Ce document est une synthèse de travaux menés depuis 1998 en finance mathématique et probabilité numérique. <br /> <br /> <br /><br />Le chapitre I présente différents résultats obtenus en finance théorique. La première partie concerne les marchés financiers en temps discret avec frictions. On y étudie trois extensions des modèles usuels~: évaluation d'options américaines, modèles à rendements non-linéaires, arbitrage en information incomplète. <br /> Dans la seconde partie, on résume une série de résultats portant sur les problèmes d'existence et de dualité en gestion optimale de portefeuille en temps continu. Il s'agit essentiellement de s'affranchir de trois hypothèses habituellement retenues~: absence de friction, fonctions d'utilité régulières, utilité ne dépendant que de la consommation ou de la richesse terminale. On présente également de nouveaux résultats de bipolarité sur $L^0$ qui sont liés aux problèmes duaux en optimisation de portefeuille. <br /><br /> <br /><br />Le chapitre II rassemble des travaux portant sur la résolution (explicite ou numérique) de problèmes de cibles stochastiques par des techniques de type solutions de viscosité. Les deux premières sections portent sur les cibles stochastiques et leurs liens avec les équations paraboliques. <br />La troisième section porte sur la couverture d'option en présence de coûts de transaction. <br /> <br />Le chapitre III porte sur la discrétisation et l'approximation numérique d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR). Dans un premier temps, on étudie une famille de représentations alternatives permettant le calcul rapide d'un grand nombre d'espérances conditionnelles. Celle-ci est ensuite utilisée pour construire un schéma numérique permettant la résolution des EDSR dans un modèle markovien et le calcul de prix d'options américaines. On présente ensuite de nouveaux résultats obtenus pour les EDSR à sauts et réfléchies. <br /><br />Le chapitre IV traite de la ``randomisation'' (ou canadisation) de l'horizon de temps en contrôle stochastique.

Cette thèse développe une approche trajectorielle pour la modélisation des marchés financiers en temps continu, sans faire appel à des hypothèses probabilistes ou à des modèles stochastiques. À l'aide du calcul fonctionnel non-anticipatif, nous identifions une classe spéciale de stratégies de trading que nous prouvons être auto-finançantes, selon une notion trajectorielle introduite dans cette thèse, et dont le gain peut être calculé trajectoire par trajectoire comme limite de sommes de Riemann. Avec ces outils, nous proposons un cadre analytique pour analyser la performance et la robustesse de stratégies de couverture dynamique de produits dérivés path-dependent sur en ensemble de scénarios. Ce cadre ne demande aucune hypothèse probabiliste sur la dynamique du processus sous-jacent. Il généralise donc les résultats précédents sur la robustesse de stratégies de couverture dans des modèles de diffusion. Nous obtenons une formule explicite pour l'erreur de couverture dans chaque scénario et nous fournissons des conditions suffisantes qui impliquent la robustesse de la couverture delta-neutre. Nous montrons que la robustesse peut être obtenue dans un ensemble ample de modèles de prix de martingale exponentielle de carré intégrable, avec une condition de convexité verticale sur le payoff. Nous remarquons que les discontinuités de la trajectoire de prix détériorent la performance de la couverture. Le dernier chapitre, indépendant du reste de la thèse, est une étude en collaboration avec Andrea Pascucci et Stefano Pagliarani, où nous proposons une nouvelle méthode pour l'approximation analytique dans des modèles à volatilité locale avec des sauts de type Lévy. / This thesis develops a mathematical framework for the analysis of continuous-time trading strategies which, in contrast to the classical setting of continuous-time finance, does not rely on stochastic integrals or other probabilistic notions.Using the `non-anticipative functional calculus', we first develop a pathwise definition of the gain process for a large class of continuous-time trading strategies which includes delta-hedging strategies, as well as a pathwise definition of the self-financing condition. Using these concepts, we propose a framework for analyzing the performance and robustness of delta-hedging strategies for path-dependent derivatives across a given set of scenarios. Our setting allows for general path-dependent payoffs and does not require any probabilistic assumption on the dynamics of the underlying asset, thereby extending previous results on robustness of hedging strategies in the setting of diffusion models. We obtain a pathwise formula for the hedging error for a general path-dependent derivative and provide sufficient conditions ensuring the robustness of the delta-hedge. We show in particular that robust hedges may be obtained in a large class of continuous exponential martingale models under a vertical convexity condition on the payoff functional. We also show that discontinuities in the underlying asset always deteriorate the hedging performance. These results are applied to the case of Asian options and barrier options. The last chapter, independent of the rest of the thesis, proposes a novel method, jointly developed with Andrea Pascucci and Stefano Pagliarani, for analytical approximations in local volatility models with Lévy jumps.

Cette thèse traite de problèmes de dépendance entre processus stochastiques en temps continu. Ces résultats sont appliqués à la modélisation et à la gestion des risques des marchés de l'électricité.Dans une première partie, de nouvelles copules sont établies pour modéliser la dépendance entre deux mouvements Browniens et contrôler la distribution de leur différence. On montre que la classe des copules admissibles pour les Browniens contient des copules asymétriques. Avec ces copules, la fonction de survie de la différence des deux Browniens est plus élevée dans sa partie positive qu'avec une dépendance gaussienne. Les résultats sont appliqués à la modélisation jointe des prix de l'électricité et d'autres commodités énergétiques. Dans une seconde partie, nous considérons un processus stochastique observé de manière discrète et défini par la somme d'une semi-martingale continue et d'un processus de Poisson composé avec retour à la moyenne. Une procédure d'estimation pour le paramètre de retour à la moyenne est proposée lorsque celui-ci est élevé dans un cadre de statistique haute fréquence en horizon fini. Ces résultats sont utilisés pour la modélisation des pics dans les prix de l'électricité.Dans une troisième partie, on considère un processus de Poisson doublement stochastique dont l'intensité stochastique est une fonction d'une semi-martingale continue. Pour estimer cette fonction, un estimateur à polynômes locaux est utilisé et une méthode de sélection de la fenêtre est proposée menant à une inégalité oracle. Un test est proposé pour déterminer si la fonction d'intensité appartient à une certaine famille paramétrique. Grâce à ces résultats, on modélise la dépendance entre l'intensité des pics de prix de l'électricité et de facteurs exogènes tels que la production éolienne. / In this thesis, we study some dependence modeling problems between continuous time stochastic processes. These results are applied to the modeling and risk management of electricity markets. In a first part, we propose new copulae to model the dependence between two Brownian motions and to control the distribution of their difference. We show that the class of admissible copulae for the Brownian motions contains asymmetric copulae. These copulae allow for the survival function of the difference between two Brownian motions to have higher value in the right tail than in the Gaussian copula case. Results are applied to the joint modeling of electricity and other energy commodity prices. In a second part, we consider a stochastic process which is a sum of a continuous semimartingale and a mean reverting compound Poisson process and which is discretely observed. An estimation procedure is proposed for the mean reversion parameter of the Poisson process in a high frequency framework with finite time horizon, assuming this parameter is large. Results are applied to the modeling of the spikes in electricity prices time series. In a third part, we consider a doubly stochastic Poisson process with stochastic intensity function of a continuous semimartingale. A local polynomial estimator is considered in order to infer the intensity function and a method is given to select the optimal bandwidth. An oracle inequality is derived. Furthermore, a test is proposed in order to determine if the intensity function belongs to some parametrical family. Using these results, we model the dependence between the intensity of electricity spikes and exogenous factors such as the wind production.