Thesis (MSc)--Stellenbosch University, 2014. / ENGLISH ABSTRACT: In this thesis we develop a self-dual categorical approach to some topics in non-abelian algebra, which is based on replacing the framework of a category with that of a category equipped with a functor to it. We also make some first steps towards a possible link between this theory and the theory of databases in computer science. Both of these theories are based around the study of Grothendieck bifibrations and their generalisations. The main results in this thesis concern correspondences between certain structures on a category which are relevant to the study of categories of non-abelian group-like structures, and functors over that category. An investigation of these correspondences leads to a system of dual axioms on a functor, which can be considered as a solution to the proposal of Mac Lane in his 1950 paper "Duality for Groups" that a self-dual setting for formulating and proving results for groups be found. The part of the thesis concerned with the theory of databases is based on a recent approach by Johnson and Rosebrugh to views of databases and the view update problem. / AFRIKAANSE OPSOMMING: In hierdie tesis word ’n self-duale kategoriese benadering tot verskeie onderwerpe in nie-abelse algebra ontwikkel, wat gebaseer is op die vervanging van die raamwerk van ’n kategorie met dié van ’n kategorie saam met ’n funktor tot die kategorie. Ons neem ook enkele eerste stappe in die rigting van ’n skakel tussen hierdie teorie and die teorie van databasisse in rekenaarwetenskap. Beide hierdie teorieë is gebaseer op die studie van Grothendieck bifibrasies en hul veralgemenings. Die hoof resultate in hierdie tesis het betrekking tot ooreenkomste tussen sekere strukture op ’n kategorie wat relevant tot die studie van nie-abelse groep-agtige strukture is, en funktore oor daardie kategorie. ’n Verdere ondersoek van hierdie ooreemkomste lei tot ’n sisteem van duale aksiomas op ’n funktor, wat beskou kan word as ’n oplossing tot die voorstel van Mac Lane in sy 1950 artikel “Duality for Groups” dat ’n self-duale konteks gevind word waarin resultate vir groepe geformuleer en bewys kan word. Die deel van hierdie tesis wat met die teorie van databasisse te doen het is gebaseer op ’n onlangse benadering deur Johnson en Rosebrugh tot aansigte van databasisse en die opdatering van hierdie aansigte.

Cette thèse est consacrée à l'étude des familles de catégories munies d'une structure homotopique. Les résultats principaux compris dans cette oeuvre sont : i. Une généralisation de la structure de modèles de Reedy, qui dans ce travail est construite pour les sections d'une famille convenable des catégories de modèles sur une catégorie de Reedy. À la différence des considérations précédentes, par exemple celles de Hirschowitz-Simpson, nous exigeons aussi peu de propriétés de la famille que possible, pour que notre résultat puisse être appliqué dans les situations où les foncteurs de transition ne sont pas linéaires. ii. Une extension du formalisme de Segal pour les structures algébriques, dans le territoire des catégories monoïdales sur une catégorie d'opérateurs au sens de Barwick. Pour ce faire, nous présentons les structures monoidales comme certaines opfibrations de Grotendieck, et introduisons les sections dérivées des opfibrations en utilisant les remplacements simpliciaux de Bousfield-Kan. Notre résultat concernant la structure de Reedy nous permet alors de travailler avec les sections dérivées. iii. Une preuve d'un certain résultat de la descente homotopique, qui donne des conditions suffisantes pour que le foncteur d'image inverse soit une équivalence entre catégories de sections dérivées au sens adapté. L'on montre ce résultat pour les foncteurs qui satisfont une propriété technique du genre ``Théorème A de Quillen'', les foncteurs que nous appelons résolutions. Un exemple d'une résolution est donné par un foncteur de la catégorie des arbres planaires stables de Kontsevich-Soibelman, au groupoïde fondamental stratifié de l'espace de Ran du $2$-disque / This thesis is devoted to the study of families of categories equipped with a homotopical structure. The principal results comprising this work are:i. A generalisation of the Reedy model structure, which, in this work, is constructed for sections of a suitable family of model categories over a Reedy category. Unlike previous considerations, such as Hirschowitz-Simpson, we require as little as possible from the family, so that our result may be applied in situations when the transition functors in the family are non-linear in nature. ii. An extension of Segal formalism for algebraic structures to the setting of monoidal categories over an operator category in the sense of Barwick. We do this by treating monoidal structures using the language of Grothendieck opfibrations, and introduce derived sections of the latter using the simplicial replacements of Bousfield-Kan. Our Reedy structure result then permits to work with derived sections. iii. A proof of a certain homotopy descent result, which gives sufficient conditions on when an inverse image functor is an equivalence between suitable categories of derived sections. We show this result for functors which satisfy a technical ``Quillen Theorem A''-type property, called resolutions. One example of a resolution is given by a functor from the category of planar marked trees of Kontsevich-Soibelman, to the stratified fundamental groupoid of the Ran space of the $2$-disc. An application of the homotopy descent result to this functor gives us a new proof of Deligne conjecture, providing an alternative to the use of operads