Dans ce mémoire, on s'est intéressé aux problèmes d'estimation, de filtrage $H_{\infty}$ et de la commande basée observateur des systèmes de grande dimension. L'étude porte sur les systèmes linéaires standards mais aussi sur les systèmes algèbro-différentiels appelés aussi systèmes singuliers pour couvrir la classe la plus large possible des systèmes de grande dimension. Ainsi, on a commencé notre travail en proposant des méthodes de synthèse d'observateurs décentralisés à interconnexions inconnues pour des systèmes de grande dimension standards et singuliers. On a cherché à éliminer l'effet des interconnections inconnues sur la dynamique de l'erreur d'observation. La synthèse de l'observateur est basée sur des LMIs permettant de déterminer la matrice de gain paramétrant toutes les matrices de l'observateur. La formulation LMI est basée sur l'approche Lyapunov et déduite des différents lemmes bornés. Ensuite, on a proposé des filtres décentralisés qui permettent d'assurer, en plus de la stabilité, un critère de performance $H_{\infty}$, c'est à dire qu'on a cherché à atténuer l'effet des perturbations, supposées être inconnues mais à énergie bornée, sur la dynamique de l'erreur d'estimation. On a abordé après l'étude des observateurs interconnectés pour les systèmes de grande dimension, où on a proposé une nouvelle méthode permettant de synthétiser une nouvelle forme d'observateurs interconnectés connectivement stable. On s'est intéressé à la capacité d'un tel observateur à être stable de manière robuste vis-a-vis des incertitudes sur les interconnexions entre les sous observateurs qui les forment. Enfin, on s'est intéressé à l'application des méthodes d'estimation proposées dans le cadre de la commande. En effet, dans un premier temps, on a proposé une commande décentralisée basée sur un filtre $H_{\infty}$ pour une classe de systèmes de grande dimension standards à interconnections non-linéaires. L'approche est une extension des travaux de Kalsi et al. aux cas des systèmes perturbés standards. En effet, on a commencé par le calcul du gain de retour d'état qui satisfait les spécifications du système bouclé. Puis, on a synthétisé un filtre qui a pour but de fournir en sortie une estimée de ce retour d'état. L'approche a été validée sur un exemple de système composé de trois machines électriques interconnectées. Dans le second volet du chapitre, on a considéré le problème de la commande via un filtre $H_{\infty}$ pour une classe de système singulier de grande dimension soumis à des perturbations à énergie bornée. L'approche est une extension des travaux de Kalsi et al. au cas des systèmes singuliers perturbés. L'un des principaux apports de nos travaux, a été de proposer une nouvelle méthode de synthèse de commande basée sur un filtre $H_{\infty}$ qui générée par des conditions de solvabilité moins restrictives que celles introduites dans les travaux de Kalsi et al. Ainsi, on a relaxé les contraintes qui portait sur la distance entre la paire de matrices formée par la matrice d'état et la matrice d'entrée d'une part et l'ensemble de paires de matrices incontrôlables d'autre part. De plus, on tient compte de la maximisation des bornes de l'interconnexion, ce qui est très important en pratique / In this dissertation, we investigated the problems of the estimation, $H_{\infty}$ filtering and the controller based-observer design for standard large scale systems and for algebro-differentials ones called also singular large scale systems. So, we began to propose methods for decentralized observer design with unknown interconnections for standard and singular systems. We search here to decouple the unknown interconnections and the dynamics of the observation error. The method is based on LMIs approach to find the gain matrix implemented in the observer matrices. The LMI formulation is based on Lyapunov approach and deduced from various bounded lemmas. We propose then, filters that permits to ensure, in addition to the stability, an $H_{\infty}$ performance criteria; we search to attenuate the perturbations effect, supposed unknown but of bounded energy, on the dynamics of the estimation error. We discussed after the study of interconnected observers for large systems, we have proposed a new method to design a new form of interconnected observers connectively stable. We are interested in the ability of a such observer to be robustly stable towards uncertainties in the interconnections between sub-observers. Finally, we are interested to the application of the proposed estimation methods to the control purpose. Indeed, in a first step, we propose a decentralized control based on a filter $H_{\infty}$ for a class of large scale standard systems with nonlinear interconnections. Then, Then, we focus our attention on the observer based control for singular systems to search for a control law which ensures an $H_{\infty}$ performance criteria. The approach is an extension of recent works of Kalsi and al. to the case of disturbed large scale systems. One of the main contributions of our work was to propose a new method of control design based on a filter $H_ {\infty} $ which generated by using less restrictive conditions than those introduced in the work of Kalsi and al. Thus, we have relaxed the constraint on the distance between the pair of matrices formed by the state matrix and input matrix and the set of pairs of matrices uncontrollable. In addition, we consider the maximization of the bound of the interconnection, which is very important in practice. Our approach is obtained into two steps. The first one consist on calculating the gain state feedback that meets the specifications of the closed loop system. The second one , then we reconstruct this control law using our previous results on the $H_{\infty}$ filtering. The approach has been validated on an example of a system composed of three interconnected electrical machines

