Cette thèse concerne la géométrie asymptotique de variétés riemanniennes complètes non compactes, dont la courbure tend vers zéro à l'infini, assez vite. Afin de compléter des travaux déjà existants, on s'attache à comprendre le cas où la croissance du volume est non maximale, c'est-à-dire strictement moins rapide que dans l'espace euclidien de même dimension. Dans ce contexte, on prouve tout d'abord une inégalité de Sobolev à poids et une inégalité de Hardy, qui permettent de généraliser nombre de résultats établis quand la croissance du volume est maximale. On obtient en particulier des résultats de rigidité et de finitude de la topologie pour des variétés Ricci plates et asymptotiquement plates. On obtient ensuite un résultat de structure asymptotique pour une classe d'instantons gravitationnels : typiquement, ceux qui ont une croissance du volume cubique sont asymptotes à des fibrations en cercles au-dessus d'une variété asymptotiquement localement euclidienne .