Zugl.: Darmstadt, Techn. Univ., Diss., 2006

Zugl.: Stuttgart, Univ., Diss., 2005.

In dieser Arbeit wird für Strukturen, die im makroskopischen aufgrund unterschiedlicher Materialeigenschaften oder komplexer Geometrien eine hohe Netzfeinheit für Finite-Elemente-Berechnungen benötigen, eine neue Möglichkeit zur Berechnung effektiver Materialkennwerte vorgestellt. Durch einen modalen Ansatz, bei dem, je nach Struktur analytisch oder numerisch, mit Hilfe der modalen Kennwerte die Formänderungsenergie eines repräsentativen Volumens der Originalstruktur mit der Formänderungsenergie eines äquivalenten homogen Vergleichsvolumens verglichen wird, können effektive Materialkennwerte ermittelt und daran anschließend eine Finite-Elemente-Berechnung mit einem im Vergleich zum Originalmodell sehr viel gröberen Netz durchgeführt werden, was eine enorme Zeiteinsparung mit sich bringt. Weiterhin enthält die vorgestellte Methode die Möglichkeit, unsichere Eingabeparameter wie Geometrieabmessungen oder Materialkennwerte mit Hilfe der polynomialen Chaos Expansion zu approximieren, um Möglichkeiten zur Aussage bzgl. der daraus resultierenden Verteilungen modaler Kenngrößen auf eine schnelle und effektive Weise zu gewinnen.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Charakterisierung und der Wirkung von Mikroseigerungen auf das Werkstoffverhalten moderner 9% Cr-Stähle. Hierzu wurden drei Werkstoffchargen der Güte MARBN hinsichtlich der Mikrostruktur, des Zeitstandverhaltens, des Verhaltens während einer thermo-physikalischen Schweiß- sowie Wärmebehandlungssimulation auf quantitativer Ebene eingehend untersucht. Mit Hilfe von licht-, rasterelektronen- und transmissionselektronenmikroskopischen Untersuchungsmethoden wurden die Art, Größe, Verteilung und Elementzusammensetzung der Mikroseigerungen einer jeden Charge bestimmt. Eine Prüfung des Zeitstandverhaltens bei 650 °C und unterschiedlichen Spannungen zeigte eine chargenabhängige Zeitstandfestigkeit, welche unterhalb der üblichen Zeitstandfestigkeiten für homogene MARBN Güten liegt. Durch die thermo-physikalische Schweißsimulation konnte nachgewiesen werden, dass die Mikroseigerungen sämtlicher Chargen ab einer Spitzentemperatur von 1.000 °C zu unerwünschtem Deltaferrit umwandeln, dessen Ausprägung ebenfalls eine Chargenabhängigkeit zeigte. Weiterhin wurde der Einfluss normalisierender Wärmebehandlungen auf das mikroseigerungsbehaftete Gefüge mit Hilfe von thermo-physikalischer Simulation untersucht. Es zeigte sich, dass alle drei Chargen zur deutlichen Ausbildung von unerwünschtem Deltaferrit im Bereich der Mikroseigerungen bei üblichen Normalisierungstemperaturen neigen. Das chargenabhängig unterschiedliche Werkstoffverhalten konnte mit den charakterisierten Mikrostrukturen und dem Grad der Gefügeinhomogenität korreliert werden. Aus einer Variation der Normalisierungsbedingungen ging hervor, dass durch eine konventionelle einstufige Wärmebehandlung keine homogene und deltaferritfreie Mikrostruktur erzeugt werden kann. Aus diesem Grund wurde eine dreistufige Wärmebehandlung entwickelt und appliziert, mit dem Ziel einer schrittweisen Auflösung und Verteilung der in den Mikroseigerungen gebundenen Elemente. Die Wirksamkeit der Homogenisierungen in Bezug auf die Mikrostruktur, die Elementverteilung, das Schweißverhalten sowie das Zeitstandverhalten konnte erfolgreich nachgewiesen werden. So zeigte sich eine homogene Mikrostruktur, eine signifikante Reduzierung des Deltaferritanteils bei sämtlichen simulierten Spitzentemperaturen, sowie eine deutliche Verbesserung der Zeitstandfestigkeit aller drei Chargen.

