Ce mémoire vise à faire une synthèse sur la Schur positivité des différences de fonctions de Schur gauches. On cherche à voir la représentation de cet ensemble de fonctions à l'aide de la Schur positivité. Pour ce faire, on introduit premièrement les notions de base nécessaires à sa compréhension tel que les permutations, les partages, les diagrammes, les tableaux et les ensembles partiellement ordonnés. Ensuite une discussion sur l'algèbre graduée des fonctions symétriques s'impose puisque les fonctions de Schur forment une base des fonctions symétriques. On présente dans un deuxième temps certaines bases des fonctions symétriques. En fait, on voit la base des fonctions homogènes, la base des fonctions élémentaires et la base des fonctions monomiales. On voit par ailleurs la m-positivité qui est un autre ordre partiel semblable à la Schur positivité. En ce qui a trait aux fonctions de Schur gauches, on tente plus particulièrement de comprendre les égalités qui surviennent entre certaines fonctions de Schur gauches. On tente aussi de faire le point (en partie) sur les inégalités des coefficients de Littlewood-Richardson qui apparaissent lors d'un produit de fonctions de Schur ou lorsqu'on écrit les fonctions de Schur gauches en termes de fonctions de Schur. De plus, on veut trouver les seuls diagrammes gauches nécessaires à la représentation des ensembles partiellement ordonnés des fonctions de Schur gauches. Enfin, on vise à présenter certains ensembles partiellement ordonnés par la Schur positivité des fonctions de Schur gauches, de même qu'être en mesure de montrer l'existence d'un maximum d'arêtes liant les différents niveaux de la représentation de l'ensemble partiellement ordonné par la Schur positivité des fonctions de Schur gauches.

Nous nous proposons d'étudier les polynômes de Macdonald en les mettant en parallèle avec les polynômes orthogonaux classiques. En effet, ces deux types d'objets apparaissent comme fonctions propres d'opérateurs à significations physiques, les polynômes orthogonaux intervenant dans des situations décrites par une seule variable et les polynômes de Macdonald dans d'autres en demandant plusieurs. En développant chacune des deux théories, nous constaterons qu'elles s'élaborent de façon analogue. Notre but est ainsi de faire ressortir ces points communs tout en dégageant les différences entre les deux contextes. En mettant en lumière ce parallèle, nous constaterons toutefois qu'il manque un élément pour qu'il soit complet. En effet, les polynômes orthogonaux satisfont une récurrence à trois termes qui leur est caractéristique. Or rien d'analogue n'est présent dans la théorie des polynômes de Macdonald. Mais nous verrons qu'une conjecture portant sur une famille élargie de polynômes de Macdonald a été formulée qui permettrait de compléter le tableau. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : polynômes orthogonaux, fonctions symétriques, polynômes de Macdonald, conjecture n!.

La théorie sur les polynômes de Macdonald a fait l'objet d'une quantité importante de recherches au cours des dernières années. Définis originellement par Macdonald comme une généralisation de quelques-unes des bases les plus importantes de l'anneau des fonctions symétriques, ces polynômes ont des applications dans des domaines tels que la théorie des représentations des groupes quantiques et physique des particules. Ce travail présente quelques-uns des résultats combinatoires les plus importants entourant ces polynômes, en mettant particulièrement l'accent sur la formule combinatoire prouvée récemment par Haglund, Haiman et Loehr pour les polynômes de Macdonald. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Polynômes de Macdonald, Fonctions symétriques, Combinatoire algébrique, Combinatoire énumérative, Théorie des représentations, Géométrie algébrique.

L'introduction des polynômes de Macdonald (Macdonald, 1988) comme des vecteurs propres associés à certains opérateurs reliés à la physique et comme une généralisation de quelques-unes des bases les plus importantes de l'anneau des fonctions symétriques, a donné lieu à un nombre remarquable de résultats dans divers domaines de l'algèbre, la combinatoire et la géométrie algébrique, entre autres. Ce travail présente un des liens entre la théorie des fonctions symétriques et la théorie des représentations des groupes, donné par les polynômes de Macdonald et les modules de Garsia-Haiman. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Combinatoire algébrique, Combinatoire énumérative, Fonctions symétriques, Modules de Garsia-Haiman, Polynômes de Macdonald, Théorie des représentations.

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