Dans cette thèse, on définit et on étudie les notions de structure de Poisson et coïsotrope sur un champ dérivé, dans le contexte de la géométrie algébrique dérivée. On considère deux présentations différentes de structure de Poisson : la première est purement algébrique, alors que la deuxième est plus géométrique. On montre que les deux approches sont en fait équivalentes. On introduit aussi la notion de structure coïsotrope sur un morphisme de champs dérivés, encore une fois en présentant deux définitions équivalentes : la première est basée sur une généralisation appropriée de l'opérade Swiss-Cheese de Voronov, tandis que la deuxième est formulée en termes de champs de multivecteurs rélatifs. En particulier, on montre que le morphisme identité admet une unique structure coïsotrope ; cela produit une application d'oubli des structures de Poisson n-décalées aux structures de Poisson (n-1)-décalées. On montre aussi que l'intersection de deux morphismes coïsotropes dans un champ de Poisson n-décalée est naturellement equipée d'une structure de Poisson (n-1)-décalée canonique. En outre, on fournit une équivalence entre l'espace de structures coïsotropes non-dégénérées et l'espace des structures Lagrangiennes en géométrie dérivée, introduites dans les travaux de Pantev-Toën-Vaquié-Vezzosi. / In this thesis, we define and study Poisson and coisotropic structures on derived stacks in the framework of derived algebraic geometry. We consider two possible presentations of Poisson structures of different flavour: the first one is purely algebraic, while the second is more geometric. We show that the two approaches are in fact equivalent. We also introduce the notion of coisotropic structure on a morphism between derived stacks, once again presenting two equivalent definitions: one of them involves an appropriate generalization of the Swiss Cheese operad of Voronov, while the other is expressed in terms of relative polyvector fields. In particular, we show that the identity morphism carries a unique coisotropic structure; in turn, this gives rise to a non-trivial forgetful map from n-shifted Poisson structures to (n-1)-shifted Poisson structures. We also prove that the intersection of two coisotropic morphisms inside a n-shifted Poisson stack is naturally equipped with a canonical (n-1)-shifted Poisson structure. Moreover, we provide an equivalence between the space of non-degenerate coisotropic structures and the space of Lagrangian structures in derived geometry, as introduced in the work of Pantev-Toën-Vaquié-Vezzosi.

Dans cette thèse nous développons une théorie de catégories faiblement enrichies . Par 'faiblement' on comprendra ici une catégorie dont la composition de morphismes est associative à homotopie près; à l'inverse d'une catégorie enrichie classique où la composition est strictement associative. Il s'agit donc de notions qui apparaissent dans un contexte homotopique. Nous donnons une notion de catégorie enrichie de Segal et une notion de catégorie enrichie co-Segal; chacune de ces notions donnant lieu à une structure de catégorie supérieure. L'une des motivations de ce travail était de fournir une théorie de catégories linéaires supérieures, connues pour leur importance dans des différents domaines des mathématiques, notamment dans les géométries algébriques commutative et non-commutative. La première partie de la thèse est consacrée à la notion de catégorie enrichie de Segal. Nous définissons une telle catégorie enrichie comme morphisme (colax) de 2-catégories satisfaisant certaines conditions dites conditions de Segal . Le fil rouge de notre démarche est la définition de monoïde à homotopie près donnée par Leinster. Les monoïdes de Leinster correspondent précisément aux catégories enrichies de Segal avec un seul objet; ici on suit la coutume en théorie des catégories qui consiste à identifier un monoïde avec l'espace des endomorphismes d'un objet. Notre contribution ici est donc une généralisation des travaux de Leinster. Nous montrons comment notre formalisme couvre le cas des catégories de Segal classique, les monoïdes de Leinster et surtout apporte une définition de DG-catégorie de Segal. Les catégories enrichies 'classiques' sont des catégorie enrichies sur une catégorie monoïdale. L'École australienne a étudié la notion plus générale de catégorie enrichie lorsqu'on remplace 'monoïdale' par '2-catégorie'. Notre formalisme généralise de manière naturelle le cas australien en ajoutant de l'homotopie dans la 2-catégorie sur laquelle on enrichit. Les principaux résultats de la thèse sont dans la deuxième partie qui porte sur les catégories enrichies co-Segal. Nous avons introduit ces nouvelles structures lorsqu'on s'est aperçu que les catégories enrichies de Segal ne sont pas faciles à manipuler pour faire une théorie de l'homotopie. En effet il semble devoir imposer une condition supplémentaire qui est trop restrictive dans beaucoup de cas. Ces nouvelles catégories s'obtiennent en 'renversant' la situation du cas Segal, d'où le préfixe 'co' dans 'co-Segal'. Nous définissons une catégorie co-Segal comme morphisme (lax) de 2-catégories satisfaisant des conditions co-Segal . Ces structures se révèlent plus souples à manipuler et notamment pour faire de l'homotopie. Notre résultat principal est l'existence d'une structure de modèles au sens de Quillen sur la catégorie des précatégories co-Segal; avec comme particularité que les objets fibrants sont des catégories co-Segal. Cette structure de modèle s'obtient comme localisation de Bousfield et repose sur des méthodes initialement développées par Jardine et Joyal.