This thesis is divided into two parts: In the first one (Chapters 1 and 2), we deal with problems arising from quantitative homogenization of the random elliptic operator in divergence form $-\\nabla \\cdot a \\nabla$. In Chapter 1 we study existence and stochastic bounds for the Green function $G$ associated to $-\\nabla \\cdot a \\nabla$ in the case of systems. Without assuming any regularity on the coefficient field $a= a(x)$, we prove that for every (measurable) uniformly elliptic tensor field $a$ and for almost every point $y \\in \\mathbb^d$, there exists a unique Green\'s function centred in $y$ associated to the vectorial operator $-\\nabla \\cdot a\\nabla $ in $\\mathbb{R}^d$, $d> 2$. In addition, we prove that if we introduce a shift-invariant ensemble $\\langle\\cdot \\rangle$ over the set of uniformly elliptic tensor fields, then $\\nabla G$ and its mixed derivatives $\\nabla \\nabla G$ satisfy optimal pointwise $L^1$-bounds in probability. Chapter 2 deals with the homogenization of $-\\nabla \\cdot a \\nabla$ to $-\\nabla \\ah \\nabla$ in the sense that we study the large-scale behaviour of $a$-harmonic functions in exterior domains $\\{ |x| > r \\}$ by comparing them with functions which are $\\ah$-harmonic. More precisely, we make use of the first and second-order correctors to compare an $a$-harmonic function $u$ to the two-scale expansion of suitable $\\ah$-harmonic function $u_h$. We show that there is a direct correspondence between the rate of the sublinear growth of the correctors and the smallness of the relative homogenization error $u- u_h$. The theory of stochastic homogenization of elliptic operators admits an equivalent probabilistic counterpart, which follows from the link between parabolic equations with elliptic operators in divergence form and random walks. This allows to reformulate the problem of homogenization in terms of invariance principle for random walks. The second part of thesis (Chapters 3 and 4) focusses on this interplay between probabilistic and analytic approaches and aims at exploiting it to study invariance principles in the case of degenerate random conductance models and systems of interacting particles. In Chapter 3 we study a random conductance model where we assume that the conductances are independent, stationary and bounded from above but not uniformly away from $0$. We give a simple necessary and sufficient condition for the relaxation of the environment seen by the particle to be diffusive in the sense of every polynomial moment. As a consequence, we derive polynomial moment estimates on the corrector which imply that the discrete elliptic operator homogenises or, equivalently, that the random conductance model satisfies a quenched invariance principle. In Chapter 4 we turn to a more complicated model, namely the symmetric exclusion process. We show a diffusive upper bound on the transition probability of a tagged particle in this process. The proof relies on optimal spectral gap estimates for the dynamics in finite volume, which are of independent interest. We also show off-diagonal estimates of Carne-Varopoulos type.

Diese Arbeit liefert ein dreidimensionales numerisches Homogenisierungskonzept, welches beim Übergang von der Mikro- zur Makroskala einen Wechsel in der Kontinuumsbeschreibung beinhaltet. Während für die Beschreibung der Makroskala das verallgemeinerte Cosserat-Kontinuum verwendet wird, basiert die Mikroskala auf der klassischen Cauchy-Theorie. Um das homogene Cosserat-Ersatzmaterial im Rahmen numerischer Simulationen nutzen zu können, erfolgt die Implementierung geeigneter Finiter Elemente in das Programmsystem Abaqus und deren Verifikation. Neben der Diskussion der bei der Homogenisierung beobachteten Effekte werden anhand eines idealisierten Modells eines biaxialverstärkten Mehrlagengestrickes die Vorteile gegenüber der klassischen Herangehensweise aufgezeigt. / This contribution provides a threedimensional homogenization approach which includes the switch of the continuum theory during the scale transition. Whereas the microscopic scale is described in the framework of the classical Cauchy theory, the macroscopic scale is based on the generalized Cosserat continuum. In order to use the obtained homogeneous Cosserat material, suitable finite elements are implemented in the commercial program system Abaqus followed by an appropriate verification. Beside the discussion of the arising effects the advantages of this approach compared to the classical procedure are shown by means of an idealized model of a biaxial woven fabric.

In a Hilbert space setting homogenization of evolutionary equations is discussed. In order to do so, a suitable topology on material laws is introduced and several properties of that topology are shown. With those properties homogenization theorems of a large class of linear evolutionary problems of classical mathematical physics can be obtained. The results are exemplified by the equations of piezo-electro-magnetism.

Zugl.: Stuttgart, Univ., Diss., 2006.

Zugl.: Stuttgart, Univ., Diss., 2005.

Univ., Diss., 2009--Kassel.