Let E and F be Hilbert C*-modules over a C*-algebra A. New classes of (possibly unbounded) operators t: E->F are introduced and investigated - first of all graph regular operators. Instead of the density of the domain D(t) we only assume that t is essentially defined, that is, D(t) has an trivial ortogonal complement. Then t has a well-defined adjoint. We call an essentially defined operator t graph regular if its graph G(t) is orthogonally complemented and orthogonally closed if G(t) coincides with its biorthogonal complement. A theory of these operators and related concepts is developed: polar decomposition, functional calculus. Various characterizations of graph regular operators are given: (a, a_*, b)-transform and bounded transform. A number of examples of graph regular operators are presented (on commutative C*-algebras, a fraction algebra related to the Weyl algebra, Toeplitz algebra, C*-algebra of the Heisenberg group). A new characterization of operators affiliated to a C*-algebra in terms of resolvents is given as well as a Kato-Rellich theorem for affiliated operators. The association relation is introduced and studied as a counter part of graph regularity for concrete C*-algebras.:Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Sightings 1. Unitary *-module spaces Algebraic essence of adjointability on Hilbert C*-modules . . . . . 13 a) Operators on Hilbert C*-modules - Notions. . . . . . . . . . . . . . 13 b) Essential submodules and adjointability . . . . . . . . . . . . . . . . 15 c) From Hilbert C*-modules to unitary *-module spaces . . . . . . 16 2. Operators on unitary *-module spaces Basic theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Graph regularity Pragmatism between weak and (strong) regularity . . . . . . . . . 27 a) Types of regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 b) The case C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 c) Graph regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Transition. Orthogonal complementability and topology Back to Hilbert C*-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Graph regular operators on Hilbert C*-modules 4. Commutative case: Operators on C_0(X) Phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Interjection. Unboundedness and graph regularity . . . . . . . . . . 55 5. Relation to adjointable operators Sources of graph regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6. Concrete C*-algebras Association relation and affiliation relation . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7. Examples Graph regular operators that are not regular . . . . . . . . . . . . . 67 a) Position and momentum operators as graph regular operators on a fraction algebra related to the Weyl algebra . . 67 b) A graph regular but not regular operator on the group C*-algebra of the Heisenberg group . . . . . . . . . . . . . . . 69 c) Unbounded Toeplitz operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8. Bounded transform The canonical regular operator associated to a graph regular operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 9. Absolute value and polar decomposition . . . . . . . . . . . . . . . 79 10. Functional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 11. Special matrices of C*-algebras Counter examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Abstract and open questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Dank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Erklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Inspired by work of Hubery [Hub] and Fomin, Shapiro and Thurston [FST06] related to cluster algebras, we construct a bijection between certain curves on a cylinder and the string modules over a path algebra of type Ãn. We show that under this bijection irreducible maps and the Auslander-Reiten translation have a geometric interpretation. Furthermore we prove that the dimension of extension groups can be expressed in terms of intersection numbers. Finally we explain the connection to cluster algebras and apply our results to describe the exchange graph in type Ãn. / Angeregt durch Arbeiten zu Cluster-Algebren von Hubery [Hub] und Fomin, Shapiro und Thurston [FST06] konstruieren wir eine Bijektion zwischen gewissen Kurven auf einem Zylinder und den Fadenmoduln über einer Wege-Algebra vom Typ Ãn. Wir zeigen, daß unter dieser Bijektion sowohl irreduzible Abbildungen als auch die Auslander-Reiten-Verschiebung eine geometrische Interpretation haben. Weiterhin beweisen wir, daß sich die Dimension der Erweiterungsgruppen mittels Anzahlen von Schnittpunkten ausdrücken läßt. Schließlich erklären wir die Verbindung zu Cluster-Algebren und verwenden unsere Ergebnisse um den Austauschgraph im Typ Ãn zu beschreiben.

Context and lattice orbifolds have been discussed by M. Zickwolff, B. Ganter and D. Borchmann. Preordering the folding automorphisms by set inclusion of their orbits gives rise to further development. The minimal elements of this preorder have a prime group order and any group element can be dissolved into the product of group elements whose group order is a prime power. This contribution describes a way to compress an orbifold annotation to sets of such minimal automorphisms. This way a hierarchical annotation is described together with an interpretation of the annotation. Based on this annotation an example is given that illustrates the construction of an automaton for certain pattern matching problems in music processing.