This dissertation contains two parts: Commutative and Noncommutative Multidimensional ($d$-D) Linear Systems Theory. The first part focuses on the development of the interpolation theory to solve the $H^{\infty}$ control problem for $d$-D linear systems. We first review the classical discrete-time 1D linear system in the operator theoretical viewpoint followed by the formulations of the so-called Givone-Roesser and Fornasini-Marchesini models. Application of the $d$-variable $Z$-transform to the system of equations yields the transfer function which is a rational function of several complex variables, say $\mathbf{z} = (z_{1}, \dots, z_{d})$. We then consider the output feedback stabilization problem for a plant $P(\mathbf{z})$. By assuming that $P(\mathbf{z})$ admits a double coprime factorization, then a set of stabilizing controllers $K(\mathbf{z})$ can be parametrized by the Youla parameter $Q(\mathbf{z})$. By doing so, one can convert such a problem to the model matching problem with performance index $F(\mathbf{z})$, affine in $Q(\mathbf{z})$. Then, with $F(\mathbf{z})$ as the design parameter rather than $Q(\mathbf{z})$, one has an interpolation problem for $F(\mathbf{z})$. Incorporation of a tolerance level on $F(\mathbf{z})$ then leads to an interpolation problem of multivariable Nevanlinna-Pick type. We also give an operator-theoretic formulation of the model matching problem which lends itself to a solution via the commutant lifting theorem on the polydisk. The second part details a system whose time-axis is described by a free semigroup $\mathcal{F}_{d}$. Such a system can be represented by the so-called noncommutative Givone-Roesser, or noncommutative Fornasini-Marchesini models which are analogous to those in the first part. Application of a noncommutative $d$-variable $Z$-transform to the system of equations yields the transfer function expressed by a formal power series in several noncommuting indeterminants, say $T(z) = \sum_{v \in \mathcal{F}_{d}}T_{v}z^{v}$ where $z^{v} = z_{i_{n}} \dotsm z_{i_{1}}$ if $v = g_{i_{n}} \dotsm g_{i_{1}} \in \mathcal{F}_{d}$ and $z_{i}z_{j} \neq z_{j}z_{i}$ unless $i = j$. The concepts of reachability, controllability, observability, similarity, and stability are introduced by means of the state-space interpretation. Minimal realization problems for noncommutative Givone-Roesser or Fornasini-Marchesini systems are solved directly by a shift-realization procedure constructed from appropriate noncommutative Hankel matrices. This procedure adapts the ideas of Schützenberger and Fliess originally developed for "recognizable series" to our systems. / Ph. D.

Dans la première partie de cette thèse, on définit de déformations des $L_\infty$-algèbres de telle façon que les bases de déformation sont aussi des $L_\infty$-algèbres. Pour les $L_\infty$-algèbres dont le complexe tangent est scindé on construit une déformation universelle et une déformation semi-universelle. Ensuite, on construit explicitement une $L_\infty$-structure minimale sur la cohomologie $H$ d'une algèbre differentielle graduée de Lie $L$ et un $L_\infty$-quasi-isomorphisme entre $H$ et $L$. Comme application, on montre que les singularités peuvent être décrites par les $L_\infty$-algèbres et on donne une nouvelle preuve pour l'existence des espaces formels de module pour les singularités isolées. La deuxième partie contient une approche abstraite de la (co)homologie de Hochschild en utilisant de ``bonnes paires de catégories''. On généralise le théorème HKR classique (qui donne un isomorphisme entre la $n$-ième homologie de Hochschild d'une algèbre lisse et la $n$-ième puissance extérieure de son module de differentielles de Kähler) pour des algèbres simpliciales, graduées commutatives dans de bonnes paires de catégories. On applique cette généralisation aux espaces complexes et aux schémas Noetheriens et on déduit plusieurs théorèmes de décomposition de leurs (co)homologies de Hochschild relatives.

