheres.

Denotemos por X ~ p \'S POT. m\' x \'S POT. n\' um espaço finitístico com anel de cohomologia módulo p isomorfo ao anel de cohomologia de um produto de esferas \'S POT. m\' x \'S POT. n\', o qual admite ação livre do grupo cíclico G = Zp, com p um primo ímpar. Nosso objetivo neste trabalho é determinar o anel de cohomologia do espaço de órbitas X / G, usando como ferramenta principal a seqüência espectral de Leray-Serre associada à fibração de Borel X \'SETA\' \'imath\' X G \'SETA\' \'pi\' B G, onde BG é o espaço classificante do G-fibrado universal wG = (EG;BG; pG; G;G) e XG = EG x G X é o espaço de Borel. Este resultado foi provado por R. M. Dotzel, T. B. Singh and S. P. Tripathi em [14] / Let denote by X ~ p \'S POT. m\' x \'S POT. n\' finitistic space with mod p cohomology ring isomorphic to the cohomology ring of a product of spheres \'S POT. m\' x \'S POT. n\' , which admits a free action of the cyclic group G = Zp, with p an odd prime. Our goal in this work is to determine the cohomology ring of the orbit space X / G, using as main tool the Leray-Serre spectral sequence associated to the Borel fibration X \'SETA\" \'imath\' \'X G \'SETA\' \'pi\' BG, where BG is the classifying space of the G-universal bundle wG = (EG;BG; pG; G;G) and XG = EG x G X is the Borel space. This result was proved by R. M. Dotzel, T. B. Singh and S. P. Tripathi in [14]

Neste trabalho, nos concentramos no estudo da topologia da fibração de Milnor associada a um germe de aplicação polinomial f : (Rn , 0) → (Rp , 0) com uma singularidade isolada na origem. O primeiro resultado é uma extensão da caracterização de germes de aplicações triviais nos pares de dimensões (n; p) quando n - p = 3: Uma caracterização inicial foi apresentada por Church e Lamotke em 1975. O segundo resultado é a caracterização de NS-pares (S5 , K2), usando a topologia de espaços de configuração. Como uma consequência desta caracterização, mostramos a existência de germe de aplicação polinomial real nos pares de dimensões (6; 3) com uma singularidade isolada na origem tal que sua fibra de Milnor não é difeomorfa a um disco. A existência desses exemplos coloca um fim ao problema da não-trivialidade proposto por Milnor em 1968 e além disso, nos permite apresentar um novo resultado sobre a topologia da fibra de Milnor real nos pares de dimensões (2n; n) e (2n + 1; n); n ≥ 3: Tal resultado garante a existência de germes de aplicações polinomiais (Rn , 0) → (Rp, 0); n ≥ p ≥ 2; com uma singularidade isolada na origem tais que suas fibras de Milnor têm o tipo de homotopia de um buquê de um número positivo de esferas. / In this work, we focus on the study of the topology of the Milnor fibration associated with a polynomial map germ f : (Rn , 0) → (Rp , 0) with an isolated singularity at the origin. The first result is an extension of the characterization of trivial map germs in the pairs of dimensions (n; p) when n - p = 3: An initial characterization was presented by Church and Lamotke in 1975. The second result is a characterization of NS-pairs (S5 , K2), using the topology of configuration spaces. As a consequence of this characterization, we show the existence of real polynomial map germs in the pairs of dimensions (6; 3) with an isolated singularity at the origin such that its Milnor fibers are not diffeomorphic to a disc. The existence of such examples ends a non-triviality problem posed by Milnor in 1968 and furthermore, it allows us to show a new result about the topology of the real Milnor fibers in the pairs of dimensions (2n; n) and (2n + 1; n); n ≥ 3. This result ensure the existence of polynomial map germs (Rn , 0) → (Rp, 0); n ≥ p ≥ 2; with an isolated singularity at the origin such that its Milnor fibers has the homotopy type of a bouquet of a positive number of spheres.