Dans les années 80, Shimomura a déterminé les groupes d'homotopie du spectre de Moore V(0) localisé par rapport à K(2) la deuxième K-théorie de Morava. Plus tard, avec les travaux de Devinatz et Hopkins est apparu une autre suite spectrale convergeant vers les précédents groupes d'homotopies. Lorsque le paramètre premier p de la théorie K(2) est supérieur ou égal à cinq, la précédente suite spectrale dégénère. Ainsi, déterminer ces groupes d'homotopie revient à calculer les groupes de cohomologie du groupe stabilisateur de Morava à coefficients dans l'anneau de Lubin-Tate modulo p. En 2007, Henn a démontré l'existence, lorsque p > 3, d'une résolution projective du groupe de Morava de longueur quatre. Dans cette thèse, nous précisons une telle résolution projective. On l'applique ensuite au calcul effectif des groupes de cohomologie à coefficients dans l'anneau de Lubin-Tate modulo p. Enfin, on donne une seconde application, en redémontrant un résultat de Hopkins non publié sur le groupe de Picard de la catégorie des spectres K(2)-locaux. / In the 80's, Shimomura has computed the homotopy groups of the Moore spectrum V(0) localized with respect to Morava K-theory K(2). Some years later, Devinatz and Hopkins found an other spectral sequence converging to those homotopy groups. When the prime paramater p of K(2) is greather or equal to five, the preceding spectral collapses. Thus, computing those homotopy groups consists in computing the cohomology groups of Morava Stabilizer Group with coefficients in the Lubin-Tate ring mod p. In 2007, Henn has showed that there exists, when p >3, a projective resolution of the Morava stabilizer group of length four. In this thesis, we give a more precise description of this resolution. Then, we use it for the computation of the cohomology groups of Morava Stabilizer Group with coefficients in the Lubin-Tate ring mod p. As a second application, we give an other proof of the unpublished result of Hopkins on the Picard group of the K(2)-local spectrum category.

A relação entre os grupos de tranças de superfícies e os grupos de homotopia das esferas é atualmente um tópico de bastante interesse. Nos últimos anos tem sido feitos avanços consideráveis no estudo desta relação no caso dos grupos de tranças de Artin com n cordas, denotado por Bn, da esfera e do plano projetivo. Nessa tese analisamos com detalhes as interações entre a teoria de tranças e a teoria de homotopia, e mostramos novos resultados que estabelecem conexões entre os grupos de homotopia da 2-esfera S2 e os grupos de tranças sobre qualquer superfície. No andamento deste trabalho, descobrimos uma conexão surpreendente dos grupos de tranças com os grupos cristalográficos e de Bieberbach: para n maior ou igual que 3, o grupo quociente Bn/[Pn, Pn] é um grupo cristalográfico que contém grupos de Bieberbach como subgrupos, onde Pn é o subgrupo de tranças puras de Bn. Com isto obtivemos uma formulação de um Teorema de Auslander e Kuranishi para 2-grupos finitos e exibimos variedades Riemannianas compactas planas que admitem difeomorfismo de Anosov e cujo grupo de holonomia é Z2k . Além disso, durante esta tese, detectamos e, quando possível, corrigimos algumas imprecisões em dois importantes artigos nessa área de estudo, escritos por J. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong e J. Wu (Jour. Amer. Math. Soc. - 2006) assim como por J. Y. Li e J.Wu (Proc. London Math. Soc. - 2009). / The relation between surface braid groups and homotopy groups of spheres is currently a subject of great interest. Considerable progress has been made in recent years in the study of these relations in the case of the n-string Artin braid groups, denoted by Bn, the sphere and the projective plane. In this thesis we analyse in detail the interactions between braid theory and homotopy theory, and we present new results that establish connections between the homotopy groups of the 2-sphere S2 and the braid groups of any surface. During the course of this work, we discovered an unexpected connection of braid groups with crystallographic and Bieberbach groups: for n greater or equal than 3, the quotient group Bn/[Pn, Pn] is a crystallographic group that contains Bieberbach groups as subgroups, where Pn is the pure braid subgroup of Bn. This enables us to obtain a formulation of a theorem of Auslander and Kuranishi for finite 2-groups, and to exhibit Riemannian compact flat manifolds that admit Anosov diffeomorphisms and whose holonomy group is Z2k. In addition, during the thesis, we have detected, and where possible, corrected some inaccuracies in two important papers in the area of study, by J. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong and J. Wu (Jour. Amer. Math. Soc. - 2006), and by J. Y. Li and J. Wu (Proc. London Math. Soc. - 2009).

A relação entre os grupos de tranças de superfícies e os grupos de homotopia das esferas é atualmente um tópico de bastante interesse. Nos últimos anos tem sido feitos avanços consideráveis no estudo desta relação no caso dos grupos de tranças de Artin com n cordas, denotado por Bn, da esfera e do plano projetivo. Nessa tese analisamos com detalhes as interações entre a teoria de tranças e a teoria de homotopia, e mostramos novos resultados que estabelecem conexões entre os grupos de homotopia da 2-esfera S2 e os grupos de tranças sobre qualquer superfície. No andamento deste trabalho, descobrimos uma conexão surpreendente dos grupos de tranças com os grupos cristalográficos e de Bieberbach: para n maior ou igual que 3, o grupo quociente Bn/[Pn, Pn] é um grupo cristalográfico que contém grupos de Bieberbach como subgrupos, onde Pn é o subgrupo de tranças puras de Bn. Com isto obtivemos uma formulação de um Teorema de Auslander e Kuranishi para 2-grupos finitos e exibimos variedades Riemannianas compactas planas que admitem difeomorfismo de Anosov e cujo grupo de holonomia é Z2k . Além disso, durante esta tese, detectamos e, quando possível, corrigimos algumas imprecisões em dois importantes artigos nessa área de estudo, escritos por J. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong e J. Wu (Jour. Amer. Math. Soc. - 2006) assim como por J. Y. Li e J.Wu (Proc. London Math. Soc. - 2009). / The relation between surface braid groups and homotopy groups of spheres is currently a subject of great interest. Considerable progress has been made in recent years in the study of these relations in the case of the n-string Artin braid groups, denoted by Bn, the sphere and the projective plane. In this thesis we analyse in detail the interactions between braid theory and homotopy theory, and we present new results that establish connections between the homotopy groups of the 2-sphere S2 and the braid groups of any surface. During the course of this work, we discovered an unexpected connection of braid groups with crystallographic and Bieberbach groups: for n greater or equal than 3, the quotient group Bn/[Pn, Pn] is a crystallographic group that contains Bieberbach groups as subgroups, where Pn is the pure braid subgroup of Bn. This enables us to obtain a formulation of a theorem of Auslander and Kuranishi for finite 2-groups, and to exhibit Riemannian compact flat manifolds that admit Anosov diffeomorphisms and whose holonomy group is Z2k. In addition, during the thesis, we have detected, and where possible, corrected some inaccuracies in two important papers in the area of study, by J. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong and J. Wu (Jour. Amer. Math. Soc. - 2006), and by J. Y. Li and J. Wu (Proc. London Math. Soc. - 2009).

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