Notre principal but est le probleme de l'unicite pour les operateurs de diffusion dans $L^\infty$. Ce travail commence par un etude des $C_0$-semi-groupes et des semi-groupes integres dans un contexte tres general. Nous etudions les $C_0$-semi-groupes sur un espace localement convexe et nous introduisons une nouvelle topologie sur l'espace dual tel que l'adjoint d'un $C_0$-semi-groupe est de classe $C_0$ par rapport a cette topologie. Les resultats les plus importants sont un theoreme de caracterisation d'un core du generateur et un theoreme de caracterisation complet d'un generateur essentiel sur un espace localement convexe. Finalement, nous presentons quelques exemples des generateurs essentiels dans $L^\infty$. Dans cette these ont ete obtenues pour la premiere fois la $L^\infty$-unicite des operateurs de Schroedinger et des operateurs de Schroedinger generalises sur une variete riemannienne complete, ainsi que $L^1$-unicite des solutions faibles pour l'equation de transport de masse.

In many applications from industry and technology computer simulations are performed using models which can be formulated by systems of differential equations. Often the equations underlie additional algebraic constraints. In this context we speak of descriptor systems. Very important characteristic values of such systems are the $L_\infty$-norms of the corresponding transfer functions. The main goal of this thesis is to extend a numerical method for the computation of the $L_\infty$-norm for standard state space systems to descriptor systems. For this purpose we develop a numerical method to check whether the transfer function of a given descriptor system is proper or improper and additionally use this method to reduce the order of the system to decrease the costs of the $L_\infty$-norm computation. When computing the $L_\infty$-norm it is necessary to compute the eigenvalues of certain skew-Hamiltonian/Hamiltonian matrix pencils composed by the system matrices. We show how we extend these matrix pencils to skew-Hamiltonian/Hamiltonian matrix pencils of larger dimension to get more reliable and accurate results. We also consider discrete-time systems, apply the extension strategy to the arising symplectic matrix pencils and transform these to more convenient structures in order to apply structure-exploiting eigenvalue solvers to them. We also investige a new structure-preserving method for the computation of the eigenvalues of skew-Hamiltonian/Hamiltonian matrix pencils and use this to increase the accuracy of the computed eigenvalues even more. In particular we ensure the reliability of the $L_\infty$-norm algorithm by this new eigenvalue solver. Finally we describe the implementation of the algorithms in Fortran and test them using two real-world examples.

De nos jours, la plupart des véhicules sont équipés de Directions Assistées Electriques (DAE). Ce type de systèmes d'aide à la conduite permet de réduire les efforts que le conducteur doit fournir pour tourner les roues. Ainsi, grâce à un moteur électrique, la DAE applique un couple additionnel en accord avec le comportement du conducteur et la dynamique du véhicule. Il est donc nécessaire de développer une commande en couple basée en particulier sur le signal provenant d'un capteur mesurant le couple agissant au niveau de la barre de torsion (correspondant à une image du couple conducteur). Ce composant est donc essentiel au fonctionnement de la DAE. Or, une défaillance de ce capteur entraine le plus souvent une coupure de l'assistance, pouvant mener à un risque d'accidents. Au regard de la sécurité fonctionnelle, un développement d'un mode de sécurité est recommandé, par de plus en plus de constructeurs automobiles. D'autre part, le marché des équipementiers automobiles reste un secteur très concurrentiel où une baisse des coûts de production est un challenge constamment recherché afin de gagner de nouvelles parts de marchés. Cet aspect de réduction du nombre de capteurs et d'analyse de la dynamique du véhicule s'inscrit donc dans le prolongement de la stratégie de sécurité. Cette thèse, menée au sein de JTEKT Europe, aborde ces divers enjeux. Après une présentation des différents systèmes de directions assistés électriques, des modèles sont présentés pour être utilisés lors de la conception de lois de commande et d'estimateurs. Ensuite deux méthodes d'estimation du couple conducteur sujet aux perturbations de la route et aux bruits de mesures sont proposées : la première est un observateur proportionnel intégral (PI) à synthèse mixte $H_infty/H_2$, et la seconde une approche par filtrage $H_infty$. Puis plusieurs stratégies de commande sont proposées suivant deux cas de figures distincts, soit en utilisant un observateur PI qui estime les états du système et le couple conducteur (LQR, commande LPV par retour d'état), soit en faisant abstraction d'estimateur de couple conducteur (commande $H_infty$ par retour de sortie dynamique). Ce dernier aspect présente l'avantage de nécessiter moins de mesures que le précédent. Ces approches ont été validées en simulation et mises en œuvre sur un véhicule prototype où des résultats prometteurs ont été obtenus. / Nowadays, modern vehicles are equipped with more and more driving assistance systems, among them Electric Power Steering (EPS) helps the driver to turn the wheels. Indeed, EPS provides through an electric motor, an additional torque according to the driver's behaviour and the vehicle's dynamics to reduce the amount of effort required to the driver. Therefore, a torque control is developed based on the torque sensor signal which measures in practice the torsion bar torque (corresponding to an image of the driver torque). Consequently, this component is essential to the functioning of EPS systems.Indeed, a torque sensor failure usually leads to shut-off the assistance which may increase the risk of accident. Regarding functional safety, a back-up mode is recommended and required by more and more car manufacturers. On the other hand, a major challenge for automotive suppliers is to reduce cost production in order to meet growing markets demands and manage in the competitive sector. This issue considering a reduction of sensors' numbers and analysis of vehicle's dynamics is therefore an extension of applying the safety strategy. This thesis, carried out within JTEKT Europe, addresses these various issues.After introducing an overview of the different EPS systems, some models used for the design of controllers and estimators are presented. Then, two methods to estimate the driver torque subject to road disturbances and noise measurements are proposed: the first is a proportional integral observer (PI) with mixed synthesis $H_infty / H_2 $, whereas the second is an $ H_infty $ filtering approach. Then, several control strategies are proposed according to two different cases, either by using a PI observer which estimates the system states and the driver torque (LQR, LPV feedback control) or by not taking into account the driver torque estimation ($ H_infty $dynamic output feedback control). This latter approach has the advantage to require less measurements than the previous one. These approaches have been validated in simulation and implemented on a prototype vehicle where promising results have been obtained.

