Cette thèse est consacrée à l'étude des familles de catégories munies d'une structure homotopique. Les résultats principaux compris dans cette oeuvre sont : i. Une généralisation de la structure de modèles de Reedy, qui dans ce travail est construite pour les sections d'une famille convenable des catégories de modèles sur une catégorie de Reedy. À la différence des considérations précédentes, par exemple celles de Hirschowitz-Simpson, nous exigeons aussi peu de propriétés de la famille que possible, pour que notre résultat puisse être appliqué dans les situations où les foncteurs de transition ne sont pas linéaires. ii. Une extension du formalisme de Segal pour les structures algébriques, dans le territoire des catégories monoïdales sur une catégorie d'opérateurs au sens de Barwick. Pour ce faire, nous présentons les structures monoidales comme certaines opfibrations de Grotendieck, et introduisons les sections dérivées des opfibrations en utilisant les remplacements simpliciaux de Bousfield-Kan. Notre résultat concernant la structure de Reedy nous permet alors de travailler avec les sections dérivées. iii. Une preuve d'un certain résultat de la descente homotopique, qui donne des conditions suffisantes pour que le foncteur d'image inverse soit une équivalence entre catégories de sections dérivées au sens adapté. L'on montre ce résultat pour les foncteurs qui satisfont une propriété technique du genre ``Théorème A de Quillen'', les foncteurs que nous appelons résolutions. Un exemple d'une résolution est donné par un foncteur de la catégorie des arbres planaires stables de Kontsevich-Soibelman, au groupoïde fondamental stratifié de l'espace de Ran du $2$-disque / This thesis is devoted to the study of families of categories equipped with a homotopical structure. The principal results comprising this work are:i. A generalisation of the Reedy model structure, which, in this work, is constructed for sections of a suitable family of model categories over a Reedy category. Unlike previous considerations, such as Hirschowitz-Simpson, we require as little as possible from the family, so that our result may be applied in situations when the transition functors in the family are non-linear in nature. ii. An extension of Segal formalism for algebraic structures to the setting of monoidal categories over an operator category in the sense of Barwick. We do this by treating monoidal structures using the language of Grothendieck opfibrations, and introduce derived sections of the latter using the simplicial replacements of Bousfield-Kan. Our Reedy structure result then permits to work with derived sections. iii. A proof of a certain homotopy descent result, which gives sufficient conditions on when an inverse image functor is an equivalence between suitable categories of derived sections. We show this result for functors which satisfy a technical ``Quillen Theorem A''-type property, called resolutions. One example of a resolution is given by a functor from the category of planar marked trees of Kontsevich-Soibelman, to the stratified fundamental groupoid of the Ran space of the $2$-disc. An application of the homotopy descent result to this functor gives us a new proof of Deligne conjecture, providing an alternative to the use of operads

Cette thèse de doctorat a pour sujet les modèles de la théorie homotopique des types avec l'Axiome d'Univalence introduit par Vladimir Voevodsky. L'auteur prend pour cadre de travail les définitions de type-theoretic model category, type-theoretic fibration category (cette dernière étant la notion de modèle considérée dans cette thèse) et d'univers dans une type-theoretic fibration category, définitions dues à Michael Shulman. La problématique principale de cette thèse consiste à approfondir notre compréhension de la stabilité de l'Axiome d'Univalence pour les catégories de préfaisceaux, en particulier pour les groupoïdes équipés d'une involution. / This PhD thesis deals with some new models of Homotopy Type Theory and the Univalence Axiom introduced by Vladimir Voevodsky. Our work takes place in the framework of the definitions of type-theoretic model categories, type-theoretic fibration categories (the notion of model under consideration in this thesis) and universe in a type-theoretic fibration category, definitions due to Michael Shulman. The goal of this thesis consists mainly in the exploration of the stability of the Univalence Axiom for categories of functors , especially for groupoids equipped with involutions.

Dans cette thèse nous développons une théorie de catégories faiblement enrichies . Par 'faiblement' on comprendra ici une catégorie dont la composition de morphismes est associative à homotopie près; à l'inverse d'une catégorie enrichie classique où la composition est strictement associative. Il s'agit donc de notions qui apparaissent dans un contexte homotopique. Nous donnons une notion de catégorie enrichie de Segal et une notion de catégorie enrichie co-Segal; chacune de ces notions donnant lieu à une structure de catégorie supérieure. L'une des motivations de ce travail était de fournir une théorie de catégories linéaires supérieures, connues pour leur importance dans des différents domaines des mathématiques, notamment dans les géométries algébriques commutative et non-commutative. La première partie de la thèse est consacrée à la notion de catégorie enrichie de Segal. Nous définissons une telle catégorie enrichie comme morphisme (colax) de 2-catégories satisfaisant certaines conditions dites conditions de Segal . Le fil rouge de notre démarche est la définition de monoïde à homotopie près donnée par Leinster. Les monoïdes de Leinster correspondent précisément aux catégories enrichies de Segal avec un seul objet; ici on suit la coutume en théorie des catégories qui consiste à identifier un monoïde avec l'espace des endomorphismes d'un objet. Notre contribution ici est donc une généralisation des travaux de Leinster. Nous montrons comment notre formalisme couvre le cas des catégories de Segal classique, les monoïdes de Leinster et surtout apporte une définition de DG-catégorie de Segal. Les catégories enrichies 'classiques' sont des catégorie enrichies sur une catégorie monoïdale. L'École australienne a étudié la notion plus générale de catégorie enrichie lorsqu'on remplace 'monoïdale' par '2-catégorie'. Notre formalisme généralise de manière naturelle le cas australien en ajoutant de l'homotopie dans la 2-catégorie sur laquelle on enrichit. Les principaux résultats de la thèse sont dans la deuxième partie qui porte sur les catégories enrichies co-Segal. Nous avons introduit ces nouvelles structures lorsqu'on s'est aperçu que les catégories enrichies de Segal ne sont pas faciles à manipuler pour faire une théorie de l'homotopie. En effet il semble devoir imposer une condition supplémentaire qui est trop restrictive dans beaucoup de cas. Ces nouvelles catégories s'obtiennent en 'renversant' la situation du cas Segal, d'où le préfixe 'co' dans 'co-Segal'. Nous définissons une catégorie co-Segal comme morphisme (lax) de 2-catégories satisfaisant des conditions co-Segal . Ces structures se révèlent plus souples à manipuler et notamment pour faire de l'homotopie. Notre résultat principal est l'existence d'une structure de modèles au sens de Quillen sur la catégorie des précatégories co-Segal; avec comme particularité que les objets fibrants sont des catégories co-Segal. Cette structure de modèle s'obtient comme localisation de Bousfield et repose sur des méthodes initialement développées par Jardine et Joyal.