The purpose of fisheries management is to achieve a sustainable development of the activity, so that future generations can also benefit from the resource. However, the optimal harvesting strategy usually maximizes an economically important objective function formed by the harvester which can lead to the extinction of the resource population. Therefore, sustainability has been far more difficult to achieve than is commonly thought; fish populations are becoming increasingly limited and catches are declining due to overexploitation. The aim of this research is to determine an optimal harvesting strategy which fulfills the economic objective of the harvester while maintaining the population density over a pre-specified minimum viable level throughout the harvest. We develop and investigate the harvesting model in both deterministic and stochastic settings. We first employ the Expected Net Present Value approach and determine the optimal harvesting policy using various optimization techniques including optimal control theory and dynamic programming. Next we use real options theory, model fish harvesting as a real option, and compute the value of the harvesting opportunity which also yields the optimal harvesting strategy. We further extend the stochastic problem to include price elasticity of demand and present results for di¤erent values of the coefficient of elasticity.

Optimal control is a paradigm for solving optimization problems involving dynamical systems, which are to be controlled. It is able to solve fish harvesting problems, in which we want to optimize harvesting out-take by considering fishing as a control function that acts on the state of the dynamical system, which represents the growth of fish species in the environment. Other modelling aspects of optimal control are defining terminal costs and running costs, e.g. maximizing profit. We keep the terminal condition comparable for a different number of species. It is based on the initial population. By using the optimal control Hamiltonian and Pontryagin’s Maximum Principle we can calculate the optimal state trajectories corresponding to suitable optimal controls. The Hamiltonian is dependent on the state equation and the running costs. We present two approaches of modelling the running costs. An approach that is not directly translatable to the fish harvesting problem, but it leads to a smooth Hamiltonian, which greatly simplifies derivation and computation. The other, which is equivalent to maximizing profit, leads to a non-smooth Hamiltonian. This leads to jump-discontinuous derivatives needed for computation. We propose to regularize the derivatives of the Hamiltonian using suitable smooth functions, such that it is equivalent to regularizing the Hamiltonian directly. We give details for implementing both approaches up to systems of n competing species. After which we go into detail on algorithms and programming structure implemented. Finally, in modest numerical experiments, for one and two species, we show the relation between the optimal control and the terminal costs. But more interestingly, that the smooth Hamiltonian models are inadequate and regularized Hamiltonian models are the preferred choice. Intriguingly, the latter approach results in steady state solution, wherethe control acts as a stabilizer. / Optimal kontroll är ett paradigm för att lösa optimeringsproblem som omfattar dynamiska system som ska kontrolleras. Den kan lösa problem med skörd av fisk där vi vill optimera skörd av fisk genom att betrakta fisket som en kontrollfunktion som verkar på tillståndet i det dynamiska systemet, som representerar tillväxten av fiskarter i miljön. Andra modelleringsaspekter av optimal styrning är att definiera slutkostnader och löpande kostnader, t.ex. maximering av vinsten. Vi håller terminalvillkoret jämförbart för ett antal olika arter. Det baseras på den ursprungliga populationen.Genom att använda Hamiltonianen för optimal styrning och Pontryagins maximiprincip kan vi beräkna de optimala tillståndsbanorna som motsvarar lämpliga optimala styrningar. Hamiltonianen är beroende av tillståndsekvationen och driftskostnaderna. Vi presenterar två metoder för att modellera driftskostnaderna. Ett tillvägagångssätt som inte är direkt överförbart till problemet med skörd av fisk, men som leder till en slät Hamiltonian, vilket förenklar härledning och beräkning avsevärt. Den andra metoden, som är likvärdig med vinstmaximering, leder till en icke slät Hamiltonian. Detta leder till hopp-diskontinuerliga derivator som behövs för beräkningen. Vi föreslår att man reglerar Hamiltonianens derivator med hjälp av lämpliga släta funktioner, så att det är likvärdigt med att reglera Hamiltonianen direkt. Vi ger detaljer för genomförandet av bå-da tillvägagångssätten upp till system med n konkurrerande arter. Därefter går vi in i detalj på algoritmer och den implementerade programmeringsstrukturen. Slutligen visar vi genom numeriska experiment, för en och två arter, sambandet mellan den optimala kontrollen och slutkostnaderna. Men mer intressant är att de släta hamiltoniska modellerna är otillräckliga, vilket ger upphov till att reglerade hamiltoniska modeller är att föredra. Intressant nog resulterar det senare tillvägagångssättet i en stabil lösning, där kontrollen fungerar som en stabilisator.