Cette thèse porte sur quelques inégalités de type Trudinger-Moser et leurs applications à l'étude des injections de Sobolev qu'elles induisent dans les espaces d'Orlicz et à l'analyse d'équations aux dérivées partielles non linéaires à croissance exponentielle.Le travail qu'on présente ici se compose de trois parties. La première partie est consacrée à la description du défaut de compacité de l'injection de Sobolev 4D dans l'espace d'Orlicz dansle cadre radial.L'objectif de la deuxième partie est double. D'abord, on caractérise le défaut de compacité de l'injection de Sobolev 2D dans les différentes classes d'espaces d'Orlicz. Ensuite, on étudiel'équation de Klein-Gordon semi-linéaire avec non linéarité exponentielle, où la norme d'Orlicz joue un rôle crucial. En particulier, on aborde les questions d'existence globale, de complétude asymptotique et d'étude qualitative.Dans la troisième partie, on établit des inégalités optimales de type Adams, en étroite relation avec les inégalités de Hardy, puis on fournit une description du défaut de compacité des injections de Sobolev qu'elles induisent / This thesis focuses on some Trudinger-Moser type inequalities and their applications to the study of Sobolev embeddings they induce into the Orlicz spaces, and the investigation of nonlinear partial differential equations with exponential growth.The work presented here includes three parts. The first part is devoted to the description of the lack of compactness of the 4D Sobolev embedding into the Orlicz space in the radialframework.The aim of the second part is twofold. Firstly, we characterize the lack of compactness of the 2D Sobolev embedding into the different classes of Orlicz spaces. Secondly, we undertakethe study of the nonlinear Klein-Gordon equation with exponential growth, where the Orlicz norm plays a crucial role. In particular, issues of global existence, scattering and qualitativestudy are investigated.In the third part, we establish sharp Adams-type inequalities invoking Hardy inequalities, then we give a description of the lack of compactness of the Sobolev embeddings they induce

Ce mémoire est un exposé synthétique d'une partie des travaux que j'ai accomplis après la fin de ma thèse. Au cours des dernières années, j'ai été amené à m'intéresser à la discrétisation de problèmes provenant de différentes applications en mécanique des fluides. L'élément commun à tous ces problèmes est la présence de termes diffusifs du second ordre. Pour des raisons différentes, j'ai considéré des discrétisations non conformes, c'est-à-dire, basées sur des espaces discrets non contenus dans l'espace continu naturellement associé à la formulation faible du problème. Plus précisément, dans les travaux présentés dans ce mémoire on retrouve essentiellement deux grandes familles de méthodes : les méthodes dites de Galerkine discontinues et les méthodes volumes finis. Ce document s'organise comme suit. Les Chapitres 1–3 fournissent les renseignements administratifs relatifs au dossier de demande d'habilitation, dont un <EM>curriculum vitæ</EM>, une description succincte de l'ensemble de mes travaux et la liste complète des publications. Les Chapitres 4–5 relatent les efforts entrepris au sujet de la discrétisation de problèmes avec diffusion par des méthodes non conformes. Plus précisément, le Chapitre 4 est consacré aux méthodes de Galerkine discontinues, tandis que le Chapitre 5 traite des méthodes volumes finis. Même si l'accent est généralement mis sur les motivations des travaux et sur le développement de la ligne de pensée, des détails sont fournis quand cela s'avère nécessaire pour apporter un complément d'information par rapport aux publications, ou bien pour indiquer des pistes de recherche futures. Le rapport contient aussi une annexe contenant les résumés des thèses actuellement en cours. Dans la dernière partie de ce mémoire on peut trouver le texte intégral des publications. Pour faciliter la lecture, mes publications sont citées dans le texte avec un numéro progressif, tandis que les articles de la bibliographie générale sont cités avec les initiales des auteurs.

Dans cette thèse, on s'est attaché d'une part à d'écrire le défaut de compacité de l'injection de Sobolev critique dans les différentes classes d'espaces d'Orlicz, et d'autre part à étudier l'équation de Klein-Gordon avec une non-linéarité exponentielle. Ce travail se divise en trois parties. L'objectif de la première partie est de caractériser le défaut de compacité de l'injection de Sobolev de $H^2_{rad}(R^4)$ dans l'espace d'Orlicz $mathcal{L}(R^4)$.Le but de la deuxième partie est double : tout d'abord, on a décrit le défaut de compacité de l'injection de Sobolev de $H^1(R^2)$ dans les différentes classes d'espaces d'Orlicz, ensuite on a étudié une famille d'équations de Klein-Gordon non linéaires à croissance exponentielle. Cette étude inclut à la fois les problèmes d'existence globale, de complétude asymptotique et d'étude qualitative pour le problème de Cauchy associé. La troisième partie est dédiée à l'analyse des solutions de l'équation de Klein-Gordon 2D issues d'une suite de données de Cauchy bornée dans $H^1_{rad}(R^2)times L^2_{rad}(R^2)$. Basée sur les décompositions en profils, cette analyse a été conduite dans le cadre de la norme d'Orlicz / In this thesis, we focused on the one hand on the description of the lack of compactness of the critical Sobolev embedding into different classes of Orlicz spaces, and on the other hand on the study of the nonlinear Klein-Gordon equation with exponential nonlinearity. This work is divided into three parts. The aim of the first part is to characterize the lack of compactness of the Sobolev embedding of $H^2_{rad}(R^4)$ into the Orlicz space $mathcal{L}(R^4)$.The aim of the second part is twofold: firstly, we describe the lack of compactness of the Sobolev embedding of $H^1(R^2)$ into different classes of Orlicz spaces, secondly we investigate a family of nonlinear Klein-Gordon equations with exponential nonlinearity. This study includes both the global existence problem, the asymptotic completeness and the qualitative study for the associated Cauchy problem. The third part is dedicated to the analysis of the solutions to the 2D Klein-Gordon equation associated to a sequence of bounded Cauchy data in $H^1_{rad}(R^2)times L^2_{rad}(R^2)$. Based on the profile decompositions, this analysis was conducted in the framework of Orlicz norm