R.M. Redheffer. / Includes bibliographical references. / Army Signal Corps Contract no. W-36-039 sc-32037.

Thesis (M.Phil.)--Hong Kong University of Science and Technology, 2006. / Includes bibliographical references (leaves 70-74). Also available in electronic version.

Thesis (Ph.D.)--University of Missouri-Columbia, 2006. / The entire dissertation/thesis text is included in the research.pdf file; the official abstract appears in the short.pdf file (which also appears in the research.pdf); a non-technical general description, or public abstract, appears in the public.pdf file. Title from title screen of research.pdf file viewed on (March 1, 2007) Vita. Includes bibliographical references.

Thesis (Ph.D.)--University of Missouri-Columbia, 2006. / The entire dissertation/thesis text is included in the research.pdf file; the official abstract appears in the short.pdf file (which also appears in the research.pdf); a non-technical general description, or public abstract, appears in the public.pdf file. Title from title screen of research.pdf file viewed on (March 1, 2007) Vita. Includes bibliographical references.

This work is devoted to trigonometric series with monotone coefficients. The main problem is to study conditions under which a given series is the Fourier series of an integrable (or continuous) function.

Dans ce mémoire, nous détaillons différents travaux que j'ai efféctués ces dernières années sur des problèmes d'analyse harmonique réelle et plus particulièrement d'analyse de Fourier en lien avec l'analyse des EDPs. Le coeur de l'analyse de Fourier réside dans la procédure suivante : afin d'étudier un objet mathématique (une fonction, un opérateur, un espace fonctionnel, ...), on le décompose en objets élémentaires, vérifiant certaines propriétés supplémentaires. Le but et la difficulté de l'analyse est alors d'utiliser des informations sur ces objets élémentaires et de les sommer (le plus finement possible) afin d'obtenir l'information désirée sur l'objet initial. Le qualificatif "de Fourier" fait ici référence au fait que l'opération de décomposition sera toujours associée à une décomposition temps-fréquence. Nous allons nous consacrer à deux cadres différents (mais pas complètement indépendants) d'application de cette "technique" : 1) L'analyse de Fourier Euclidienne bilinéaire : plus précisément, l'étude des continuités dans les espaces de Lebesgue d'opérateurs bilinéaires, définis en fréquence par la transformée de Fourier (principalement les multiplicateurs de Fourier bilinéaires). Ici, le caractère "Euclidien" renvoie à l'utilisation de la transformée de Fourier. Nous décrirons aussi une application pour l'analyse d'EDPs présentant une non-linéarité quadratique ainsi que l'obtention d'estimations bilinéaires de dispersion. 2) L'analyse de Fourier non Euclidienne fonctionnelle : le but sera de définir un cadre où la notion de "fréquence" n'est plus donnée par la transformée de Fourier mais nous travaillerons sur la notion plus générale "d'oscillations". Ceci permet de nous extraire du cadre Euclidien et de travailler dans un espace de type homogène, ou une variété Riemanienne. Nous essaierons alors d'étudier certaines propriétés d'espaces fonctionnels ainsi que certains opérateurs, définis par l'intermédiaire de ces oscillations. L'utilisation de le notion d'oscillations permet de travailler sur un espace ambiant plus général et permet aussi d'adapter l'analyse à un opérateur générant un semi-groupe. Ces deux cadres présentent un aspect commun : une "analyse temps-fréquence". Cette analyse est une situation particulière de l'analyse de Fourier où nous avons besoin de décomposer notre objet mathématique, non pas dans l'espace physique ou dans l'espace fréquentiel, mais simultanément dans les deux espaces, tout en respectant le principe d'incertitude d'Heisenberg. Dans le cadre de l'analyse de Fourier Euclidienne, la transformée de Fourier permet de donner une notion très pratique de "fréquence" et de décomposition fréquentielle. Dans le cadre de l'analyse fonctionnelle, la notion de "fréquence" sera donnée par des opérateurs, appelés "opérateurs d'oscillation". Nous verrons comment on peut alors transposer certaines techniques Euclidiennes à ce cadre et de ce fait étendre "l'analyse temps-fréquence" à des espaces non-Euclidiens très généraux (tels que ensembles fractals, variétés Riemaniennes, ...).