Negative-imaginary systems are broadly speaking stable and square (equal number of inputs and outputs) systems whose Nyquist plot lies underneath (never touches for strictly negative-imaginary systems) the real axis when the frequency varies in the open interval 0 to ∞. This class of systems appear quite often in engineering applications, for example, in lightly damped flexible structures with collocated position sensors and force actuators, multi-link robots, DC machines, active filters, etc. In this thesis, robustness analysis and controller synthesis methods for uncertain negative-imaginary systems are explored. Two new reformulation techniques are proposed that facilitate both the robustness analysis and controller synthesis for uncertain negative-imaginary systems. These reformulations are based on the transformation from negative-imaginary systems to a bounded-real framework via the positive-real property. In the presence of strictly negative-imaginary uncertainty, the robust stabilization problem is posed in an equivalent H∞ control framework; similarly, a negative-imaginary robust performance analysis problem is cast into an equivalent μ-framework. The latter framework also allows robust stability analysis when the perturbations are a mixture of bounded-real and negative-imaginary uncertainties. The proposed two techniques pave the way for existing H∞ control and μ theory to be applied to robustness analysis and controller synthesis for negative-imaginary systems. In addition, a static state-feedback synthesis method is proposed to achieve robust stability of a system in the presence of strictly negative-imaginary uncertainties. The method is developed in the LMI framework, which can be solved efficiently using convex optimization techniques. The controller synthesis method is based on the negative-imaginary stability theorem: a positive feedback interconnection of two negative-imaginary systems is internally stable if and only if the DC loop gain is contractive and at least one of the systems in the interconnected loop is strictly negative-imaginary. Also, in order to handle non-strict negative-imaginary uncertainties, a strongly strictly negative-imaginary lemma is proposed that helps to ensure the strictly negative-imaginary property of the nominal closed-loop system for robustness. To this end, a state-space characterization for strictly negative-imaginary property is given for non-minimal systems where the conditions are convex and hence numerically attractive. The results in this thesis hence facilitate both the robustness analysis and controller synthesis for negative-imaginary systems that quite often arise in practical scenarios. In addition, they can be applied to quantify the worse-case performance for this class of systems. Therefore, the proposed results have important implications in controller synthesis for uncertain negative-imaginary systems that achieve not only robust stabilization but also robust performance.

In many applications from industry and technology computer simulations are performed using models which can be formulated by systems of differential equations. Often the equations underlie additional algebraic constraints. In this context we speak of descriptor systems. Very important characteristic values of such systems are the $L_\infty$-norms of the corresponding transfer functions. The main goal of this thesis is to extend a numerical method for the computation of the $L_\infty$-norm for standard state space systems to descriptor systems. For this purpose we develop a numerical method to check whether the transfer function of a given descriptor system is proper or improper and additionally use this method to reduce the order of the system to decrease the costs of the $L_\infty$-norm computation. When computing the $L_\infty$-norm it is necessary to compute the eigenvalues of certain skew-Hamiltonian/Hamiltonian matrix pencils composed by the system matrices. We show how we extend these matrix pencils to skew-Hamiltonian/Hamiltonian matrix pencils of larger dimension to get more reliable and accurate results. We also consider discrete-time systems, apply the extension strategy to the arising symplectic matrix pencils and transform these to more convenient structures in order to apply structure-exploiting eigenvalue solvers to them. We also investige a new structure-preserving method for the computation of the eigenvalues of skew-Hamiltonian/Hamiltonian matrix pencils and use this to increase the accuracy of the computed eigenvalues even more. In particular we ensure the reliability of the $L_\infty$-norm algorithm by this new eigenvalue solver. Finally we describe the implementation of the algorithms in Fortran and test them using two real-world examples.

