Les espaces de Sobolev jouent un rôle central dans la théorie des équations aux dérivées partielles. Les théorèmes de plongement de ces espaces dans les espaces de Lebesgue se traduisent en inégalités dites de Sobolev. Elles sont devenues un outil fondamental en analyse. Ces notions ont été introduites par S. L. Sobolev à la fin des années~30. D'autres mathématiciens se sont intéressés à ce domaine. On peut notamment citer les travaux d'E. Gagliardo et L. Nirenberg dans les années~50. L'étude des inégalités de Sobolev optimales trouve ses origines dans de grands problèmes d'analyse tels que le problème de Yamabe. Il existe plusieurs façons d'aborder cette étude. Nous parlerons plus particulièrement de programme AB et de programme BA. Le premier programme a été étudié, entre autre, par T. Aubin, O. Druet, E. Hebey et M. Vaugon. Le second trouve sa source en théorie des semi-groupes de Markov. Il a notamment été étudié par D. Bakry et M. Ledoux. Les inégalités de Sobolev sont un cas particulier des inégalités de Gagliardo-Nirenberg. Il est donc naturel de se demander si les résultats connus pour les inégalités de Sobolev s'adaptent aux autres inégalités de la famille. Les premiers travaux de ce type se sont portés sur l'inégalité de Nash et les inégalités de Sobolev logarithmique. Dans cette thèse, nous obtenons une généralisation de ces travaux à une famille d'inégalités plus large. Plus précisément, nous adaptons les programmes AB et BA à une sous-famille des inégalités de Gagliardo-Nirenberg contenant, entre autres, l'inégalité de Nash.