L'observation en calorimétrie lente du comportement du polyéthylène et d'autres polyoléfines lors de la fusion et lors de la cristallisation a permis d'identifier des indicateurs de déformation et de relaxation. La présence de ces mêmes phénomènes est attendue pour le poly (oxyde d'éthylène) lorsque soumis au même traitement. Les présents travaux portant sur l'analyse IR du PEO dans l'état solide et dans l'état fondu furent motivés par les recherches précédentes du laboratoire du Dr. Geneviève Delmas-Patterson sur le polyéthylène et l'amylose. Dans le cas de l'amylose, l'intérêt était principalement orienté vers la fraction déformable du réseau ainsi que sur les états de non équilibre. Pour le PE, les analyses en FTIR et en calorimétrie lente ont mené à la détermination de la composition phasique à RT après différentes histoires thermiques et aussi en fonction de la température. À l'aide de la FTIR, il est possible d'obtenir, avec un certain degré de confiance, la teneur en fraction ordonnée, désordonnée et tendue dans un échantillon. La possibilité d'observer les mêmes concepts pour le PEO que pour le PE et l'amylose à l'aide de traitements thermiques et des techniques telles que la FTIR et la calorimétrie lente semblait pertinente. Le développement de tension pendant le vieillissement, à travers des changements de phases initiés par des traitements thermiques ou par les interactions entre molécules est intéressant à suivre et peut ouvrir des pistes d'information permettant de mieux comprendre les mélanges complexes à base de PEO. Les spectres IR sont utilisés dans cette recherche pour avoir une information sur la morphologie du PEO. Contrairement à d'autres polymères, des modifications apparemment modestes de 1'histoire du film ont un effet remarquable sur l'organisation des chaînes et le spectre IR. Grâce à la présence de liaisons non polaires (CH2-CH2) et polaires (CH2-O) dans la séquence, le PEO a des propriétés uniques, révélées par son spectre. Pour caractériser les vibrations, on compare habituellement les spectres des échantillons préparés différemment, en solution ou soumis à une force mécanique (pression ou étirement). Dans ce travail, nous avons procédé différemment en utilisant une rampe de température pour modifier l'échantillon. Ceci a l’avantage d'être un processus contrôlé de création de tension pendant l'expansion du matériau. La rampe lente permet - mieux que les rampes rapides habituelles - d'accéder à de nouveaux états d'équilibre entre les chaînes. L'état fondu est ainsi atteint graduellement. Nous avons utilisé deux vitesses de chauffe qui conduisent à des spectres différents. De façon très inattendue, un autre paramètre s'est révélé capable de changer le spectre et la morphologie de films analysés à température ambiante. C'est l'épaisseur du film qui a un effet sur la cinétique d'évaporation du solvant. Dans la première partie, il est question des effets de déformations modérées durant la cristallisation et de la mise en évidence de bandes sensibles à la déformation observées lorsqu'un film de PEO est soumis à un cycle de fusion et de cristallisation. Dans la seconde partie, les résultats obtenus avec le PEO sont comparés avec ceux obtenus par notre laboratoire sur le polyéthylène. Il est aussi question de l'effet inattendu de l'épaisseur des films et de l'observation en FTIR d'un film de PEO soumis à une fusion très lente. Il ressort des travaux menés sur le PEO en fonction de la température que les effets augmentent lors de l'augmentation de la température et diminuent lorsque la température diminue. Trois phénomènes apparaissent comme des conséquences de la rampe de température soit, tout d'abord l'observation de nouvelles bandes sensibles à la température dans la région 1090-1100 cm-1, ce dans l'état solide et dans l'état fondu. Ensuite, des signaux spécifiques dans la région 500-650 cm-1. Finalement, la variation modeste, mais inattendue de l'absorbance intégrée dans le PEO fondu entre les températures de fusion et de cristallisation est à mettre en parallèle avec les effets thermiques observés par calorimétrie quand une rampe lente de température remplace la rampe rapide standard. L'observation de bandes larges et d'absorbance non différenciée dans l'état fondu plus importante chez les échantillons traités thermiquement et aussi l'augmentation de bandes fines est associée avec la formation d'un réseau. En incluant l'absorbance non différenciée, la différence d'absorbance totale entre l'état solide et l'état fondu est négligeable, laissant croire que la perte d'organisation cristalline à grande distance pendant la fusion est remplacée par de l'ordre à petite distance dans le polymère. Dans la deuxième partie de ce mémoire, les spectres du PEO sont comparés avec ceux du PE naissant et ceux d'échantillons soumis à différentes histoires telles que des films préparés en solution, des films préparés à l'aide d'une presse, des films traités thermiquement. Il s'avère que certaines caractéristiques sont communes entre le PEO et le PE. Les spectres des films de PEO d'épaisseur variant de 5 à 90 μm, préparés en solution, ne permettent pas comme on l'aurait attendu de mesurer le coefficient d'absorption de certaines bandes. Cette caractéristique est due à la sensibilité de celles-ci à la conformation des chaines qui elle-même dépend de petites différences dans l'histoire de l'échantillon. L'évaporation lente du solvant dans un film épais favorise la formation d'un réseau dont les jonctions sont faites des interactions coopératives entre les groupes CH2-CH2 et CH2-O des chaines. La présence de bandes multiples, la réduction de l'absorbance du complexe carbone-oxygène ainsi que la présence d'absorbance non différenciée sont aussi des indications d'une organisation en réseau ordonné à petite distance dans le matériau. Finalement, le traitement à très faible vitesse (0.05 K/min) entre 33 et 140 °C d'un film de PEO permet d'observer un phénomène de fusion incomplète interprété comme la formation spontanée d'une morphologie de type verre créant un réseau ordonné à petite distance suffisamment fort pour restreindre le mouvement des chaînes même au-delà de la température de fusion du polymère. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Poly (oxyde d'éthylène), réseau, FTIR