Seit 1983 begründet die Publikationsreihe "Graph Minors" von N. Robertson und P.D. Seymour im Wesentlichen die Minorentheorie mit mächtigen Hilfsmitteln wie der Baumzerlegung und weitreichenden Resultaten wie dem Minorensatz. Für gerichtete Graphen existiert allerdings noch keine einheitliche Minorentheorie und verschiedene Ansätze werden in dieser Arbeit systematisiert. Einige gerichtete Versionen der Baumzerlegung (gerichtete Baumzerlegung nach B. Reed, arboreale, D- und DAG-Zerlegung) werden unter einheitlichen Aspekten untersucht. Die D-Weite ist dabei besonders vielversprechend. Enge Verbindungen zu zwei gerichteten Räuber-und-Gendarmen-Spielen werden unter analogen Aspekten betrachtet und sind wichtige Hilfsmittel. Der zentrale Begriff des Minoren ist im Wesentlichen für ungerichtete Graphen definiert und eine gerichtete Version wirft einige Probleme auf, welche untersucht werden. In \"Directed Tree-Width\" schlugen T. Johnson, N. Robertson, P.D. Seymour und R. Thomas 2001 einen Kompromiss vor. Durch Einschränkung der möglichen Kontraktionen soll der gewonnen Minorenbegriff mit einigen fundamentalen Anforderungen vereinbar sein und trotzdem ein mächtiges Werkzeug darstellen. Dieser Ansatz wird mit einer Anforderungsliste systematisch verfolgt und schrittweise Einschränkungen betrachtet. Die gerichtete Version topologischer Minoren ist dabei besonders vielversprechend. Die Minorentheorie gerichteter Graphen wird auf reduzible Flussgraphen angewandt. Wesentliche Resultate sind Konstruktionen arborealer und D-Zerlegungen mit Weite <2, sowie Gegenbeispiele für die Beschränktheit der DAG-Weite. Analoge Resultate folgen für die jeweiligen gerichteten Räuber-und-Gendarmen-Spiele.:1 Einleitung 1.1 Grundbegriffe der Graphentheorie 1.2 Reduzibilität 2 Über Minoren von Graphen 2.1 Minoren von Graphen 2.2 Topologische Minoren von Graphen 2.3 Baumzerlegung und Baumweite tw(G) 2.4 Wegzerlegung und Wegbreite pw(G) 2.5 Räuber-und-Gendarmen-Spiele auf Graphen 2.6 Resultate und Anwendungen 3 Über Minoren von Digraphen 3.1 Übertragung der Minorenrelation auf Digraphen 3.2 Hindernisse bei der De?nition einer gerichteten Baumweite 3.3 Arboreale Weite dtw(D) 3.3.1 Arboreale Weite und Räuber-und-Gendarmen-Spiele 3.3.2 Resultate und Anwendungen 3.4 Gerichtete Baumweite dtwR(D) 3.5 D-Weite dw(D) 3.6 DAG-Weite dgw(D) 3.6.1 DAG-Weite und Räuber-und-Gendarmen-Spiele 3.6.2 Resultate und Anwendungen 3.7 Räuber-und-Gendarmen-Spiele auf Digraphen 3.8 Eingeschränkte Minorenrelation für Digraphen 3.8.1 Die Teilgraphenrelation für Digraphen 3.8.2 Die topologische Minorenrelation für Digraphen 3.8.3 Die Minorenrelation auf Digraphen nach JRST 3.8.4 Eingeschränkte Minorenrelationen 4 Verbindungen zwischen Reduzibilität und Minoren von Digraphen 4.1 Reduzibilität und initiale Wurzeldigraphen 4.2 Charakterisierung der Reduzibilität durch eingeschränkte Minoren 4.3 Resultate der Minorentheorie für reduzible initiale Wurzeldigraphen 5 Zusammenfassung und Ausblick Literaturverzeichnis Abbildungsverzeichnis

Inspired by Happel's question, whether the exchange graph and the simplicial complex of tilting modules over a quiver algebra are independent from the multiplicities of multiple arrows in the quiver, we study quantitative aspects of Fomin and Zelevinsky's quiver mutation rule. Our results turn out to be very useful in the mutation-infinite case for understanding combinatorial structures as the cluster exchange graph or the simplicial complex of tilting modules, which are governed by quiver mutation. Using a class of quivers we call forks we can show that any such quiver yields a tree in the exchange graph. This allows us to provide a good global description of the exchange graphs of arbitrary mutation-infinite quivers. In particular we show that the exchange graph of an acyclic quiver is a tree if (and in fact only if) any two vertices are connected by at least two arrows. Furthermore we give classification results for the simplicial complexes and thereby obtain a partial positive answer to Happel's question. Another consequence of our findings is a confirmation of Unger's conjecture about the infinite number of components of the tilting exchange graph in all but finitely many cases. Finally we generalise and conceptualise our results by introducing what we call "polynomial quivers", stating several conjectures about "polynomial quiver mutation", and giving proofs in special cases.

