Beschreibung der Finite Elemente Software-Familie SPC-PM3-AdH-XX für: (S)cientific (P)arallel (C)omputing - (P)rogramm-(M)odul (3)D (ad)aptiv (H)exaederelemente. Für XX stehen die einzelnen Spezialvarianten, die in Teil 2 detailliert geschildert werden. Stand: Ende 2013:1 Vorbemerkungen 2 Probleme mit transversal-isotropem Material 3 Gleichungen vom Sattelpunktstyp 4 Probleme der Thermo-Elastizität 5 Nichtlineare Probleme der großen Deformationen

In this preprint, we look onto the theory of linear thermoelasticity. At the beginning, this theory is shortly repeated and afterwards applied to transversely isotropic materials. Then, the corresponding weak formulation is derived, which is the starting point for a FE-discretisation. In the last part, we explain how we added this material behaviour to an adaptive Finite-Element-code and show some numerical results.:1 Introduction 2 Theoretical Background 3 Special Cases of Linear Thermoelasticity 4 Weak Formulation 5 Implementation 6 Numerical Examples A. Results of the Computation

In this paper we study the error behavior of the well known fast Fourier transform for nonequispaced data (NFFT) with respect to the L2-norm. We compare the arising errors for different window functions and show that the accuracy of the algorithm can be significantly improved by modifying the shape of the window function. Based on the considered error estimates for different window functions we are able to state an easy and efficient method to tune the involved parameters automatically. The numerical examples show that the optimal parameters depend on the given Fourier coefficients, which are assumed not to be of a random structure or roughly of the same magnitude but rather subject to a certain decrease.

Zur numerischen Simulation piezoelektrischer Probleme mit linearem Materialgesetz wird die adaptive Finite-Element-Methode genutzt. Bei der Lösung der entstehenden Gleichungssysteme vom Sattelpunktstyp wird auf eine Variante des Bramble-Pasciak-CG zurückgegriffen. Die Einbettung von Projektionstechniken in den Löser erlaubt eine Behandlung von verschiedenen Problembesonderheiten, speziell wird hier auf die Fälle konstanten Potentials auf Teilrändern sowie Kontaktprobleme an wachsenden Rissen eingegangen. Erste numerische Ergebnisse werden an einigen Beispielen demonstriert.:1 Einführung 1.1 Problembeschreibung Piezoelektrizität 1.2 Abgeleitete Größen, Materialgesetz, Gleichungen 1.3 Bilinearformen, schwache Formulierung 2 Implementierung 2.1 Sattelpunktsproblem 2.2 FE-Formulierung 2.3 Löser und Vorkonditionierung 2.4 Adaptivität 3 Besonderheiten von Randbedingungen 3.1 Konstantes Potential auf Teilrändern 3.2 Rissproblem 4 Rissschließen und Kontaktproblem 4.1 Motivation für Risskontaktbetrachtung 4.2 Bezeichnungen 4.3 Kontaktproblem für Verschiebung und Behandlung des Potentials 4.4 FEM-Implementierung des Risskontaktes 4.5 Numerische Beispiele

Ziel dieser Arbeit ist die Simulation der Deformation von Bauteilen, welche aus nahezu inkompressiblem Material bestehen. Dabei soll sich das Material sowohl linear als auch nichtlinear elastisch verhalten können. Zusätzlich soll die Belastung des Bauteils beliebig gewählt werden können, das heißt, es sollen kleine als auch große Deformationen möglich sein.:1. Einleitung 2. Grundlagen 3. Aufgabenstellung für linear elastisches Material unter kleinen Deformationen 4. Gemischte Methode der finiten Elemente 5. Herleitung der Fehlerschätzung 6. Aufgabenstellung für nichtlinear elastisches Material unter großen Deformationen 7. Lösungsstrategie A. Anhang

Im Rahmen des Modellierungsseminars wurde die Kopplung einer Strömung mit der Ausbreitung einer reaktiven Substanz im Strömungsgebiet untersucht. Die Strömung wurde dabei durch die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben. Zusätzlich wurde ein mathematisches Modell für die Ausbreitung der Substanz durch eine Diffusions-Konvektions-Gleichung bestimmt. Beide wurden durch die FEM- Sofware NAVIER berechnet und simuliert.:0 Notation 3 1 Aufgabenstellung 4 1.1 Projekt 4 1.2 Navier-Stokes-Strömung gekoppelt mit (passivem) Transport einiger (reaktiver) Substanzen 4 2 Einleitung 6 2.1 Strömungslehre 6 2.2 Regelungstheorie 7 3 Mathematische Modellierung 8 3.1 Strömungsmodellierung 8 3.2 Modell zur Ausbreitung des gelösten Stoffes 8 3.3 Gekoppeltes Modell und Randbedingungen 12 3.4 Grenzschichten 13 3.5 Feedback-Steuerung 15 4 Numerische Simulation 19 4.1 Umsetzung des Modells in NAVIER 19 4.1.1 Mathematische Grundlagen für NAVIER 20 4.1.2 Problemimplementation 21 4.2 Beispielsimulation 24 4.2.1 Gebietstriangulation 24 4.2.2 Konfigurationsdaten sowie Anfangs- und Randbedingungen 25 4.2.3 Ergebnisauswertung 28 4.3 Zusatzfunktionen für die Regelung 34 4.3.1 outflow-Funktion 34 4.3.2 Systemmatrizen 34 4.3.3 Feedback-Funktion 34 5 Zusammenfassung/Ausblick 35 5.1 Zusammenfassung 35 5.2 Ausblick 36 6 Schlusswort 37 7 Quellenverzeichnis 38 8 Verzeichnisse 39

