Ce travail est consacré à l'étude de trois problèmes liés à l'évaluation de sommes de fonctions multiplicatives sur les entiers friables. On dit qu'un nombre entier n est y-friable si son plus grand facteur premier P(n) n'excède pas y. Dans une première partie, nous considérons une fonction multiplicative aléatoire au sens de Wintner, c'est-à-dire une fonction arithmétique multiplicative f supportée par les entiers sans facteur carré, telle que, pour tout entier premier p, f(p) est une variable aléatoire de Bernoulli prenant les valeurs +1 et -1 avec probabilité 1/2. Dans la continuité de travaux de Wintner, Erdös, Halasz, Lau, Tenenbaum et Wu, notre étude est dédiée à l'obtention d'une majoration presque sûre de la fonction sommatoire de f sur les entiers y-friables n'excédant pas x. Un second volet est dévolu à l'évaluation asymptotique des fonctions sommatoires de certaines fonctions multiplicatives, notamment la fonction phi d'Euler, sur les translatés des entiers friables. La méthode employée fait appel à des résultats de répartition des entiers friables dans les progressions arithmétiques. La troisième partie consiste en une étude de la loi moyenne de répartition des diviseurs des entiers friables. Nous établissons le glissement, lorsque le paramètre de friabilité u = (log x)/log y croît, depuis la loi de l'arcsinus (établie en 1979 dans les travaux de Dress, Deshouillers et Tenenbaum) jusqu'à une loi approximativement gaussienne. La loi limite obtenue s'exprime au moyen d'une convolution faisant apparaître les fonctions de Dickman / This dissertation is devoted to studying three problems, all linked to estimates for sums of multiplicative functions over friable integers. An integer n is called y-friable if its largest prime factor P(n) does not exceed y. In a first part, we consider a random multiplicative function in the sense of Wintner, i.e. a multiplicative arithmetic function f supported on squarefree integers and such that, for each prime p, f(p) is a Bernoulli random variable taking each value +1 and -1 with probability 1/2. Elaborating on previous works by Wintner, Erdös, Halasz, Lau, Tenenbaum and Wu, we investigate upper bounds for the summatory function of f over y-friable integers not exceeding x. In the second part, we provide asymptotic estimates for sums of certain multiplicative functions, including Euler's totient, over shifted friable integers. This study depends on the distribution of friable integers in arithmetic progressions. In the third part, we consider a friable extension of the Arcsine law for the mean distribution of the divisors of integers. The original study is due to Deshouillers, Dress and Tenenbaum (1979). We describe the limit law in terms of the Dickman functions and we show that, as the friability parameter u = (log x)/log y increases, the mean distribution drifts from the Arcsine law towards a Gaussian behaviour

Un entier naturel est dit $y$-friable lorsque son plus grand facteur premier n'excède pas $y$. Ce travail est consacré à l'étude des entiers friables dans le cadre de la théorie analytique et probabiliste des nombres. La première partie est dévolue à un problème posé par Davenport en 1937, qui consiste à déterminer les conditions de validité de diverses généralisations de son développement de la fonction sinus en série de parties fractionnaires. Ces généralisations peuvent être décrites par un couple de fonctions arithmétiques, liées par la relation de convolution $f=g*\1$. Nous traitons le cas où $g$ est la fonction de Piltz d'ordre $z\in\CC$. La deuxième partie est consacrée à l'étude du comportement asymptotique de la constante optimale dans une version friable de l'inégalité de Turán-Kubilius. Précisant des résultats récents de La Bretèche et Tenenbaum, nous généralisons au cas friable une formule asymptotique de la variance d'une fonction arithmétique additive, établie par Hildebrand en 1983.