In this thesis, we develop a framework that generalizes the previously known notions of theta-summable Fredholm modules to the setting of locally convex dg algebras. By introducing an additional action of the Clifford algebra, we may treat the even and odd cases simultaneously. In particular, we recover the theory developed by Güneysu/Ludewig and extend the definition of odd theta-summable Fredholm modules to the differential graded category. We then construct a Chern character, which serves as a differential graded refinement of the JLO cocycle, and prove that it has all the expected analytical and homological properties. As an application, we prove an odd noncommutative index theorem relating the spectral flow of a theta-summable Fredholm module to the pairing of the Chern character with the odd Bismut-Chern character in entire (differential graded) cyclic homology, thereby extending results obtained by Güneysu/Cacciatori and Getzler.

Thermodynamic processes in finite time are in general irreversible. But there are chances to avoid irreversibility. For instance, there are canonical ensembles of special quantum systems with a given probability distribution describing the likelihood to find the system at time t=0 in a particular state with energy E_i(0), which can be controlled in a specific way, such that the initial probability distribution is recovered at the end of the process (t=T), but the state energies did change, hence E_i(0) is not equal to E_i(T). This allows to change thermodynamic quantities (expectation values) adiabatically, reversibly and in finite time. Such special processes are called Shortcuts to Adiabaticity. The presented thesis analyzes the origin of these shortcuts utilizing special Hamiltonian systems with dynamical algebra. Their main feature is to provide canonical invariance, which means a canonical ensemble stays canonical under Hamiltonian dynamics. This invariance carried by the dynamical algebra will be discussed using Lie group theory. In addition, the persistence of the dynamical algebra with respect to calculating expectation values will be deduced. This allows to benefit from all intrinsic symmetries within the discussion of ensemble trajectories. In consequence, these trajectories will evolve under Hamiltonian dynamics on a specific manifold given by the so-called Casimir companion. In addition, the deformation of this manifold due to non-Hamiltonian (dissipative) dynamics will be discussed, which allows to present a framework for modeling irreversible processes based on Hamiltonian systems with dynamical algebra. An application of this framework based on the parametric harmonic oscillator will be presented by determining time-optimal controls for transitions between two equilibrium as well as between non-equilibrium and equilibrium states. The latter one will lead to time-optimal equilibration strategies for a statistical ensemble of parametric harmonic oscillators. / Thermodynamische Prozesse in endlicher Zeit sind im Allgemeinen irreversibel. Es gibt jedoch Möglichkeiten, diese Irreversibilität zu umgehen. Ein kanonisches Ensemble eines speziellen quantenmechanischen Systems kann zum Beispiel auf eine ganz spezielle Art und Weise gesteuert werden, sodass nach endlicher Zeit T wieder eine kanonische Besetzungverteilung hergestellt ist, sich aber dennoch die Energie des Systems geändert hat (E(0) ungleich E(T)). Solche Prozesse erlauben das Ändern thermodynamischer Größen (Ensemblemittelwerte) der erwähnten speziellen Systeme in endlicher Zeit und auf eine adiabatische und reversible Art. Man nennt diese Art von speziellen Prozessen Shortcuts to Adiabaticity und die speziellen Systeme hamiltonsche Systeme mit dynamischer Algebra. Die vorliegende Dissertation hat zum Ziel den Ursprung dieser Shortcuts to Adiabaticity zu analysieren und eine Methodik zu entwickeln, die es erlaubt irreversible thermodynamische Prozesse adequat mittels dieser speziellen Systeme zu modellieren. Dazu wird deren besondere Eigenschaft ausgenutzt, die kanonische Invarianz, d.h. ein kanonisches Ensemble bleibt kanonisch bezüglich hamiltonscher Dynamik. Der Ursprung dieser Invarianz liegt in der dynamischen Algebra, die mit Hilfe der Theorie der Lie-Gruppen näher betrachtet wird. Dies erlaubt, eine weitere besondere Eigenschaft abzuleiten: Die Ensemblemittelwerte unterliegen ebenfalls den Symmetrien, die die dynamische Algebra widerspiegelt. Bei näherer Betrachtung befinden sich alle Trajektorien der Ensemblemittelwerte auf einer Mannigfaltigkeit, die durch den sogenannten Casimir Companion beschrieben wird. Darüber hinaus wird nicht-hamiltonsche/dissipative Dynamik betrachtet, welche zu einer Deformation der Mannigfaltigkeit führt. Abschließend wird eine Zusammenfassung der grundlegenden Methodik zur Modellierung irreversibler Prozesse mittels hamiltonscher Systeme mit dynamischer Algebra gegeben. Zum besseren Verständnis wird ein ausführliches Anwendungsbeispiel dieser Methodik präsentiert, in dem die zeitoptimale Steuerung eines Ensembles des harmonischen Oszillators zwischen zwei Gleichgewichtszuständen sowie zwischen Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtszuständen abgeleitet wird.