The Fourier algebra A(G) can be viewed as a dual object for the group G and, in turn, for the group algebra L1(G). It is a commutative Banach algebra constructed using the representation theory of the group, and from which the group G may be recovered as its spectrum. When G is abelian, A(G) coincides with L1(G^); for non-abelian groups, it is viewed as a generalization of this object. B. Johnson has shown that G is amenable as a group if and only if L1(G) is amenable as a Banach algebra. Hence, it is natural to expect that the cohomology of A(G) will reflect the amenability of G. The initial hypothesis to this effect is that G is amenable if and only if A(G) is amenable as a Banach algebra. Interestingly, it turns out that A(G) is amenable only when G has an abelian group of finite index, leaving a large class of amenable groups with non-amenable Fourier algebras. The dual of A(G) is a von Neumann algebra (denoted VN(G)); as such, A(G) inherits a natural operator space structure. With this operator space structure, A(G) is a completely contractive Banach algebra, which is the natural operator space analogue of a Banach algebra. By taking this additional structure into account, one recovers the intuition behind the first conjecture: Z.-J. Ruan showed that G is amenable if and only if A(G) is operator amenable. This thesis concerns both the non-amenability of the Fourier algebra in the category of Banach spaces and why Ruan's Theorem is actually the proper analogue of Johnson's Theorem for A(G). We will see that the operator space projective tensor product behaves well with respect to the Fourier algebra, while the Banach space projective tensor product generally does not. This is crucial to explaining why operator amenability is the right sort of amenability in this context, and more generally, why A(G) should be viewed as a completely contractive Banach algebra and not merely a Banach algebra.

The Fourier algebra A(G) can be viewed as a dual object for the group G and, in turn, for the group algebra L1(G). It is a commutative Banach algebra constructed using the representation theory of the group, and from which the group G may be recovered as its spectrum. When G is abelian, A(G) coincides with L1(G^); for non-abelian groups, it is viewed as a generalization of this object. B. Johnson has shown that G is amenable as a group if and only if L1(G) is amenable as a Banach algebra. Hence, it is natural to expect that the cohomology of A(G) will reflect the amenability of G. The initial hypothesis to this effect is that G is amenable if and only if A(G) is amenable as a Banach algebra. Interestingly, it turns out that A(G) is amenable only when G has an abelian group of finite index, leaving a large class of amenable groups with non-amenable Fourier algebras. The dual of A(G) is a von Neumann algebra (denoted VN(G)); as such, A(G) inherits a natural operator space structure. With this operator space structure, A(G) is a completely contractive Banach algebra, which is the natural operator space analogue of a Banach algebra. By taking this additional structure into account, one recovers the intuition behind the first conjecture: Z.-J. Ruan showed that G is amenable if and only if A(G) is operator amenable. This thesis concerns both the non-amenability of the Fourier algebra in the category of Banach spaces and why Ruan's Theorem is actually the proper analogue of Johnson's Theorem for A(G). We will see that the operator space projective tensor product behaves well with respect to the Fourier algebra, while the Banach space projective tensor product generally does not. This is crucial to explaining why operator amenability is the right sort of amenability in this context, and more generally, why A(G) should be viewed as a completely contractive Banach algebra and not merely a Banach algebra.

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