Cette thèse étudie le problème de nano-positionnement à l'intérieur d'un microscope électronique à balayage (MEB). Pour obtenir des informations de position avec rapidité et précision, une installation dédiée composée d’un vibromètre placé à l'intérieur du MEB a été mise en œuvre. Cette approche diffère de méthodes basées sur le traitement d'images, car elle permet de saisir des données en temps réel sur le comportement dynamique des structures étudiées. Dans une première étude, les perturbations mécaniques agissant à l'intérieur de la chambre à vide du microscope ont été caractérisées et leurs sources ont été identifiées. Cela a démontré comment les vibrations mécaniques externes et les bruits acoustiques peuvent influer largement sur les composants à l'intérieur du MEB par couplage mécanique, limitant ainsi la précision des manipulateurs. Dans un deuxième temps, une micro-pince du commerce a été étudiée. Une différence entre ses comportements dans l'air et dans le vide a été mise en évidence, ce qui a permis d'obtenir deux modèles dynamiques pour cet organe terminal, un pour chaque environnement. Deux lois de commande ont été proposées (commande H-infini et commande basée sur un observateur d'état étendu), afin d'obtenir en temps réel un positionnement précis dans le vide, et d'atténuer les effets des perturbations mécaniques externes. Les résultats ont été validés en simulation et expérimentalement. / This work studies the nano-positioning problem inside the scanning electron microscope (SEM). To acquire fast and accurate positional information, a dedicated setup was implemented consisting of a vibrometer placed inside the SEM. This approach differs from methods based on image processing, as it allows to capture real-time data on the dynamic behavior of structures. In a first study, the mechanical disturbances acting inside the microscope’s vacuum chamber were characterized and its sources were identified. This demonstrated how external mechanical vibrations and acoustic noises can largely influence the components inside the SEM through mechanical coupling, limiting the effective positioning precision of manipulators. Next, a commercial micro-gripper was studied, both in air and in vacuum, and the differences between its response were highlighted. This allowed to obtain two dynamic models for this end-effector, one for each environment. Two control laws were proposed (H-infinity control and Extended State Observer based control) for the system, to obtain a real-time, precise positioning in the vacuum environment and to attenuate the effects of the external mechanical disturbances. Results were demonstrated through simulation and experimental validation.

Cette thèse est consacrée à l'analyse mathématique, à la modélisation et au calcul scientifique des problèmes d'interface dans des milieux fluides de faible épaisseur. Les problèmes d'interface liquide-gaz de type cavitation apparaissent dans la plupart des mécanismes lubrifiés et leur modélisation a toujours été un sujet très discuté en tribologie. Celle-ci a initialement utilisé (et utilise encore) des inéquations variationelles mais l'inadéquation de ce modèle qui est non conservatif a conduit à introduire de manière heuristique une modélisation basée sur un système hyperbolique-elliptique. Cependant, dans le cadre de cette nouvelle modélisation, des problèmes ouverts apparaissent, dès lors que l'on s'intéresse à des conditions de fonctionnement plus réalistes. Parmi ceux-ci, on peut citer :<br />1/ la possibilité d'utiliser ce modèle en présence de rugosités. Il s'agit, du point de vue mathématique, de l'homogénéisation d'une équation en pression-saturation, <br />2/ la prise en compte de la déformation élastique de surfaces solides due à la pression hydrodynamique du fluide adjacent. Pour cela, il est habituel en élastohydrodynamique (E.H.D.) de modifier les coefficients de l'équation de l'écoulement par l'introduction d'un terme intégral (déformation du type Hertz). La modélisation de la cavitation intervient dans la partie hydrodynamique et, par suite, sur l'ensemble du couplage.<br />3/ la possibilité de justifier ou non ce modèle à partir d'une description bifluide rigoureuse de l'écoulement et d'en déduire ainsi une procédure de calcul du frottement associé à l'écoulement mince.<br /><br />Nous étudions ces différents aspects qui permettent de justifier la pertinence du modèle de cavitation considéré.