University, Diss., 2004--Münster (Westfalen).

Proefschrift Universiteit van Amsterdam. / Met lit. opg. - Met samenvatting in het Nederlands.

Thèse (M.Sc.)--Université Laval, 2008. / Bibliogr.: f. [87]-88. Publié aussi en version électronique dans la Collection Mémoires et thèses électroniques.

Th. 3e cycle--Math. pures--Grenoble 1, 1982. N°: 7.

Th.--Sci. math.--Besançon, 1980. N°: 141. / Extr. en partie du Bulletin de la Société mathématique de France, 104, 1976, 301-307 ; des Anales de l'Institut Fourier, 27, 2, 1977, 37-59 ; de Journal of mathematical sociology, 30, 2, 1978, 279-285 ; de Journal für die reine und angewandte Mathematik, 307-308, 1979, 134-159 et de Société mathématique de France, Astérisque 61, 1979, 169-175.

La théorie de l'homologie fournit des solutions nouvelles et efficaces pour régler le problème de trou de couverture dans les réseaux de capteurs sans fil. Ils sont basés sur deux objets combinatoires nommés complexe de Cech et complexe de Rips. Le complexe de Cech peut détecter l'intégralité des trous de couverture, mais il est très difficile à construire. Le complexe de Rips est facile à construire, mais il est imprécis dans certaines situations. Dans la première partie de cette thèse, nous choisissons la proportion de la surface de trous manqués par le complexe de Rips comme une mesure d'évaluer l'exactitude de la détection de trou de couverture basée sur l'homologie. Des expressions fermées pour les bornes inférieures et supérieures de la proportion sont dérivés. Les résultats de simulation sont bien compatibles avec les bornes inférieure et supérieure calculés analytiquement, avec des différences maximales de 0.5% et 3%. En outre, nous étendons l'analyse au cas de la sphère. Dans la deuxième partie, nous proposons d'abord un algorithme distribué basé sur les graphes pour détecter les trous non triangulaires. Cet algorithme présente une grande complexité. Nous proposons donc un autre algorithme distribué plus efficace basé sur l'homologie. Cet algorithme ne nécessite que des informations de 1- et 2-saut nœuds voisins et a la complexité O(n3) où n est le nombre maximum de nœuds voisins à 1 saut. Il peut détecter avec précision les cycles frontières d'environ 99% des trous de couverture dans environ 99% des cas. / Homology theory provides new and powerful solutions to address the coverage hole problem in wireless sensor networks (WSNs). They are based on two combinatorial objects named Cech complex and Rips complex. Cech complex can fully characterize coverage properties of a WSN (existence and locations of holes), but it is very difficult to construct. Rips complex is easy to construct but it may miss some coverage holes. In the first part of this thesis, we choose the proportion of the area of holes missed by Rips complex as a metric to evaluate the accuracy of homology based coverage hole detection. Closed form expressions for lower and upper bounds of the proportion are derived. Simulation results are well consistent with the analytical lower and upper bounds, with maximum differences of 0.5% and 3%. In addition, we extend the analysis to the sphere case. In the second part, we first propose a graph based distributed algorithm to detect non-triangular holes. This algorithm exhibits high complexity. We thus propose another efficient homology based distributed algorithm. This algorithm only requires 1- and 2-hop neighbour nodes information and has the worst case complexity O(n3) where n is the maximum number of 1-hop neighbour nodes. It can accurately detect the boundary cycles of about 99% coverage holes in about 99% cases.

Habil.-Schrift Uniw. Mikołaja Kopernika, 2003.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans cette thèse, nous étudions des théories homologiques et cohomologiques adaptées aux algèbres de Hopf.<br />Dans un premier temps, nous unifions diverses théories cohomologiques pour les algèbres de Hopf. Deux d'entre elles ont été introduites par M. Gerstenhaber et S.D. Schack; l'une est sans coefficients et elle est liée à la cohomologie qui permet d'étudier les déformations d'une algèbre de Hopf, l'autre est une théorie à coefficients (qui sont des bimodules de Hopf). La troisième est une généralisation de la cohomologie qui a été définie par C. Ospel, il s'agit aussi d'une théorie à coefficients. Pour unifier ces théories, nous les identifions au foncteur Ext sur une algèbre associative définie par C. Cibils et M. Rosso qui est une ``algèbre enveloppante'' associée à l'algèbre de Hopf. Nous établissons ensuite des formules explicites pour un cup-produit sur deux de ces cohomologies, et montrons que ce produit correspond au produit de Yoneda des extensions. Nous montrons aussi la Morita invariance de ces cohomologies.<br />La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'une homologie cyclique pour les algèbres de Hopf. Il s'agit d'une version duale de la cohomologie qu'ont introduite A. Connes et H. Moscovici. Nous en étudions des propriétés, puis considérons le cas des algèbres de groupe. Nous interprétons certaines décompositions (de Burghelea et de Karoubi-Villamayor) de l'homologie cyclique classique d'une algèbre de groupe en termes d'homologie cyclique de Connes et Moscovici. Nous établissons ensuite une formule de décomposition (semblable à celle de Karoubi-Villamayor) de l'homologie cyclique d'une algèbre de Hopf cocommutative (qui généralise un résultat de Khalkhali et Rangipour).<br />Enfin, nous calculons quelques exemples d'homologies: l'homologie cyclique classique des algèbres de carquois tronquées, ainsi que l'homologie cyclique de Connes et Moscovici dans le cas particulier des algèbres de Taft. Nous calculons aussi l'homologie de Hochschild et l'homologie cyclique classique des algèbres d'Auslander des algèbres de Taft.

Cette thèse établit, et étudie, un lien entre l'homologie de Khovanov et la topologie des revêtements ramifiés doubles. Nous y introduisons certaines propriétés de stabilité en homologie de Khovanov, dont nous dérivons par la suite des obstructions à l'existence de certaines chirurgies exceptionnelles sur les noeuds admettant une involution appropriée. Ce comportement, analogue à celui de l'homologie de Heegaard-Floer sous chirurgie, renforce ainsi le lien existant (dû à Ozsváth et Szabó) entre homologie de Khovanov, et homologie d'Heegaard-Floer des revêtements ramifiés doubles. Dans l'optique de poursuivre et d'exploiter plus avant cette relation, les méthodes développées dans ce travail sont appliquées à l'étude des L-espaces, et à déterminer, en premier lieu, si l'homologie de Khovanov fournit un invariant des revêtements ramifiés doubles, et en deuxième lieu, si l'homologie de Khovanov permet de détecter le noeud trivial. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Homologie de Khovanov, Homologie de Heegaard-Floer, Chirurgies de Dehn, Involutions, Variétés de dimension trois, Revêtements ramifiés doubles.