This paper presents three new coupling methods for interior penalty discontinuous Galerkin finite element methods and boundary element methods. The new methods allow one to use discontinuous basis functions on the interface between the subdomains represented by the finite element and boundary element methods. This feature is particularly important when discontinuous Galerkin finite element methods are used. Error and stability analysis is presented for some of the methods. Numerical examples suggest that all three methods exhibit very similar convergence properties, consistent with available theoretical results.:1. Introduction 2. Model Problem and Background 3. New Coupling Methods 4. Stability and Error Analysis 5. Numerical Examples 6. Summary A. Appendix

In the simulation of deformations of plates it is well known that we have to use a special treatment of the thickness dependence. Therewith we achieve a reduction of dimension from 3D to 2D. For linear elasticity and small deformations several techniques are well established to handle the reduction of dimension and achieve acceptable numerical results. In the case of large deformations of plates with non-linear material behaviour there exist different problems. For example the analytical integration over the thickness of the plate is not possible due to the non-linearities arising from the material law and the large deformations themselves. There are several possibilities to introduce a hypothesis for the treatment of the plate thickness from the strong Kirchhoff assumption on one hand up to some hierarchical approaches on the other hand.:1. Introduction 2. The 3D-deformation energy 3. Basic differential geometry of shells 4. Kirchhoff assumption and the deformed plate 5. Plate energy and boundary conditions 6. Numerical example

Ill-posed inverse problems with quadratic structure are introduced, studied and solved. As an example an inverse problem appearing in laser optics is solved numerically based on a new regularized inversion algorithm. In addition, the theory of sparsity promoting regularization is extended to situations in which sparsity cannot be expected and also to equations with non-injective operators.

In der vorliegenden Arbeit wird ein neues Tensorformat vorgestellt und eingehend analysiert. Das hierarchische Format verwendet einen binären Baum, um den Tensorraum der Ordnung d mit einer geschachtelten Unterraumstruktur zu versehen. Der Speicheraufwand für diese Darstellung ist von der Größenordnung O(dnr + dr^3), wobei n den Speicheraufwand in den Ansatzräumen kennzeichnet und r ein Rangparameter ist, der durch die Dimensionen der geschachtelten Unterräume bestimmt wird. Das hierarchische Format umfasst verschiedene Standardformate zur Tensordarstellung wie das kanonische oder r-Term-Format und die Unterraum-/Tucker-Darstellung. Die in dieser Arbeit entwickelte zugehörige Arithmetik inklusive mehrerer Approximationsmethoden basiert auf stabilen Methoden der Linearen Algebra, insbesondere die Singulärwertzerlegung und die QR-Zerlegung sind von zentraler Bedeutung. Die rechnerische Komplexität ist hierbei O(dnr^2+dr^4). Die lineare Abhängigkeit von der Ordnung d des Tensorraumes ist hervorzuheben. Für die verschiedenen Approximationsmethoden, deren Effizienz und Effektivität für die Anwendbarkeit des neuen Formates entscheidend sind, werden qualitative und quantitative Fehlerabschätzungen gezeigt. Umfassende numerische Experimente mit einem Fokus auf den Approximationsmethoden bestätigen zum einen die theoretischen Resultate und belegen die Stärken der neuen Tensordarstellung, zeigen aber zum anderen auch weitere, eher überraschende positive Eigenschaften der mit FastHOSVD bezeichneten schnellsten Kürzungsmethode. / In this dissertation we present and a new format for the representation of tensors and analyse its properties. The hierarchical format uses a binary tree in order to define a hierarchical structure of nested subspaces in the tensor space of order d. The strorage requirements are O(dnr+dr^3) where n is determined by the storage requirements in the ansatz spaces and r is a rank parameter determined by the dimensions of the nested subspaces. The hierarchichal representation contains the standard representation like canonical or r-term representation and subspace or Tucker representation. The arithmetical operations that have been developed in this work, including several approximation methods, are based on stable Linear Alebra methods, especially the singular value decomposition (SVD) and the QR decomposition are of importance. The computational complexity is O(dnr^2+dr^4). The linear dependence from the order d of the tensor space is important. The approximation methods are one of the key ingredients for the applicability of the new format and we present qualitative and quantitative error estimates. Numerical experiments approve the theoretical results and show some additional, but unexpected positive aspects of the fastest method called FastHOSVD.