Le but principal de la topologie algébrique dirigée est d’étudier des systèmes qui évoluent avec le temps à travers leur géométrie. Ce sujet émergea en informatique, plus particulièrement en vraie concurrence, où Pratt introduisit les automates de dimension supérieure (HDA) en 1991 (en réalité, l’idée de la géométrie de la concurrence peut être retracée jusque Dijkstra en 1965). Ces automates sont géométriques par nature: chaque ensemble de n processus exécutant des actions indépendantes en parallèle peuvent être modélisées par un cube de dimension n, et un tel automate donne naissance à un espace topologique, obtenu en recollant ces cubes. Cet espace a naturellement une direction du temps provenant du flot d’exécution. Il semble alors totalement naturel d’utiliser des outils provenant de la topologie algébrique pour étudier ces espaces: les chemins modélisent les exécutions et les homotopies de chemins, c’est-à-dire les déformations continues de chemins, modélisent l’équivalence entre exécutions modulo ordonnancement d’actions indépendantes, mais ces notions géométriques doivent préserver la direction du temps, d’une façon ou d’une autre. Ce caractère dirigé apporte des complications et la théorie doit être refaite, essentiellement depuis le début. Dans cette thèse, j’ai développé des théories de l’homotopie et de l’homologie pour ces espaces dirigés. Premièrement, ma théorie de l’homotopie dirigée est basée sur la notion de rétracts par déformations, c’est-à-dire de déformations continues d’un gros espaces sur un espace plus petit, suivant des chemins inessentiels, c’est-à-dire qui ne changent pas le type d’homotopie des « espaces d’exécutions ». Cette théorie est reliée aux catégories de composantes et catégories de dimension supérieures. Deuxièmement, ma théorie de l’homologie dirigée suit l’idée que l’on doit regarder les « espaces d’exécutions » et comment ceux-ci évoluent avec le temps. Cette évolution temporelle est traitée en définissant cette homologie comme un diagramme des « espaces d’exécutions » et en comparant de tels diagrammes en utilisant une notion de bisimulation. Cette théorie homologique a de très bonnes propriétés: elle est calculable sur des espaces simples, elle est un invariant de notre théorie homotopique, elle est invariante par des raffinements d’actions simples et elle une théorie des suites exactes. / Studying a system that evolves with time through its geometry is the main purpose of directed algebraic topology. This topic emerged in computer science, more particularly in true concurrency, where Pratt introduced the higher dimensional automata (HDA) in 1991 (actually, the idea of geometry of concurrency can be tracked down Dijkstra in 1965). Those automata are geometric by nature: every set of n processes executing independent actions can be modeled by a n-cube, and such an automaton then gives rise to a topological space, obtained by glueing such cubes together. This space naturally has a specific direction of time coming from the execution flow. It then seems natural to use tools from algebraic topology to study those spaces: paths model executions, homotopies of paths, that is continuous deformations of paths, model equivalence of executions modulo scheduling of independent actions, and so on, but all those notions must preserve the direction. This brings many complications and the theory must be done again.In this thesis, we develop homotopy and homology theories for those spaces with a direction. First, my directed homotopy theory is based on deformation retracts, that is continuous deformation of a big space on a smaller space, following directed paths that are inessential, meaning that they do not change the homotopy type of spaces of executions. This theory is related to categories of components and higher categories. Secondly, my directed homology theory follows the idea that we must look at the spaces of executions and those evolves with time. This evolution of time is handled by defining such homology as a diagram of spaces of executions and comparing such diagrams using a notion of bisimulation. This homology theory has many nice properties: it is computable on simple spaces, it is an invariant of our homotopy theory, it is invariant under simple action refinements and it has a theory of exactness.

The solutions of nonlinear ordinary or partial differential equations are important in the study of fluid flow and heat transfer. In this thesis we apply the Homotopy Analysis Method (HAM) and obtain solutions for several fluid flow and heat transfer problems. In chapter 1, a brief introduction to the history of homotopies and embeddings, along with some examples, are given. The application of homotopies and an introduction to the solutions procedure of differential equations (used in the thesis) are provided. In the chapters that follow, we apply HAM to a variety of problems to highlight its use and versatility in solving a range of nonlinear problems arising in fluid flow. In chapter 2, a viscous fluid flow problem is considered to illustrate the application of HAM. In chapter 3, we explore the solution of a non-Newtonian fluid flow and provide a proof for the existence of solutions. In addition, chapter 3 sheds light on the versatility and the ease of the application of the Homotopy Analysis Method, and its capability in handling non-linearity (of rational powers). In chapter 4, we apply HAM to the case in which the fluid is flowing along stretching surfaces by taking into the effects of "slip" and suction or injection at the surface. In chapter 5 we apply HAM to a Magneto-hydrodynamic fluid (MHD) flow in two dimensions. Here we allow for the fluid to flow between two plates which are allowed to move together or apart. Also, by considering the effects of suction or injection at the surface, we investigate the effects of changes in the fluid density on the velocity field. Furthermore, the effect of the magnetic field is considered. Chapter 6 deals with MHD fluid flow over a sphere. This problem gave us the first opportunity to apply HAM to a coupled system of nonlinear differential equations. In chapter 7, we study the fluid flow between two infinite stretching disks. Here we solve a fourth order nonlinear ordinary differential equation. In chapter 8, we apply HAM to a nonlinear system of coupled partial differential equations known as the Drinfeld Sokolov equations and bring out the effects of the physical parameters on the traveling wave solutions. Finally, in chapter 9, we present prospects for future work.

Cette thèse de doctorat a pour sujet les modèles de la théorie homotopique des types avec l'Axiome d'Univalence introduit par Vladimir Voevodsky. L'auteur prend pour cadre de travail les définitions de type-theoretic model category, type-theoretic fibration category (cette dernière étant la notion de modèle considérée dans cette thèse) et d'univers dans une type-theoretic fibration category, définitions dues à Michael Shulman. La problématique principale de cette thèse consiste à approfondir notre compréhension de la stabilité de l'Axiome d'Univalence pour les catégories de préfaisceaux, en particulier pour les groupoïdes équipés d'une involution. / This PhD thesis deals with some new models of Homotopy Type Theory and the Univalence Axiom introduced by Vladimir Voevodsky. Our work takes place in the framework of the definitions of type-theoretic model categories, type-theoretic fibration categories (the notion of model under consideration in this thesis) and universe in a type-theoretic fibration category, definitions due to Michael Shulman. The goal of this thesis consists mainly in the exploration of the stability of the Univalence Axiom for categories of functors , especially for groupoids equipped with involutions.